關(guān)于秒殺和壓軸題

1、第五章  關(guān)于秒殺和壓軸題   很多朋友留言說想掌握秒殺的最后一層。 關(guān)于秒殺法的最難掌握的一層，便是對于高考數(shù)學(xué)壓軸題的把握。 壓軸題，各省的難度不一致，但毫無疑問，尤其是理科的，會難倒很多很多很多人。  不過，壓軸題并不是那般神秘難解，相反，出題人很怕很怕全省沒多少做出來的，明白么？他很怕。那種思想，在群里面我也說過，在這里就不多啰嗦了。 想領(lǐng)悟、把握壓軸題的思路，給大家推薦幾道題目。 全是數(shù)學(xué)壓軸題，且是理科（09的除山東的外我都沒做過，所以不在推薦范圍內(nèi)）。 

2、0;08全國一，08全國二，07江西，08山東，07全國一 一年過去了，很多題目都忘了，但這幾道題，做過之后，雖然一年過去了，可脈絡(luò)依然清晰。都是一些可以秒殺的典型壓軸題，望沖擊清華北大的同學(xué)細(xì)細(xì)研究。記住，壓軸題是出題人在微笑著和你對話。具體的題目的“精”，以及怎么發(fā)揮和壓榨一道經(jīng)典題目的最大價值，會在以后的視頻里面講解的很清楚。不過，我還是要說一下數(shù)列壓軸題這塊大家應(yīng)該會什么（難度以及要求依次增高）1： 通項公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者問老師，這里必考。 尤其推薦我押題的第一道數(shù)列解答題。 ）2.： 裂項相消（各種形式的都要會）、迭加、迭乘、錯位相減求和（這幾個是

3、最基本和簡單的數(shù)列考察方式，一般會在第二問考）3： 數(shù)學(xué)歸納法、不等式縮放基本所有題目都是這幾個的組合了，要做到每一類在腦中都至少有一道經(jīng)典題想對應(yīng)才行哦。開始解答題了哦，先來一道最簡單的。貌似北京的大多挺簡單的。這道題意義在什么呢？對于這道題在高考中出現(xiàn)的可能性我不做解釋，只能說不大。意義在于，提醒大家四個字，必須必須必須謹(jǐn)記的四個字：分類討論！ 下面07年山東高考的這道導(dǎo)數(shù)題，對分類討論的考察尤為經(jīng)典，很具參考性，類似的題目在08、09、10年高考題中見了很多。(22)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()當(dāng)b> 時，判斷函數(shù)

4、f(x)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)f(x)的極值點；（）證明對任意的正整數(shù)n,不等式ln( )都成立. 這道題我覺得重點在于前兩問，最后一問.有點雞肋了這道題，太明顯了對吧？  看壓軸問的形式 ， 想想我之前關(guān)于壓軸題思路的講解， 看出來么？  第三問其實就是直接利用第一問和第二問的結(jié)論，   很明顯的令 1/n 為 x    這道題就出來了。這也證明了我之前對壓軸題的評述吧。當(dāng)然這只是例子之一了，絕大多數(shù)壓軸題都是這樣的。下面，下面，下面， 重點來了。大家是否眼熟這個不

5、等式呢？   ln X<= X-1     你可以利用導(dǎo)數(shù)去證明這個不等式的正確性，但我想說的是，這個小小的不等式，太有用了。什么用？   將一個對數(shù)形式的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個 X-1   這樣簡單的線性函數(shù)， 多么漂亮的一個式子！可以說，導(dǎo)數(shù)不等式證明中，見到自然對數(shù)，我第一個想的就會是這個不等式，看能否利用這個不等式將題目轉(zhuǎn)化為特別容易做的一道題。這也是一種很重要而且經(jīng)典的縮放！ 不信的話大家去看07-10年的全國各地高考題，看看有多少省用到了這個不等

6、式的！而下面這道我認(rèn)為導(dǎo)數(shù)解答題中特經(jīng)典的一道的簡單解法，就是用了這個不等式！  再次強(qiáng)調(diào)：壓軸題中，見到對數(shù)函數(shù)式的不等式證明，第一個要想的是這個不等式！ 再舉幾個例子：1.一個三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，對應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則三內(nèi)角所成等差數(shù)列的公差等于_解：這個題真算的話 有點難度 也挺麻煩但考試的時候 完全可以秒殺直接特殊化為等邊三角形 答案就出來了 等邊三角形滿足題意么？ 滿足， 只要不違背題意 條件隨你加， 隨你加強(qiáng)所以公差為0幾秒鐘一道很難的題 這就是秒殺的目的所在這個題條件很強(qiáng)，既有角的限制又有邊的限制，就說明答案唯一可是，那是考試現(xiàn)場時

