非線性振動(dòng)及混沌簡(jiǎn)介

1、1非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念 概述：混沌的發(fā)現(xiàn)概述：混沌的發(fā)現(xiàn) 19611961年冬的一天，美國(guó)麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛(ài)德年冬的一天，美國(guó)麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛(ài)德華華洛侖茲在計(jì)算機(jī)上模擬天氣情況，他的真空管計(jì)洛侖茲在計(jì)算機(jī)上模擬天氣情況，他的真空管計(jì)算機(jī)速度約每秒做算機(jī)速度約每秒做6 6次乘法。次乘法。經(jīng)簡(jiǎn)化后的洛侖茲氣象模型為經(jīng)簡(jiǎn)化后的洛侖茲氣象模型為()()xyxyrz xyzxybz蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象2為省時(shí)間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸為省時(shí)間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計(jì)算，指望重復(fù)出

2、現(xiàn)上次計(jì)算的后半段結(jié)果，入重新計(jì)算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計(jì)算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過(guò)一段重復(fù)后，計(jì)算機(jī)然后再接下去往前算。然而經(jīng)過(guò)一段重復(fù)后，計(jì)算機(jī)卻偏離了上次的結(jié)果。卻偏離了上次的結(jié)果。他第二次輸入時(shí)去掉了小數(shù)點(diǎn)后面三位：他第二次輸入時(shí)去掉了小數(shù)點(diǎn)后面三位：0.5061270.506混沌的初值敏感性混沌的初值敏感性3蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）4非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念非線性振動(dòng)系統(tǒng)及混沌的基本概念 一、任意擺角情況下單擺的運(yùn)動(dòng)一、任意擺角情況下單擺的運(yùn)動(dòng) lmONA線性系統(tǒng)（數(shù)學(xué)定義）：線性系統(tǒng)（數(shù)學(xué)定義）：若若則則( )f x滿

3、足滿足是線性的；是線性的；( )g x為非線性，則為非線性，則自由單擺的運(yùn)動(dòng)方程：自由單擺的運(yùn)動(dòng)方程：22sindgdtl 線性近似：線性近似：當(dāng)當(dāng) 很小，很小，22dgdtl (sin )1212()()()g xxg xg x( )f x1212()( )()f xxf xf x若若按級(jí)數(shù)展開(kāi)，取第一項(xiàng)而得按級(jí)數(shù)展開(kāi)，取第一項(xiàng)而得.5若若 為為任意值，任意值，故自由單擺為非線性振動(dòng)系統(tǒng)：故自由單擺為非線性振動(dòng)系統(tǒng)：1212sin()sinsinlmONA22sindgdtl ddt令令，以及，以及，000,t 2220022cos1 cos2gl 則則上式變?yōu)樯鲜阶優(yōu)槎?sin )6方程

4、解的非唯一性方程解的非唯一性1. 設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為2220022cos1 cos2gl 0= ， 0= 0，2cos2gl 運(yùn)動(dòng)分析：運(yùn)動(dòng)分析：在最高點(diǎn)在最高點(diǎn) = ， = 0，0ddtlmONA系統(tǒng)非穩(wěn)定平衡點(diǎn)?？赡艹霈F(xiàn)三種運(yùn)動(dòng)情況：系統(tǒng)非穩(wěn)定平衡點(diǎn)?？赡艹霈F(xiàn)三種運(yùn)動(dòng)情況：a. 停留在該頂點(diǎn)，爾后徑直下落；停留在該頂點(diǎn)，爾后徑直下落； b. 調(diào)頭沿原路返回；調(diào)頭沿原路返回；c. 越過(guò)該頂點(diǎn)繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)。越過(guò)該頂點(diǎn)繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)。 則其解為則其解為7，則解為，則解為類(lèi)似地，當(dāng)令類(lèi)似地，當(dāng)令 0=0，204gl0cos2 最高點(diǎn)最高點(diǎn)( = )，非穩(wěn)平衡，非穩(wěn)平衡，運(yùn)動(dòng)非唯一性。運(yùn)動(dòng)非唯一

