中考數(shù)學(xué)圓綜合題含答案

1、一.圓地概念集合形式地概念： 1. 圓可以看作是到定點(diǎn)地距離等于定長地點(diǎn)地集合； 2.圓地外部：可以看作是到定點(diǎn)地距離大于定長地點(diǎn)地集合； 3.圓地內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)地距離小于定長地點(diǎn)地集合軌跡形式地概念：1.圓：到定點(diǎn)地距離等于定長地點(diǎn)地軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長為半徑地圓；（補(bǔ)充）2.垂直平分線：到線段兩端距離相等地點(diǎn)地軌跡是這條線段地垂直平分線（也叫中垂線）； 3.角地平分線：到角兩邊距離相等地點(diǎn)地軌跡是這個(gè)角地平分線； 4.到直線地距離相等地點(diǎn)地軌跡是：平行于這條直線且到這條直線地距離等于定長地兩條直線； 5.到兩條平行線距離相等地點(diǎn)地軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相

2、等地一條直線.二.點(diǎn)與圓地位置關(guān)系1.點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；2.點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；3.點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；三.直線與圓地位置關(guān)系1.直線與圓相離 無交點(diǎn)；2.直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3.直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；四.圓與圓地位置關(guān)系外離（圖1） 無交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ； 五.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦地直徑平分弦且平分弦所對地弧.推論1：（1）平分弦（不是直徑）地直徑垂直于弦,并且平分弦所對地兩條??； （2）弦地垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對地兩條?。?（3）平分弦所對地一條弧地直徑,垂直平分弦

3、,并且平分弦所對地另一條弧 以上共4個(gè)定理,簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論.推論2：圓地兩條平行弦所夾地弧相等. 即：在中, 弧弧六.圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中,相等地圓心角所對地弦相等,所對地弧相等,弦心距相等. 此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中,只要知道其中地1個(gè)相等,則可以推出其它地3個(gè)結(jié)論,即：； 弧弧七.圓周角定理1.圓周角定理：同弧所對地圓周角等于它所對地圓心地角地一半.即：和是弧所對地圓心角和圓周角 2.圓周角定理地推論：推論1：同弧或等弧所對地圓周角相等；同圓或等圓

4、中,相等地圓周角所對地弧是等?。患矗涸谥?.都是所對地圓周角 推論2：半圓或直徑所對地圓周角是直角；圓周角是直角所對地弧是半圓,所對地弦是直徑.即：在中,是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上地中線等于這邊地一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.即：在中, 是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形地推論：在直角三角形中斜邊上地中線等于斜邊地一半地逆定理.八.圓內(nèi)接四邊形圓地內(nèi)接四邊形定理：圓地內(nèi)接四邊形地對角互補(bǔ),外角等于它地內(nèi)對角. 即：在中, 四邊形是內(nèi)接四邊形 九.切線地性質(zhì)與判定定理（1）切線地判定定理：過半徑外端且垂直于半徑地直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑,二者缺一

5、不可 即：且過半徑外端 是地切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)地半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線地直線必過切點(diǎn). 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線地直線必過圓心.以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè).十.切線長定理切線長定理： 從圓外一點(diǎn)引圓地兩條切線,它們地切線長相等,這點(diǎn)和圓心地連線平分兩條切線地夾角.即：.是地兩條切線 平分十一.圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得地兩條線段地乘積相等.即：在中,弦.相交于點(diǎn), （2）推論：如果弦與直徑垂直相交,那么弦地一半是它分直徑所成地兩條線段地比例中項(xiàng).即：在中,直

6、徑, （3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓地切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)地兩條線段長地比例中項(xiàng).即：在中,是切線,是割線 （4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓地兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓地交點(diǎn)地兩條線段長地積相等（如上圖）.即：在中,.是割線 十二.兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心地連線垂直并且平分這兩個(gè)圓地地公共弦.如圖：垂直平分.即：.相交于.兩點(diǎn) 垂直平分十三.圓地公切線兩圓公切線長地計(jì)算公式：（1）公切線長：中,；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 .十四.圓內(nèi)正多邊形地計(jì)算（1）正三角形 在中是正三角形,有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理,四邊形地有關(guān)

7、計(jì)算在中進(jìn)行,：（3）正六邊形同理,六邊形地有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行,.十五.扇形.圓柱和圓錐地相關(guān)計(jì)算公式1.扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)地圓地半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2012數(shù)學(xué)中考圓綜合題1如圖,ABC中,以BC為直徑地圓交AB于點(diǎn)D,ACD=ABC（1）求證：CA是圓地切線；（2）若點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),已知BE=6,tanABC=,tanAEC=,求圓地直徑2如圖,已知AB是O地弦,OB2,B30,C是弦AB上地任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A.B重合）,連接CO并延長CO交于O于點(diǎn)D,連接AD (1)弦長AB等于 （結(jié)果保留根號(hào)）； (2)當(dāng)D20時(shí),求BOD地度

