基本不等式求最值的類型與方法-經(jīng)典大全

1、精品文檔專題：基本不等式求最值的類型及方法三、用均值不等式求最值的常見類型類型I:求幾個正數(shù)和的最小值。、幾個重要的基本不等式:a2b2 2abab2,2a b (a、2例1、求函數(shù)3)a成立.b R）,當且僅當a = b時，“一號成立;1/y x tt2 (x2(x 1)1）的最小值。b32.abab3c 3abcb c 33'' abc(a、2解析：y xabcabcb R ），當且僅當a = b時，“=”號成立;12(x 1) (x2(x 1)1)1x 1 x 112 1(x 1)2 1(x 1)2(x 1)222(x 1)3. 3abc3abc33-（a、b、cR ），

2、當且僅當a = b = c 時，“=”號成x 1 x 13322122(x 1)252當且僅當人2(x1)即x2時，“二”號成立，故此函數(shù)最小值是 -。23(a、b、cR ），當且僅當a = b = c 時，“號評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時，關鍵在于構造條件，使其積為常數(shù)。要通過添加常數(shù)、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。類型n：求幾個正數(shù)積的最大值。通常注： 注意運用均值不等式求最值時的條件:例2、求下列函數(shù)的最大值: 熟悉一個重要的不等式鏈：-2. 2a b!22 y x (3 2x)(0 x_. 2 y sin xcosx(0 x )二、函數(shù) f（x） axb(a、

3、 x0）圖象及性質一 一3解析：Q 0 x ,：322x(1)函數(shù) f (x)axa、0圖象如圖:(2)函數(shù) f (x)ax值域:a、0性質:,2 ab2掠，）;單調遞增區(qū)間：（）；單調遞減區(qū)間:b f ab a，(0,b2 ab a2*石：o當且僅當(3 2x)(0x 3 2x 即 x，:sin x 242sin x cos x.2sin x32) x x (3 2x) x x (3 2x),31 ,1時，“二”號成立，故此函數(shù)最大值是0,cos x 0 ,則y 0 ,欲求y的最大值，可先求.2sin x cosx2 .一 .y的最大值。/. 2 2- 2,1.2. 2 - 2、1 ,sin

4、 x sin x 2cos x、3 4一 (sin x sin x 2cosx) 一 () 一 ,22327a。.當且僅當.2 sin x22cos x (0x )tanx J2 ,即 x arc tan J2 時“二”號成立,2隨意編輯一 ，一2 3故此函數(shù)最大值是o9類型IV:條件最值問題。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值，關鍵在于構造條件，使其和為常數(shù)。通常要一 一8例4、已知正數(shù)x、y滿足一x通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。解法一：（利用均值不等式）類型出：用均值不等式求最值等號不成立。2y(-x2 y的最小值。1 )(x 2y)y10 -

5、 y16y “ 八 x 16y一1 10 2f18,例 3、若 x、y R ,求 f(x)4，一，x - （0 x 1）的最小值。 x當且僅當解法一：（單調性法）由函數(shù)b . 一一 . 一 .f （x） ax （a、b 0）圖象及性質知，當 xx (0,1時,函數(shù)y16yx12, y 3時“二”號成立,故此函數(shù)最小值是18 。f(x)4 口，一、-x 一是減函數(shù)。證明:x任取x1 , x2(0,1且 0 x1x2解法二：（消元法）x p0又x 0x 8f (x1)f(x2) (x14x2)(一 Xi4)(Xi X2x2X)X2) 4 二x1x2(x1x2)x1x24x1x2c2xx 2y x

6、x 82(x8) 16 x 8(xr10 2 (x 8)16x 810 18。10x1X2 0,xx4 0,則f(x1) f(x2)f (Xi) f (X2),f (x) x解法（配方法）易知當0x 1時,f (x) x解法三：（拆分法）xx2當且僅當x4 A，口， 一一在（0,1比是減函數(shù)。x0 x 1,則有 f(x)故當x 1 時，f(x)4,4 ，一在（0,1比有最小值5。x16即xx 812,此時y號成立,故此函數(shù)最小值是18 。解法三：（三角換元法）令2sin x2 cos x則有8sin 2 x2- cos x2- 2Vx 0且單調遞減，則f（x） （-j= Jx） 4在（0,1上

