基本初等函數圖像及性質

1、實用標準六大基本初等函數圖像及其性質一、常值函數（也稱常數函數）y =C （其中 C 為常數）；常數函數（ yC ）C0yyCy0xO平行于 x 軸的直線定義域 R二、冪函數 y x， x 是自變量，是常數；y11. 冪函數的圖像 ：y x2y x2y x1O2. 冪函數的性質 ；性質yxyx2yx3函數定義域RRR值域R0,+ )R奇偶性奇偶奇單調性增0,+ )增增(- ,0減C0yOy 軸本身定義域 Ryxyx3xy1x 20,+ )0,+ )非奇非偶增xyx 1x|x 0y|y 0奇(0,+ )減(- ,0)減公共點（1,1 ）文檔實用標準1）當為正整數時，函數的定義域為區(qū)間為x ( ,

2、) ，他們的圖形都經過原點，并當>1 時在原點處與 x 軸相切。且為奇數時，圖形關于原點對稱；為偶數時圖形關于y 軸對稱；2）當為負整數時。函數的定義域為除去x=0 的所有實數；3）當為正有理數m 時， n 為偶數時函數的定義域為（0, + ）， n 為奇數時函數的定義域為（ -n ,+ ），函數的圖形均經過原點和（1,1 ）；4）如果 m>n圖形于 x 軸相切，如果m<n,圖形于 y 軸相切，且 m為偶數時，還跟 y 軸對稱； m，n 均為奇數時，跟原點對稱；5）當為負有理數時，n 為偶數時，函數的定義域為大于零的一切實數；n 為奇數時，定義域為去除 x=0 以外的一切實數

3、。三、指數函數 yax ( x 是自變量 , a 是常數且 a0 ， a1 ) ，定義域是 R ； 無界函數 1. 指數函數的圖象 ：ya xyyyax(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指數函數的性質 ；性質y a x (a 1)y ax (0 a 1)函數定義域R值域(0 ，+)奇偶性非奇非偶公共點過點 (0 ，1) ，即 x0 時， y1單調性在（，）是增函數（，）在是減函數1 ） 當 a1時 函 數 為 單 調 增 , 當 0 a1時函數為單調減；2 ） 不 論 x 為 何 值 ,y 總 是 正 的 , 圖 形 在 x 軸 上 方 ；3 ） 當 x0 時

4、 , y1,所以它的圖形通過(0,1) 點。文檔實用標準3. （選，補充）指數函數值的大小比較a N *；yxx1a. 底數互為倒數的兩個指數函數f (x) af (x)af (x) ax1， f ( x)ax(0,1)的函數圖像關于y 軸對稱。Oxh( x)3xyf (x) 2xb.1. 當 a 1時， a 值越大， y ax(0,1)的圖像越靠近 y 軸；Oxg( x)yx131xq(x)2b.2. 當 0a 1時， a 值越大， y ax(0,1)的圖像越遠離 y 軸。O4. 指數的運算法則（公式）；a. 整數指數冪的運算性質( a0, m, nb. 根式的性質；Q ) ；nn a當 n

5、 為奇數時， n anaamanamn(1)a； (2)(1)當 n 為偶數時， na na(a0)(2)ama nam naa(a0)nc. 分數指數冪；(3)amanmanma nn am(a0, m, n Z * , n1)(1)mnn nm11*aba b(4)(2)a nmnam(a 0, m, nZ, n 1)a n文檔實用標準四、對數函數ylog a x ( a 是常數且 a0, a1) ，定義域 x(0,) 無界 1. 對數的概念：如果 a(a 0， a 1) 的 b 次冪等于 N，就是abN ，那么數 b 叫做以 a 為底 N 的對數，記作 loga Nb , 其中 a 叫做