7、的秒殺。對一道能秒殺的題，不僅要秒殺，還要真正做出來才算詳解： 假設(shè)A<=B<=CA+C=2B  b平方=ac用正弦定理得出COS(A-C)=1也可用余弦定理求出ABC。  第六章  再說秒殺和壓軸題以下為視頻講解內(nèi)容：秒殺也分幾類：最常用的一般是特殊性（有些人理解的特殊值，其實特殊值也是特殊化的一種罷了，還有其實技巧不在這里，而在于這個特殊值你如何取，取得好，那叫藝術(shù)，取得不好.嗯?。┑谝活}：AN是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和，前3n項和分別是x,y,z,則下列等式恒成立的是1.X+Y=2Y 

8、;          2.Y(Y-X)=Z(Z-X)3.Y平方=XZ         4.Y(Y-X)=X(Z-X)如何秒殺呢，很明顯，取特殊值，如何取呢？以前說過，見到AN是任意等比數(shù)列的等等或者說見到任意兩字的，往往就是我們發(fā)揮的地方。我們令A(yù)N=1，呵呵，很特殊了吧，還不止，我們這里再令N=1，這樣題目變成什么了呢？我翻譯一下：已知AN是任意等比數(shù)列，它的前1項和x，前2項和Y，前3項和是z,則下列等

9、式恒成立的是?你猜，呵呵，這樣直接可以排除2,3了，那么1，4呢？我們假設(shè)A1=1，A2=2，A3=4，這樣符合題意吧？很明顯1不正確，4任然正確，答案是4 第二題：如圖，在 中，點 是 的中點，過點 的直線分別交直線 ， 于不同的兩點 ，若 ， ，則 的值為                           

10、60;    向量如何秒殺呢，其實就只說向量，也有兩三鐘秒殺的方法，我覺得好用的就是特殊化+坐標(biāo)化！呵呵，就是把三角形特殊化為等腰直角三角形，這意思也是任意三角形吧，按照題意，我們畫出MN的直線，若 ， ，根據(jù)上面的兩個公式，可以求出，大家記得嗎-是直線的截距式（不記得的都面壁去吧，這可是基礎(chǔ)）根據(jù)截距式我們得出MN的直線方程為MX+NY=1，我們還有個條件沒有用，直線MN過中點，明顯BC中點為（1/2,1/2）,對吧，帶入得M+N=2這個是07年江西的一道高考題，常規(guī)方法要比這個麻煩的多，而且可能大部分同學(xué)還不會做，而換成秒殺的就是最基本的加減運算啦！

11、其實秒殺呢，每張卷子都能用到的是那種集合，求范圍等等的題目，就不舉例子了！還有就是三角函數(shù)，解析幾何（這個主要是取特殊位置的直線），至于三角函數(shù)，也分好多種吧，比如，題目讓你求一個三角函數(shù)表達(dá)式的值，而且是道選擇題。 比如哦：tanA*tanB+conA*sinB等等的算式吧，然后選擇項里面都是常數(shù)，也就是和AB無關(guān)，那么很明顯，不管AB取什么，結(jié)果都一樣，這時候，我們就可以隨便給AB值，就可以得出最后結(jié)果，這樣的題我見過不少！上面說的都是一些簡單但很常用的，難一點的應(yīng)該算是變換，或者用到復(fù)指數(shù)等，比如函數(shù)旋轉(zhuǎn)等等，就可以利用復(fù)向量的旋轉(zhuǎn)特性去解決，哦，對了，還有一種很常用的，我隨便

12、出題：X平方+Y平方=1，求X+Y的取值范圍常規(guī)的方法肯定是畫圖等等，或者消元了唄，但我們可以用三角函數(shù)去做，X平方+Y平方=1，令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范圍，明顯是正負(fù)根2，是吧？一眼就看出來了，當(dāng)然，一般題目不會這么簡單，比如：3X平方+4Y平方=1，求X,Y取值范圍，這時候畫圖就不好使了哦，因為不是園，但三角函數(shù)依然可以，我們令3X平方=conA平方，4Y平方=sinA平方，然后是不是和上面一樣了呢！好了秒殺就這樣吧！ 壓軸題下面這道是我高考的壓軸題，是道橢圓的題，不算難。大家應(yīng)該知道，壓軸題一般會在數(shù)列不等式，解析幾何兩者之間選一道，數(shù)列的也

13、想整一道例題，可時間有限，就算了。下面是09年的山東理科數(shù)學(xué)壓軸題： 第一問：送分第二問： ，呵呵，我還記得在考場上，我看到 時就笑了，高考題考來考去也就是這些基本的不變的東西。這個代表什么呢？這個是題眼，其實我們都很清楚。OA*OB=0（向量點乘），其實看到這里，后面的不用想也能再腦中出來一推東西，我大概說下： 首先OA*OB=0，所以X1X2+Y1Y2=0明顯韋達(dá)定理要用了，然后要連立直線了，比如設(shè)直線AB為：Y=KX+M  （設(shè)出來這個直線的時候，腦子里面應(yīng)該本能的想到一個詞“分類”，就是K不存在的情況，一定要分類，給大家說，只要能分類的，一定要分

