數(shù)學分析教案 (華東師大版)第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

1、第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 教學目的：1.使學生理解怎樣用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來定義一個函數(shù)；2.掌握如何利用函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）來研究被它表示的函數(shù)的性質。 教學重點難點：本章的重點是函數(shù)列一致收斂的概念、性質；難點是一致收斂的概念、判別及應用。 教學時數(shù)：20學時 § 1 一致收斂性 一       函數(shù)列及極限函數(shù)：對定義在區(qū)間I上的函數(shù)列 ，介紹概念： 收斂點，收斂域（ 注意定義域與收斂域的區(qū)別 ），極限函數(shù)等概念.  逐點收斂 ( 或稱為“點態(tài)收斂” )的“ ”定義.   例1 對定義在

2、內的等比函數(shù)列 , 用“ ”定義驗證其收斂域為 , 且 例2 .用“”定義驗證在內.   例3 考查以下函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù): .  . . . . 設 為區(qū)間 上的全體有理數(shù)所成數(shù)列. 令   , . . , . 有 , , . （ 注意 .） 二. 函數(shù)列的一致收斂性: 問題: 若在數(shù)集D上 , . 試問: 通項 的解析性質是否必遺傳給極限函數(shù) ? 答案是否定的. 上述例1、例3說明連續(xù)性未能遺傳,而例3說明可積性未能遺傳. 例3說明雖然可積性得到遺傳, 但 . 用函數(shù)列的極限表示函數(shù)是函數(shù)表達的一種重要手段. 特別是表達非初等函數(shù)的一種手段. 對這種函數(shù)

3、, 就是其表達式.于是,由通項函數(shù)的解析性質研究極限函數(shù)的解析性質就顯得十分重要. 那末, 在什么條件下通項函數(shù)的解析性質能遺傳給極限函數(shù)呢? 一個充分條件就是所謂“一致收斂”. 一致收斂是把逐點收斂加強為所謂“整體收斂”的結果.   定義 ( 一致收斂 )   一致收斂的幾何意義. Th1 (一致收斂的Cauchy準則 ) 函數(shù)列 在數(shù)集D上一致收斂, , . ( 介紹另一種形式 .) 證 ( 利用式 ) 易見逐點收斂. 設 ,有 . 令 , 對 D成立, 即 , ， D. 推論1 在D上 , ， . 推論2 設在數(shù)集D上 , . 若存在數(shù)列 D , 使 , 則函數(shù)列 在

4、數(shù)集D上非一致收斂 . 應用系2 判斷函數(shù)列 在數(shù)集D上非一致收斂時, 常選 為函數(shù) 在數(shù)集D上的最值點.   驗證函數(shù)一致收斂性: 例4 . 證明函數(shù)列 在R內一致收斂. 例5 . 證明在R內 , 但不一致收斂. 證 顯然有 , 在點 處取得極大值 , . 由系2 , 不一致收斂. 例6 . 證明在 內 , . 證 易見 而 在 內成立. 由系1 , 例7 對定義在區(qū)間 上的函數(shù)列 證明: , 但在 上不一致收斂. P3839 例3, 參圖13-4. 證 時, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 . , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 , 該函數(shù)列在 上不一致收斂.

5、 例8 . 考查函數(shù)列 在下列區(qū)間上的一致收斂性: ; .   三. 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性: 1 函數(shù)項級數(shù)及其和函數(shù)：， , 前 項部分和函數(shù)列 ，收斂點，收斂域, 和函數(shù), 余項.   例9 定義在 內的函數(shù)項級數(shù)( 稱為幾何級數(shù) ) 的部分和函數(shù)列為 , 收斂域為 .   2.       一致收斂性: 定義一致收斂性.   Th2 ( Cauchy準則 ) 級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂, , 對 D成立. 推論 級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂, , . Th3 級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂, .

6、例10 證明級數(shù) 在R內一致收斂 . 證 令 = , 則 時 對 R成立. 例11 幾何級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂；但在 內非一致收斂.   證 在區(qū)間 上 , 有 , . 一致收斂 ; 而在區(qū)間 內 , 取 , 有 , . 非一致收斂. ( 亦可由通項 在區(qū)間 內非一致收斂于零, 非一致收斂.) 幾何級數(shù) 雖然在區(qū)間 內非一致收斂 , 但在包含于 內的任何閉區(qū)間上卻一致收斂 . 我們稱這種情況為“閉一致收斂”. 因此 , 我們說幾何級數(shù) 在區(qū)間 內閉一致收斂 . 四.       函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法: 1. 

7、        M - 判別法: Th 4 ( Weierstrass判別法 ) 設級數(shù) 定義在區(qū)間D上, 是收斂的正項級數(shù).若當 充分大時, 對 D有| , 則 在D上一致收斂 . 證 然后用Cauchy準則. 亦稱此判別法為優(yōu)級數(shù)判別法. 稱滿足該定理條件的正項級數(shù) 是級數(shù) 的一個優(yōu)級數(shù). 于是Th 4 可以敘述為: 若級數(shù) 在區(qū)間D上存在優(yōu)級數(shù) , 則級數(shù) 在區(qū)間D上一致收斂 . 應用時, ?？稍嚾?.但應注意, 級數(shù) 在區(qū)間D上不存在優(yōu)級數(shù) , 級數(shù) 在區(qū)間D上非一致收斂.   注意區(qū)分用這種控制方法判別函