5、性。 對(duì)于一般單擺的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于一般單擺的運(yùn)動(dòng)方程（受周期性驅(qū)動(dòng)力作（受周期性驅(qū)動(dòng)力作 用的阻尼單擺）用的阻尼單擺） ：22sincosddmllmgFtdtdt一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。其解更為復(fù)雜。一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。其解更為復(fù)雜。 結(jié)論：結(jié)論：對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件 下，其解可能具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性。下，其解可能具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性。8二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性 在一個(gè)確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性在一個(gè)確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性性質(zhì)所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)隨機(jī)性稱為確定性系統(tǒng)的性質(zhì)所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)隨機(jī)性稱為確定性

6、系統(tǒng)的內(nèi)在內(nèi)在隨機(jī)性隨機(jī)性。 例如，上述非線性單擺的運(yùn)動(dòng)。例如，上述非線性單擺的運(yùn)動(dòng)。支配整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因素是嚴(yán)格確定的（具有確支配整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因素是嚴(yán)格確定的（具有確定的運(yùn)動(dòng)方程），系統(tǒng)完全不存在隨機(jī)力的作用。定的運(yùn)動(dòng)方程），系統(tǒng)完全不存在隨機(jī)力的作用。然而經(jīng)過(guò)時(shí)間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)然而經(jīng)過(guò)時(shí)間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)了隨機(jī)行為，產(chǎn)生出完全不可預(yù)測(cè)的、極為復(fù)雜的了隨機(jī)行為，產(chǎn)生出完全不可預(yù)測(cè)的、極為復(fù)雜的結(jié)果來(lái)，最后得到一條完全隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌道。結(jié)果來(lái)，最后得到一條完全隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌道。 9三、混沌的基本概念三、混沌的基本概念 1. 混沌定義混沌定義（物理學(xué)上）：（物理學(xué)上）

7、：在確定性系統(tǒng)中所表現(xiàn)出在確定性系統(tǒng)中所表現(xiàn)出來(lái)的內(nèi)在隨機(jī)行為。是一個(gè)決定論的系統(tǒng)中所存在的來(lái)的內(nèi)在隨機(jī)行為。是一個(gè)決定論的系統(tǒng)中所存在的運(yùn)動(dòng)的不可預(yù)測(cè)性。運(yùn)動(dòng)的不可預(yù)測(cè)性。 2. 相圖相圖描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。O例：例：自由單擺（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）自由單擺（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）2220ddt cos ,sinAtAt簡(jiǎn)諧振動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，每隔一定的時(shí)間運(yùn)動(dòng)又復(fù)原，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，每隔一定的時(shí)間運(yùn)動(dòng)又復(fù)原，所以相軌線所以相軌線 為一閉合曲線。為一閉合曲線。 ()103. 自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng) 不顯含時(shí)間不顯含時(shí)間 t 的動(dòng)力學(xué)方程稱為自

8、治系統(tǒng)，而顯含的動(dòng)力學(xué)方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含時(shí)間時(shí)間 t 的動(dòng)力學(xué)方程稱為非自治系統(tǒng)。的動(dòng)力學(xué)方程稱為非自治系統(tǒng)。 2 由線性單擺由線性單擺方程可得方程可得不顯含不顯含 t ，在二維相，在二維相空間中為自治系統(tǒng)?？臻g中為自治系統(tǒng)。由受阻力由受阻力和周期策動(dòng)和周期策動(dòng)力作用的非力作用的非線性單擺方線性單擺方程可得程可得（角諧振動(dòng)）（角諧振動(dòng)）sincosgFtmlml 顯含顯含 t ，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。11自治系統(tǒng)的相空間與相軌線自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量引入新變量 = t ，可將方程化為三維相空間中的，可將方程化為三維相空間中的自治系統(tǒng)：自治系

9、統(tǒng)：sincosgFmlml 一個(gè)自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會(huì)相交，一個(gè)自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會(huì)相交，即通過(guò)每一相點(diǎn)的軌線是唯一的。即通過(guò)每一相點(diǎn)的軌線是唯一的。 而非自治系統(tǒng)中相軌線則會(huì)相交。如上述系統(tǒng)在二而非自治系統(tǒng)中相軌線則會(huì)相交。如上述系統(tǒng)在二維維 相平面上相軌線有相交情況。相平面上相軌線有相交情況。()O124. 彭加勒截面圖彭加勒截面圖 2n相軌線環(huán)形相空間相軌線2n2(1)n2三維相空間若沿若沿 方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個(gè)截面上只有一個(gè)交點(diǎn)，即相軌線一次性質(zhì)，每個(gè)截面上只有一個(gè)交點(diǎn)，即相軌線一次性的穿過(guò)每一個(gè)