6、對數的底數，N叫做真數，式子log a N 叫做對數式。對數函數 yloga x 與指數函數 ya x 互為反函數，所以ylog a x 的圖象與 ya x 的圖象關于直線 yx 對稱。2. 常用對數：log10 N 的對數叫做常用對數，為了簡便，N的常用對數記作lg N 。3. 自然對數： 使用以無理數e2.7182 為底的對數叫做自然對數，為了簡便，N 的自然對數 log e N 簡記作 ln N 。4. 對數函數的圖象：yOx1yylog a x (a1)(1,0)xOx 1(1,0)x5. 對數函數的性質 ；yloga x (0 a 1)性質ylog a xyloga x函數(a 1)

7、(0a 1)定義域(0 ，+)值域R奇偶性非奇非偶公共點過點 (1 ， 0) ，即 x1時， y0單調性在 (0,+ ) 上是增函數在 (0,+ ) 上是減函數1）對數函數的圖形為于y 軸的右方，并過點(1,0) ；2）當 a1 時，在區(qū)間(0,1) ， y 的值為負，圖形位于 x 的下方；在區(qū)間 (1,+) ，y 值為正，圖形位于x 軸上方，在定義域是單調增函數。a 1 在實際中很少用到。文檔實用標準6. （選，補充）對數函數值的大小比較a N *；yyloga xa. 底數互為倒數的兩個對數函數y log a x ， y log 1 x(1,0)aOx的函數圖像關于x 軸對稱。yf ( x

8、)log2xylog 1 xaf ( x)log3 xb.1. 當 a1時， a 值越大， f (x) log a xx 軸；的圖像越靠近O(1,0)xyb.2. 當 (0a 1) 時， a 值越大， f ( x) loga x(1,0)xO的圖像越遠離x 軸。f ( x) log 1x37. 對數的運算法則（公式）；a. 如果 a 0， a1， M 0， N 0，那么：loga MNloga Mlog a NMlog a Nlog a Mloga Nlog a M nn log a Mb. 對數恒等式：alog a NN (a0且a1，N0)f ( x)log 1 x2c. 換底公式：(1)

9、 log b Nlog a N0,a 1，一般常常（ alog a b換為 e或 10 為底的對數 , 即 logb Nln N或ln blog b Nlg N）lg b(2) 由公式和運算性質推倒的結論：nnloga m bloga bd. 對數運算性質(1)1 的對數是零，即log a 10 ；同理 ln 10或 lg 1 0(2) 底數的對數等于1，即log aa 1；同理 ln e 1 或 lg 10 1文檔實用標準五、三角函數1. 正弦函數 ysin x , 有界函數，定義域x ( , ) ，值域 y 1, 1圖象：五點作圖法：0， 3， 2222. 余弦函數 y cos x，有界函

10、數，定義域x ( , ) ，值域 y 1, 1圖象：五點作圖法：0， 3， 2223. 正、余弦函數的性質；性質y sin x ( k Z )ycos x (kZ )函數定義域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函數偶函數周期性T2T2對稱中心( k,0)(k,0)2對稱軸xk2(k,0)2在 x2k,2k2上是增函數在 x2k,2k 上是增函數2單調性在 x2k,2k3上是減函數在 x2k,2k上是減函數22x2k2時， ymax1x2k 時， ymax1最值x2k時， ymin1x2k時， ymin12文檔實用標準4. 正切函數 ytan x ，無界函數，定義域 x x k,( k Z) ，值域

11、 y ( , )y2x523O325222222ytan x 的圖像5. 余切函數ycot x ，無界函數，定義域x xk , kZ , y(,)yx3523O3253222222ycot x 的圖像6. 正、余切函數的性質；性質ytan x ( k Z )ycot x (k Z )函數定義域x k2xk值域RR奇偶性奇函數奇函數周期性TT單調性在 (k ,k) 上都是增函數在 (k ,( k1) 上都是減函數22對稱中心( k,0)( k,0)22零點(k,0)(k,0)2文檔實用標準7. 正割函數 ysecx ，無界函數，定義域 x x k, (k Z ) ，值域 secx 1y21223