14、類，因為每一個分類就有一定的分，我們的目的就是拿分?。┤缓罂梢缘贸鯧和M的一個等式，（有一個式子，那肯定能根據(jù)題目其它的一個條件得出另外一個式子，這兩個式子聯(lián)立，一般就可以做出來了）哦，這個說明下，這是看到OA*OB=0后出來的一推東西，后面的還沒看呢，繼續(xù)看，呵呵出來了，切線，我們都知道，根據(jù)切線，肯定能得出一個等式，這樣題目思路就清晰了！上面這些，大家是不是都能熟練的背下來呢，其實這道題難得不是這些，難在你是不是明白題意。還有對圓錐曲線問題，大家心里一定一定要堅定一個信念-那就是直線和曲線聯(lián)立！這句話很重要，只有你能找到直線和曲線聯(lián)立（一定要找對哦，比如說這道題，你總不能OA和橢圓聯(lián)立吧？

15、！只有你能想到用AB去聯(lián)立，那么后面的一直到韋達(dá)定理，一般就可以得8分了。大家可能會想，誰都知道用AB聯(lián)立，可是到了高考那樣的氛圍，你還能像平時一樣大腦清醒嗎？而且萬一不是一條直線呢等等的情況，你真不一定找到） 題目還要：并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由玄長公式，對吧，因為知道了K和M 的關(guān)系，所以玄長公式里面只有一個K ，而K又有一定的范圍，所以再結(jié)合不等式的知識，可以求出范圍，當(dāng)然還要考慮K不存在的情況，不然又要扣分！ 啰嗦了這么多，想告訴大家的：其實就是一定要有思路。思路哪里來的？是不是從OA*OB=0這里展開一系列的想法呢？可

16、以說，思路就是一個題眼，得出一個總體框架，然后在實際做題中把各個細(xì)節(jié)填滿，問題在于，你如何知道哪里是題眼？就是知道，你如何正確處理？ 嗯，問到點子上了，我記得我高二高三的時候，每做一道很典型的題，我都會把這道題想的很透很透，然后，閑暇時，腦子里想的就是最近做過的和新學(xué)得知識，時間上了，基本上見些東西，就能本能的搜索到相應(yīng)的應(yīng)對方法。 大家可能會問，高考題是會變的，而且數(shù)學(xué)又是一門很靈活的東西，隨便一點變化，都可以出來很多很多的題目。其實高考是在變，而且變的很靈活。但是高考中更多的是不變，所謂不變就是知識點不變，考點不變（相對來說吧），以及更重要的是難題的入手點不變！或者就是

17、說題眼不變，最多就是變個說法！就拿OA*OB=0來說，可以衍生出很多不同的說法，比如中點，角分線等等，還有比如向量AF=3FB向量，這個也是大題中常見的。這樣的如何出處理？，帶入坐標(biāo)，會得到兩個式子，這兩個式子中的一個比較簡單比如：X2=3X1，還有一個關(guān)于Y 的，如何用，任何時候，都只用其中一個，你如果兩個都用，那你就.用哪個呢？很顯然啊，用X2=3X1，這個對吧，因為這個簡單。然后再如何做呢？這個可以用韋達(dá)定理了嗎？其實可以，只要對這個式子做幾次變化，就可以用韋達(dá)定理了，從而又要聯(lián)立直線?；蛘吣憧梢月?lián)立后，解除X1，X2，然后帶入X2=3X1，一樣可以得到一個等式。我上面說的這些，都是需要

18、你平時不斷的積累！我之前說過，重復(fù)的做試卷-，要做的是什么？是像圓錐曲線，數(shù)列不等式，立體幾何等等的很復(fù)雜的解答題。 我高三的時候，一張卷子看過去，基本上所有題的思路都立馬出來了，那時候我在干嘛？我就做圓錐計算.就是為了訓(xùn)練自己的卷面，速度和正確率。不知道大家有什么收獲，其實每一個題目（就算是最難的數(shù)列，圓錐曲線等），都是有著明顯的切入點的，所謂切入點，我覺得就是命題人和考生之間的一種約定。一定要把這個切入點（暗示）抓出來！如何一眼就看出來呢？這要靠平時積累，很累，但收獲很大.比如B+C=6，或者B+C=BC 等等，一看就是余弦定理 還有很多很多.做題積累吧！ 1