10、截面。性的穿過(guò)每一個(gè)截面。 因因，若以，若以2 為周長(zhǎng)，將為周長(zhǎng)，將相空間彎成相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為稱為彭加勒截面彭加勒截面。2tn 132n相軌線環(huán)形相空間相軌線2n2(1)n2三維相空間相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的集合就稱為 彭加勒截面圖彭加勒截面圖。通過(guò)分析相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的分布通過(guò)分析相軌線在彭加勒截面上的交點(diǎn)的分布 規(guī)律，就可了解到在長(zhǎng)時(shí)間周期性的演變過(guò)程規(guī)律，就可了解到在長(zhǎng)時(shí)間周期性的演變過(guò)程 中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。14討論：討論：?jiǎn)沃芷谡駝?dòng)

11、，每隔單周期振動(dòng)，每隔2 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同一點(diǎn)穿過(guò)彭加勒截即相軌線每次都從同一點(diǎn)穿過(guò)彭加勒截面，面，在彭加勒截面圖上只有一個(gè)不動(dòng)在彭加勒截面圖上只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；點(diǎn)；運(yùn)動(dòng)無(wú)周期性，則彭加勒截面圖上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)無(wú)周期性，則彭加勒截面圖上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。 倍周期的運(yùn)動(dòng)，彭加勒截面圖上有倍周期的運(yùn)動(dòng)，彭加勒截面圖上有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)； 。15四、單擺與混沌四、單擺與混沌 單擺方程單擺方程31sin6xxx22sincosd xdxmllmgxFtdtdt 按泰勒級(jí)數(shù)按泰勒級(jí)數(shù) 232cosd xdxxxftdtdt適當(dāng)代換，得到非線性振動(dòng)方程適當(dāng)代換，得到非線性

12、振動(dòng)方程（杜芬方程）（杜芬方程） 取前兩項(xiàng)近似，取前兩項(xiàng)近似， 運(yùn)動(dòng)的演變運(yùn)動(dòng)的演變 討論討論 1. 線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng)線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng) 16三種情況：三種情況： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相，相應(yīng)得出簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼和受迫振動(dòng)方程。應(yīng)得出簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼和受迫振動(dòng)方程。 令令 =0，退化為線性方程，退化為線性方程22cosd xdxxftdtdt阻尼振動(dòng)的相軌線：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最阻尼振動(dòng)的相軌線：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點(diǎn)終停止于中點(diǎn)-不動(dòng)點(diǎn)吸引子不動(dòng)點(diǎn)吸引子- 。受迫振動(dòng)：經(jīng)過(guò)暫受迫振動(dòng)：經(jīng)過(guò)暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈閉合

13、圈-周期吸引子周期吸引子或或極限環(huán)極限環(huán)。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相軌線：閉合圈簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相軌線：閉合圈-周期環(huán)周期環(huán)-。17方程代表復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)。方程代表復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)。 2. 非線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng)非線性近似下的單擺運(yùn)動(dòng) 混沌混沌 232cosd xdxxxftdtdt為簡(jiǎn)化問(wèn)題，在四個(gè)參數(shù)中只改變?yōu)楹?jiǎn)化問(wèn)題，在四個(gè)參數(shù)中只改變 f 的值。的值。 數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著 f 的逐漸增大，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)的逐漸增大，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生了由簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)到出現(xiàn)倍周期分岔，再進(jìn)生了由簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)到出現(xiàn)倍周期分岔，再進(jìn)入混沌的演化過(guò)程。入混沌的演化過(guò)程。從周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔從周期運(yùn)動(dòng)到

14、倍周期分岔 當(dāng)當(dāng) f = 0.8，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍是，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)。一個(gè)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)。 18當(dāng)當(dāng) f =0.89，其結(jié)果為一個(gè)二倍周期的運(yùn)動(dòng)，即出，其結(jié)果為一個(gè)二倍周期的運(yùn)動(dòng)，即出現(xiàn)了現(xiàn)了倍周期分岔倍周期分岔。 說(shuō)明：說(shuō)明：圖中看上去的每一條曲圖中看上去的每一條曲線實(shí)際上是完全重合的兩條曲線實(shí)際上是完全重合的兩條曲線，它們的初始值略有差異：線，它們的初始值略有差異：a. x0=1， 0=0；b. x0=1.001， 0=0.001.結(jié)論：結(jié)論：初始條件的微小差別對(duì)周期性運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，初始條件的微小差別對(duì)周期性運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，或者說(shuō)或者說(shuō)周期運(yùn)動(dòng)對(duì)初值不敏感周期運(yùn)動(dòng)對(duì)初值不敏