12、53O35x222-1222ysecx 的圖像8. 余割函數 y cscx1x x k , (k Z ) ，值域 cscx 1，無界函數，定義域sin xy513222323O25x2-122ycsc x 的圖像9. 正、余割函數的性質；性質ysec x (kZ )ycsc x ( kZ )函數定義域x xkx xk2值域(， 1 1,)(， 11,)奇偶性偶函數奇函數周期性T2T2(2k,2k)(2k,2k3 )(2k ,2k)(2k3,2k2 ) 減22223單調性減(2k,2k)( 2k,2k)(2k,2k)( 2k,2k) 增22增22文檔實用標準續(xù)表：性質ysec x (k Z )y

13、 csc x (k Z )函數對稱中心(k,0)(k,0)2對稱軸xkxk2漸近線xkxk2六、反三角函數1. 反正弦函數yarcsin x ，無界函數，定義域-1,1，值域 0,A. 反正弦函數的概念：正弦函數ysin x 在區(qū)間,上的反函數稱為反正弦函數，記為22yarcsin x2. 反余弦弦函數 yarccos x ，無界函數，定義域 -1,1，值域 0, B. 反余弦函數的概念：余弦函數ycos x 在區(qū)間0,上的反函數稱為反余弦函數，記為yarccos xyy2-12O1x2O1x-1y arcsin x 的圖像y arccos x 的圖像3. 反正、余弦函數的性質；性質函數yar

14、csin xyarccos x定義域-1,1-1,1值域0, 0, 奇偶性奇函數非奇非偶函數單調性增函數減函數文檔實用標準4. 反正切函數yarctan x ，有界函數，定義域x(,) , 值域,22C. 反正切函數的概念：正切函數ytan x 在區(qū)間,上的反函數稱為反正切函數，記為22yarctan x5. 反余切函數yarc cot x ，有界函數，定義域x(,) , 值域0,D. 反余切函數的概念：余切函數ycot x 在區(qū)間0,上的反函數稱為反余切函數，記為yarc cot xyy2Ox22Oxy arctan x 的圖像y arc cot x 的圖像6. 反正、余弦函數的性質；函數性

15、質yarctan xyarc cot x定義域R值域,0,22奇偶性奇函數非奇非偶單調性增函數減函數文檔實用標準三角函數公式匯總一、任意角的三角函數在角正弦：正切：正割：的終邊上任取 一點 P( x, y) ，記： rx2y2 。yxsin余弦： cosrryxtan余切： cotxyrrsec余割： cscxy二、同角三角函數的基本關系式倒數關系： sincsc1 ， cossec1， tancot1商數關系： tansincoscos， cotsin平方關系： sin 2cos21， 1 tan2sec2， 1 cot2csc2三、誘導公式x 軸上的角，口訣：函數名不變，符號看象限；y 軸

16、上的角，口訣：函數名改變，符號看象限。四、和角公式和差角公式sin()sincoscossin)tantantan(tantansin()sincoscossin1cos()coscossinsin)tantantan(cos()coscossinsin1tantan五、二倍角公式sin 22sin costan 22 tan1tan2cos2cos2sin 22cos211 2sin2二倍角的余弦公式常用變形：（規(guī)律：降冪擴角，升冪縮角）1cos22 cos21cos22sin 21sin 2(sincos)21sin 2(sincos )2文檔實用標準cos21 cos2， sin 21sin 2， tan1cos21sin 222sin 2cos 2六、三倍角公式sin 33sin4 sin34 sinsin()sin()33cos34 cos3 3 cos4 coscos(3) cos()tan33tan 33 tantantan() tan()13 tan233七、和差化積公式sinsin2sincoscoscos2coscos2222sinsin2 cossincoscos2sinsin2222八、輔助角公式a sin x b cos xa 2b 2 sin( x)其中：角的終邊所在的象限與