19、1“秒殺”高考綜合題系列之(一)點差法在解析幾何綜合題中的應(yīng)用優(yōu)能中學(xué) 從強(qiáng)到高三的同學(xué)都知道，浙江省高考在解析幾何章節(jié)的考查內(nèi)容肯定包含一道綜合題，一般多是橢圓和拋物線，按照命題的規(guī)律和趨勢，我們發(fā)現(xiàn)以下兩點：（1）理科數(shù)學(xué)在此章節(jié)一般考察橢圓，文科數(shù)學(xué)一般考察拋物線；（2）考察的題型一般是直線與解析幾何的位置關(guān)系。諸位可以翻看一下浙江過往幾年的考試試卷看看。上過從老師高考班的同學(xué)應(yīng)該記得，在解決解析幾何圖形與直線相切這個位置關(guān)系的題型的時候，“抄一個，代一個”這六個字可以幫助大家快速提升做題速度。如果大家要用判別式、位置關(guān)系等通法解決此類問題時，耗費510分鐘不說，510分鐘的計算量還不一

20、定能保證結(jié)果正確。但諸位如果知道“抄一個，代一個”，一旦看到直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等相切問題時，應(yīng)做到能在10秒鐘以內(nèi)準(zhǔn)確地寫出切線的方程。當(dāng)然，直線與上面圖形的位置關(guān)系除了相切以外，另外一種更?？嫉奈恢檬窍嘟?。在相交的題型中，一旦看到“弦長”或者“面積”等關(guān)鍵詞時，應(yīng)立即想到“設(shè)直線、代曲線、根與系數(shù)搞定一切”（弦長公式）。相信大家對這種題型應(yīng)該有較深的體會了。今天我在這里要跟大家探討的是：題目中出現(xiàn)“直線與橢圓交于兩點A、B”（即AB是橢圓內(nèi)的一條弦）、“AB中點M”等關(guān)鍵詞時的解題方法?！包c差法”精髓在于“設(shè)而不求”，通過點差法有個重要的結(jié)論要求大家記住。設(shè)橢圓方程為，任意一條直

21、線交橢圓于，兩點，則兩式相減得到，移向整理后得到： 即：（M為AB中點）同樣的道理，對于長軸在y軸上的橢圓，結(jié)論為.也就是說：橢圓內(nèi)任意弦AB所在直線的斜率與過該弦中點并且經(jīng)過原點的直線的斜率乘積為一個常數(shù)?！驹偻卣埂慨?dāng)A、B兩點離的非常近時，可以將這個結(jié)論看做：過橢圓上某點P有一條切線，則請看2009年浙江高考第21題已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點在拋物線：上，在點處的切線與交于點當(dāng)線段的中點與的中點的橫坐標(biāo)相等時，求的最小值也許很多同學(xué)都看過所謂“標(biāo)準(zhǔn)答案”給我們的解題過程，設(shè)出直線方程后代入，經(jīng)過兩次判別式來確定h的取值范圍。這

22、也是很多參考書上給出的參考解題思路。不過按照此種通法解題思路，計算量和整理的工作至少需要710多分鐘。第一問很簡單，結(jié)果為：按照我們上面講到的“點差法”，在第二問中一旦看到“弦”、“中點”等關(guān)鍵詞，就應(yīng)立即想到：（T為MN中點）首先想到MN的斜率即是點P處的切線斜率，設(shè)點P橫坐標(biāo)為，則點P縱坐標(biāo)為 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得：MN中點T的橫坐標(biāo)即PA中點橫坐標(biāo)，根據(jù)“抄一個，代一個”的技巧，很容易直接就得到過點P切線直線方程，將的值代入直線方程，得： 所以于是，整理，得： ，顯然這是一個基本不等式，非常容易就得到或者很顯然，對于，此時的拋物線內(nèi)部包含了橢圓，切線與橢圓沒有交點

23、，排除掉；所以。的最小值為1。【總結(jié)一下】注意題目中出現(xiàn)的“弦”、“中點”等關(guān)鍵詞，利用點差法推導(dǎo)出來的這個結(jié)論，不僅可以提供解決題目的思路，很順暢地進(jìn)行“需要什么就寫什么”數(shù)學(xué)解題，而且可以大大減少運算量，提高速度和正確率。對于拋物線，利用點差法也可以有類似的結(jié)論，由于篇幅關(guān)系，不再贅述。【課外練習(xí)】利用常規(guī)方法解決下面問題，再用上面的小結(jié)論分析解決一次。比較一下兩種方法所需的時間?！揪毩?xí)I】如圖，橢圓1（ab0）與過點的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=。（I）求橢圓方程；（II）設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF的中點，求證：ATM=AFT。【解答提示】如果利用常規(guī)解法，第一問需要5-10的時間，我們可以將這個結(jié)論擴(kuò)充到直線與橢圓相切的模型，利用該結(jié)論很快得到OT直線的斜率，進(jìn)而得到點T的坐標(biāo)，問題得解。在