15、感?；煦邕\(yùn)動(dòng)混沌運(yùn)動(dòng) 繼續(xù)增大繼續(xù)增大 f，當(dāng)，當(dāng) =1.3，隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)取代了周期性運(yùn)動(dòng)，隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)取代了周期性運(yùn)動(dòng)，表明系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。表明系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。 19注意：注意：圖圖(a)中的兩條運(yùn)動(dòng)曲線的初值分別為中的兩條運(yùn)動(dòng)曲線的初值分別為x0=1， 0= 0和和 x0=1.00001， 0=0.00001。誤差僅在小數(shù)點(diǎn)。誤差僅在小數(shù)點(diǎn)后面第五位上，而給運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的差別正可謂后面第五位上，而給運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的差別正可謂“差差之毫厘，失之千里之毫厘，失之千里”。處于混沌狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的行為對(duì)于初值十分敏感，處于混沌狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的行為對(duì)于初值十分敏感，稱這一特性為稱這一特性為混沌的初值敏感性混沌

16、的初值敏感性。相圖相圖(b)反映出反映出混混沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性。即相軌道即相軌道(運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài))完全不可預(yù)測(cè)。完全不可預(yù)測(cè)。運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性-蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)-xxxxvvvt(a)(b)(c)(d)20混沌的內(nèi)在規(guī)律性混沌的內(nèi)在規(guī)律性-混沌吸引子混沌吸引子 圖圖(a)中兩條曲線的運(yùn)動(dòng)完全各異，但它們的彭加勒中兩條曲線的運(yùn)動(dòng)完全各異，但它們的彭加勒截面圖截面圖(c)和和(d)卻又是完全相同的。把混沌的相軌卻又是完全相同的。把混沌的相軌線在彭加勒截面上的這種點(diǎn)集稱為線在彭加勒截面上的這種點(diǎn)集稱為混沌吸引子混沌吸引子。 混沌吸引子是非混沌吸引子是非線性耗散系統(tǒng)混沌線性耗散系統(tǒng)

17、混沌的特征，表明耗散的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿。系統(tǒng)演化的歸宿。代表混沌行為的代表混沌行為的全局特征。全局特征?；煦缥芋w現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)存規(guī)律性?；煦缥芋w現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)存規(guī)律性。xxxxvvvt(a)(b)(c)(d)21結(jié)論結(jié)論然而混沌的全局特征然而混沌的全局特征混沌吸引子卻具有不依混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則。賴于初值的、確定的規(guī)則。貌似隨機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)，其長(zhǎng)期的演化行為遵從確貌似隨機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)，其長(zhǎng)期的演化行為遵從確定的規(guī)律定的規(guī)律-混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律性混沌運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律性。這是混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)別于真實(shí)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的重要標(biāo)志。這是混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)別于真實(shí)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的重要標(biāo)志。初值

18、懸殊的初值懸殊的三個(gè)吸引子三個(gè)吸引子xxxvvvxt混沌行為具有混沌行為具有極為敏感的初值極為敏感的初值依賴性；依賴性；22如繼續(xù)增大如繼續(xù)增大 f ，當(dāng)當(dāng) f =1.53，則出現(xiàn)一個(gè)三倍周期的，則出現(xiàn)一個(gè)三倍周期的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)-周期三窗口。周期三窗口。當(dāng)當(dāng) f =1.75時(shí)，系統(tǒng)又再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。時(shí)，系統(tǒng)又再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。周期窗口周期窗口在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)，稱為混沌區(qū)在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)，稱為混沌區(qū)中的中的周期窗口周期窗口。23五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性 利用最簡(jiǎn)單的非線性方程作進(jìn)一步分析：利用最簡(jiǎn)單的非線性方程作進(jìn)一步分析：21y