8、數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的區(qū)別所在.   例12 判斷函數(shù)項級數(shù) 和 在R內的一致收斂性 . 例13 設 是區(qū)間 上的單調函數(shù). 試證明 : 若級數(shù)與 都絕對收斂, 則級數(shù) 在區(qū)間 上絕對并一致收斂 . 簡證 , 留為作業(yè). .   2. Abel判別法: Th 5 設 > 級數(shù) 在區(qū)間 上收斂; > 對每個 , 數(shù)列 單調 ; > 函數(shù)列 在 上一致有界, 即 , 使對 和 , 有. 則級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂 . ( 1P43 ) 2.      Dirichlet判別法: Th 6 設> 級數(shù)

9、 的部分和函數(shù)列 在區(qū)間 上一致有界; > 對于每一個 , 數(shù)列 單調; > 在區(qū)間 上函數(shù)列 一致收斂于零. 則級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂 . 例14 判斷函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)間 上的一致收斂性. 解 記 . 則有> 級數(shù) 收斂; > 對每個 , ；> 對 和 成立. 由Abel判別法, 在區(qū)間 上一致收斂. 例15 設數(shù)列 單調收斂于零 . 試證明 : 級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂. 證 在 上有 . 可見級數(shù) 的部分和函數(shù)列在區(qū)間 上一致有界 . 取 , . 就有級數(shù) 的部分和函數(shù)列在區(qū)間 上一致有界, 而函數(shù)列 對每一個 單調且一致收斂于零.由Dirichlet判別

10、法,級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂. 其實 , 在數(shù)列 單調收斂于零的條件下, 級數(shù) 在不包含 的任何區(qū)間上都一致收斂. 習 題 課 例1 設 , , . 且 , . 若對每個自然數(shù) 有| | 對 成立, 則函數(shù)列 在 上一致收斂于函數(shù) . 例2 證明函數(shù)列 在區(qū)間 上非一致收斂. 例3 , . 討論函數(shù)列 的一致收斂性. 解 0, . | 0| . 可求得 . 函數(shù)列 在區(qū)間 上非一致收斂. 例4 設函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) . 定義 . 試證明函數(shù)列 在區(qū)間 上一致收斂于零. 證法一 由 有界 . 設在區(qū)間 上| | . | | ; | | ; | | .注意到對 , . 0, , . 證法二 .

11、有界. 設在區(qū)間 上| | . 把函數(shù) 在點展開成具Lagrange型余項的 階Taylor公式 , 注意到  , 就有 , , , . 所以 , 0, , . 例5 設 . 且 , . 令   , ,  . .試證明: 若對 和 , 有 , 則函數(shù)列 在區(qū)間 上一致收斂 . 證 對 取 , 使 時, 有 . 于是對任何自然數(shù) 和, 有 . 由Cauchy收斂準則 , 函數(shù)列 在區(qū)間 上一致收斂 . 例6 設在數(shù)集 上函數(shù)列 一致收斂于函數(shù) . 若每個 在數(shù)集 上有界 , 則函數(shù)列 在數(shù)集 上一致有界 . 證 ( 先證函數(shù) 在數(shù)集 上有界 ) 設在 上有| | .

12、 對 ,由函數(shù)列 在數(shù)集 上一致收斂, ,當 時 , 對 ,有 | | | , | |< . 即函數(shù) 在數(shù)集 上有界. ( 次證函數(shù)列 在數(shù)集 上一致有界 ) 時, 對 ,有 | | | | |< , | | . 取 易見對 和 有| | . 即函數(shù)列 在數(shù)集 上一致有界 . 例7 設 為定義在區(qū)間 上的函數(shù)列, 且對每個 , 函數(shù) 在點 右連續(xù) , 但數(shù)列 發(fā)散. 試證明: 對 ), 函數(shù)列 在區(qū)間 內都不一致收斂. 證 反設 , 使 在區(qū)間 內一致收斂. 則對 , 有 對 成立. . 為Cauchy列,即 收斂. 與已知條件矛盾.   § 2 一致收斂函數(shù)列

13、和函數(shù)項級數(shù)的性質 一. 一致收斂函數(shù)列極限函數(shù)的解析性質: 1.             連續(xù)性: Th 1 設在 上 ,且對 ,函數(shù) 在 上連續(xù) , 在 上連續(xù). 證 ( 要證 : 對 , 在點 連續(xù) . 即證: 對 , , 當| 時, . ) . 估計上式右端三項. 由一致收斂 , 第一、三兩項可以任意小; 而由函數(shù) 在點 連續(xù), 第二項 也可以任意小 . 推論 設在 上 . 若 在 上間斷 ，則函數(shù)列 在 上一致收斂和所有 在 上連續(xù)不能同時成立. 註 Th1表明:

14、對于各項都連續(xù)且一致收斂的函數(shù)列 , 有 . 即極限次序可換 . 2. 可積性: Th 2 若在區(qū)間 上函數(shù)列 一致收斂 , 且每個 在 上連續(xù). 則有 . 證 設在 上 , 由Th1, 函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),因此可積. 我們要證 . 注意到 , 可見只要 在 上成立. Th2的條件可減弱為: 用條件“ 在 上( R )可積”代替條件“ 在 上連續(xù)”.  關于函數(shù)列逐項積分條件的減弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 設 是定義在區(qū)間 上的函數(shù)列. 若 在 上收斂且一致可積 , 則其極限函數(shù) 在 上( R)可積 , 且有 .   3. 可微性: Th 3 設函數(shù)列 定義在區(qū)間 上, 在某個點 收斂. 對 , 在 上連續(xù)可導, 且由導函數(shù)構成的函數(shù)列 在 上一致收斂, 則函數(shù)列 在區(qū)間 上收斂, 且有 . 證 設 ， . , . 對 , 注意到函數(shù) 連續(xù)和 + , 就有 + （ 對第二項交換極限與積分次序） + + . 估計 | + | | + | ,可證得 . . 即 . 亦即求導運算與極限運算次序可換. 例1 P38 例1 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. ) 例2 P39例2 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. ) E