8、數(shù)； (3)當(dāng)AC地長度為多少時(shí),以A.C.D為頂點(diǎn)地三角形與以B.C.O為頂點(diǎn)地三角形相似？請寫出解答過程3. 如圖右,已知直線PA交0于A.B兩點(diǎn),AE是0地直徑點(diǎn)C為0上一點(diǎn),且AC平分PAE,過C作CDPA,垂足為D.(1)求證：CD為0地切線；(2)若DC+DA=6,0地直徑為l0,求AB地長度.1. (1)證明：連接OC,點(diǎn)C在0上,0A=OC,OCA=OAC,CDPA,CDA=90,有CAD+DCA=90,AC平分PAE,DAC=CAO.DC0=DCA+ACO=DCA+CAO=DCA+DAC=90. 又點(diǎn)C在O上,OC為0地半徑,CD為0地切線(2)解：過0作0FAB,垂足為F,

9、OCA=CDA=OFD=90,四邊形OCDF為矩形,0C=FD,OF=CD.DC+DA=6,設(shè)AD=x,則OF=CD=6-x,O地直徑為10,DF=OC=5,AF=5-x,在RtAOF中,由勾股定理得.即,化簡得：解得或.由ADDF,知,故.從而AD=2, AF=5-2=3.OFAB,由垂徑定理知,F為AB地中點(diǎn),AB=2AF=6.4（已知四邊形ABCD是邊長為4地正方形,以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓,P是半圓上地動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A.B重合）,連接PA.PB.PC.PD (1)如圖,當(dāng)PA地長度等于 時(shí),PAB60； 當(dāng)PA地長度等于 時(shí),PAD是等腰三角形； (2)如圖,以AB邊所在直線為x軸.

10、AD邊所在直線為y軸,建立如圖所示地直角坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O）,把PAD.PAB.PBC地面積分別記為S1.S2.S3坐標(biāo)為（a,b）,試求2 S1 S3S22地最大值,并求出此時(shí)a,b地值5.6.（11金華）如圖,射線PG平分EPF,O為射線PG上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,10為半徑作O,分別與EPF 地兩邊相交于A.B和C.D,連結(jié)OA,此時(shí)有OA/PE（1）求證：AP=AO；（2）若tanOPB=,求弦AB地長；PABCODEFG第21題圖（3）若以圖中已標(biāo)明地點(diǎn)（即P.A.B.C.D.O）構(gòu)造四邊形,則能構(gòu)成菱形地四個(gè)點(diǎn)為 ,能構(gòu)成等腰梯形地四個(gè)點(diǎn)為 或 或 . （1）PG平分EPF,DPO

11、=BPO , OA/PE,DPO=POA , BPO=POA,PA=OA； 2分（2）過點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H,則AH=HB=AB,1分HPABCODEFG tanOPB=,PH=2OH, 1分設(shè)OH=,則PH=2,由（1）可知PA=OA= 10 ,AH=PHPA=210, , 1分解得（不合題意,舍去）,AH=6, AB=2AH=12； 1分（3）P.A.O.C；A.B.D.C 或 P.A.O.D 或P.C.O.B.7（蕪湖市）（本小題滿分12分）如圖,BD是O地直徑,OAOB,M是劣弧上一點(diǎn),過點(diǎn)M點(diǎn)作O地切線MP交OA地延長線于P點(diǎn),MD與OA交于N點(diǎn)（1）求證：PMPN；（2）若BD4,

12、PA AO,過點(diǎn)B作BCMP交O于C點(diǎn),求BC地長8（黃岡市）（6分）如圖,點(diǎn)P為ABC地內(nèi)心,延長AP交ABC地外接圓于D,在AC延長線上有一點(diǎn)E,滿足ADABAE,求證：DE是O地切線.（證明：連結(jié)DO,ADABAE,BADDAE,BADDAE,ADBE.又ADBACB,ACBE,BCDE,又ODBC,ODDE,故DE是O地切線）OBACEMD9（義烏市）如圖,以線段為直徑地交線段于點(diǎn),點(diǎn)是地中點(diǎn),交于點(diǎn),（1）求地度數(shù)；（2）求證：BC是地切線； （3）求地長度（解：（1）BOE=60 A BOE 30 （2）在ABC中 C=601分 又A 30 ABC=902分 BC是地切線 （3）點(diǎn)

13、M是地中點(diǎn) OMAE在RtABC中 AB=6 OA= OD= MD=）10. （蘭州市）（本題滿分10分）如圖,已知AB是O地直徑,點(diǎn)C在O上,過點(diǎn)C地直線與AB地延長線交于點(diǎn)P,AC=PC,COB=2PCB. （1）求證：PC是O地切線； （2）求證：BC=AB； （3）點(diǎn)M是弧AB地中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,若AB=4,求MNMC地值.解：（1）OA=OC,A=ACO COB=2A ,COB=2PCB A=ACO=PCB AB是O地直徑 ACO+OCB=90 PCB+OCB=90,即OCCP OC是O地半徑 PC是O地切線 （2）PC=AC A=P A=ACO=PCB=P COB=A+ACO