19、x -拋物線方程拋物線方程 1,nnyxxx，得拋物線形迭代方程，得拋物線形迭代方程 令令2110,2, 1,1nnnxxx 在整個(gè)區(qū)間取值迭代便在整個(gè)區(qū)間取值迭代便得出由周期運(yùn)動(dòng)到倍周得出由周期運(yùn)動(dòng)到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個(gè)演化過(guò)程。態(tài)的整個(gè)演化過(guò)程。 nx1. 混沌的演化（通向混沌的道路）混沌的演化（通向混沌的道路）24倍周期分岔序列：倍周期分岔序列：12482n .當(dāng)當(dāng)n，則解的數(shù)目，則解的數(shù)目，意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混，意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。將混沌開(kāi)始時(shí)對(duì)應(yīng)的沌狀態(tài)。將混沌開(kāi)始時(shí)對(duì)應(yīng)的 記為記為 ( =1.40115518909205 )。nx2. 混沌區(qū)的結(jié)

20、構(gòu)混沌區(qū)的結(jié)構(gòu) a. 窗口窗口 在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)。的周期性運(yùn)動(dòng)。窗口中包含著與整體窗口中包含著與整體完全相似的結(jié)構(gòu)。完全相似的結(jié)構(gòu)。周期三窗口周期三窗口通向混沌的其它道路通向混沌的其它道路準(zhǔn)周期道路：平衡態(tài)準(zhǔn)周期道路：平衡態(tài)周期周期準(zhǔn)周期準(zhǔn)周期混沌混沌.陣發(fā)混沌道路陣發(fā)混沌道路251框內(nèi)部分放大得下頁(yè)圖框內(nèi)部分放大得下頁(yè)圖26框內(nèi)再放大得下頁(yè)圖框內(nèi)再放大得下頁(yè)圖227328123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)29看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。構(gòu)。任何局部的小區(qū)域都包含著整體的信息，具有與任何

21、局部的小區(qū)域都包含著整體的信息，具有與整體完全相似的規(guī)律。整體完全相似的規(guī)律。 在混沌內(nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)在混沌內(nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)構(gòu)稱為構(gòu)稱為自相似性自相似性。從拓?fù)淇臻g上來(lái)講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是從拓?fù)淇臻g上來(lái)講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是整數(shù)維，而是分?jǐn)?shù)維的，也就是具有整數(shù)維，而是分?jǐn)?shù)維的，也就是具有分形分形的性質(zhì)。的性質(zhì)。 b. 自相似結(jié)構(gòu)自相似結(jié)構(gòu)混沌帶的合并混沌帶的合并 -從逆著混沌演化的方向，可找到混沌從逆著混沌演化的方向，可找到混沌帶合并的規(guī)律：帶合并的規(guī)律：0n 2168421 30c. 普適性普適性 若將第若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）

22、時(shí)對(duì)應(yīng)的參倍周期分岔（或混沌帶合并）時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)數(shù) 記為記為 n，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之比趨于同一個(gè)常數(shù)：比趨于同一個(gè)常數(shù)：11lim4.66920160910299067nnnnn注意：注意：常數(shù)常數(shù) 并不只并不只限于單擺公式，而是對(duì)所有同限于單擺公式，而是對(duì)所有同一類(lèi)的變換，所得的一類(lèi)的變換，所得的 值都精確地相同。值都精確地相同。 的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個(gè)系統(tǒng)的其他具體細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)。各個(gè)系統(tǒng)的其他具體細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)。反映出混沌演化過(guò)程中所存在的一種反映出混沌演化過(guò)程中所存在的一種普適性普適性.是

23、混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個(gè)側(cè)面反映。是混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個(gè)側(cè)面反映。 費(fèi)根鮑姆常數(shù)費(fèi)根鮑姆常數(shù)31在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各對(duì)周期點(diǎn)之間的距離之比，以及第相鄰兩次周期分對(duì)周期點(diǎn)之間的距離之比，以及第相鄰兩次周期分岔中的各對(duì)周期點(diǎn)之間的距離之比又趨于另一個(gè)常岔中的各對(duì)周期點(diǎn)之間的距離之比又趨于另一個(gè)常數(shù)數(shù) ，稱為，稱為標(biāo)度因子標(biāo)度因子或或普適常數(shù)普適常數(shù): = 2.5029078750958928標(biāo)度因子標(biāo)度因子 nx123混沌區(qū)123a2a1a例如，圖中例如，圖中1lim= =2.5029078750958928nnnaa注意：當(dāng)不滿足注意：當(dāng)不滿足n ，則比值只是近似的