14、,CBO=P+PCB CBO=COB BC=OC BC=AB (3)連接MA,MB 點(diǎn)M是弧AB地中點(diǎn) 弧AM=弧BM ACM=BCM ACM=ABM BCM=ABM BMC=BMN MBNMCB BM2=MCMN AB是O地直徑,弧AM=弧BM AMB=90,AM=BM AB=4 BM= MCMN=BM2=8 11（本題滿分14分）O2O1NMBA圖（1）O2O1NMBA圖（2）如圖（1）,兩半徑為地等圓和相交于兩點(diǎn),且過點(diǎn)過點(diǎn)作直線垂直于,分別交和于兩點(diǎn),連結(jié)（1）猜想點(diǎn)與有什么位置關(guān)系,并給出證明；（2）猜想地形狀,并給出證明；（3）如圖（2）,若過地點(diǎn)所在地直線不垂直于,且點(diǎn)在點(diǎn)地兩側(cè)

15、,那么（2）中地結(jié)論是否成立,若成立請給出證明4. （1）在上證明：過點(diǎn),又地半徑也是,點(diǎn)在上（2）是等邊三角形 證明：,是地直徑,是地直徑,即,在上,在上 連結(jié),則是地中位線,則是等邊三角形 （3）仍然成立證明：由（2）得在中所對地圓周角為在中所對地圓周角為 當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)地兩側(cè)時(shí),在中所對地圓周角,在中所對地圓周角,是等邊三角形 12如圖12,已知：邊長為1地圓內(nèi)接正方形中,為邊地中點(diǎn),直線交圓于點(diǎn)（1）求弦地長（2）若是線段上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)長為何值時(shí),三角形與以為頂點(diǎn)地三角形相似BADEPC圖121）如圖1過點(diǎn)作于點(diǎn)在中,又地度數(shù)為 BADEPC5題圖1FBADEPC5題圖2QBADEPC5題圖3

16、（Q）（2）如圖2當(dāng)時(shí)有得：即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖3,當(dāng)時(shí),有得,即 當(dāng)或時(shí),三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)地三角形相似 13.（本小題滿分10分）如圖,O是RtABC地外接圓,AB為直徑,ABC=30,CD是O地切線,EDAB于F,第6題圖ABDEOFC(1)判斷DCE地形狀；(2)設(shè)O地半徑為1,且OF=,求證DCEOCB 6. 解：(1)ABC=30,BAC=60又OA=OC, AOC是正三角形又CD是切線,OCD=90,DCE=180-60-90=30而EDAB于F,CED=90-BAC=30故CDE為等腰三角形 (2)證明：在ABC中,AB=2,AC=AO=1,BC=OF=,AF=AO+OF=又AE

17、F=30,AE=2AF=+1 CE=AE-AC=BC而OCB=ACB-ACO=90-60=30=ABC,故CDECOB.14（08湖北襄樊24題）8（本小題滿分10分）如圖14,直線經(jīng)過上地點(diǎn),并且,交直線于,連接（1）求證：直線是地切線；（2）試猜想三者之間地等量關(guān)系,并加以證明；（3）若,地半徑為3,求地長（1）證明：如圖3,連接 , 是地切線 （2） 是直徑, 又, 又, （3）, ,設(shè),則 又, 解之,得, 15 如圖14,直線經(jīng)過上地點(diǎn),并且,交直線于,連接（1）求證：直線是地切線；（2）試猜想三者之間地等量關(guān)系,并加以證明；（3）若,地半徑為3,求地長4 解：（1）證明：如圖3,連

18、接 ,是地切線 （2） 是直徑,又,又,（3）,設(shè),則又, 解之,得,5 O地半徑OD經(jīng)過弦AB(不是直徑)地中點(diǎn)C,過AB地延長線上一點(diǎn)P作O地切線PE,E為切點(diǎn),PEOD；延長直徑AG交PE于點(diǎn)H；直線DG交OE于點(diǎn)F,交PE于點(diǎn)K(5題)（1）求證：四邊形OCPE是矩形；（2）求證：HKHG； （3）若EF2,FO1,求KE地長5 解：(1)ACBC,AB不是直徑,ODAB,PCO90(1分)PEOD,P90,PE是切線,PEO90,(2分)四邊形OCPE是矩形.(3分)(2)OGOD,OGDODG.PEOD,KODG.(4分)OGDHGK,KHGK,HKHG.(5分)(3)EF2,OF1,EODO3.(6分)PEOD,KEODOE,KODG.OFDEFK,(7分)EFOFKEOD21,KE6.(8分)6題6 如圖,直角坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)O(0,0) A(2,0),點(diǎn)B在第一象限且OAB為正三角形,OAB地外接圓交軸地正半軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C地圓地切線交X軸于