7、也是減函數(shù),x4 ,在（0,1比是減函數(shù)，當x 1時，f（x） x x4 ，一，一一在（0,1比有最小值5。 x當且僅當.413f(x) x (0 x 1) (x )-12x x35,x 1時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是 5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。隨意編輯82則：x 2y 2-2- sin x cos x10 2. (8cof x) (2tan2x)8csc2x 2sec x18,易求得x8(1222_2cot x) 2(1 tan x) 10 8cot x 2 tan x12,此時y 3時“二”號成立，故最小

8、值是18。評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法:x 2y （- -）（x 2y） 2,/- - x 2y 8。原因就是等號成立的條件不一致。類型V:利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)x、y滿足xy x y 3,試求xy、x y的范圍。解法一：由x 0, yxy3 x y 2v'xy,正解:)當|x 0時,y 13 x36一 13 x2即(.xy)2，xy 3 0解得歷當且僅當lx竺1即x當且僅當xy且xy x y 3 即 x3時取“二”號，故xy的取值范圍是9,x6時取等號。所以當6 時，ymin 25x y、2 xy (

9、-2-)(x y)24(x y) 12 0 x y2(舍)或 x6,)當|x 0時,0,36x ¥12x當且僅當x y且xy x y3時取“二”號，故y的取值范圍是6,y 13 ( x)(爭 1312 1解法二：由0, y 0 , xy(x 1)y1,當且僅當x理，即日x6時取等號，所以當x6時,y max13 12 1 .則:例2.9當|x 0時,求y 4x 2的取小值。 x則：xy3 x2 3x (x 1)2 5(x1) 4當且僅當當且僅當(x 1)42(x 1)x19,0)即 x3,并求得y3時取號，故xy的取值范圍是9,錯解：o用均值不等式求“和”或“積”的最值時，必須分別滿

10、足“積為定值”1 (x41) 2x 142'(x 1)x16,分析:或“和為定值”，41(x x 10)即 x3,并求得y3時取號，故xy的取值范圍是9,而上述解法中的積不是定值，導致錯誤。評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易于掌握，解法二要求掌握構造的技巧。正解：因為 x 0, y 4x 2x 2x xx392x 2x 233 36四、均值不等式易錯例析:例1.求函數(shù)y當且僅當2x一21，即 x3 36時等號成立，所以當x £36時，ymin33 36。yx4 x92 x13x36c 一 36 c 八 L 36“xx1 oxx1 ox的最值。x6時取等6時，y的最小值為

11、25,此函數(shù)沒有最大值。x錯解:當且僅當卜竺卜反號。所以當例3.2 x2 x5，=（x R）的最小值。4錯解:因為y2 x2 xx x2 4， 1x2 4x2 41x2 42 ,所以 ymin2分析：上述解題過程中應用了均值不等式，卻忽略了應用均值不等式求最值時的條件導致錯誤。因為函數(shù)y的定義域為，00,，所以須對x的正負加以分類討論。分析:忽視了取最小值時須V x2 41,，一八一，八一12成立的條件，而此式化解得x x 4以原函數(shù)y取不到最小值2。隨意編輯，L ,1) .當且僅當5 4x ，即x 1時，上式等號成立，故當x 1時，ymax 1。5 4x技巧二：湊系數(shù)14例4.已知x,y R

12、且一 一 1,求u x y的最小值. x y1 44錯解： 1 一 一Jxy 4 , u x y 2qxy 8, u 的最小值為 8.x y . xy14分析：解題時兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為一 一和x y,而這兩個式子不能同x y時成立，故取不到最小值 8 .一14._ 4x y正解：u (x y)()5 5 4 9x y y x4x y當且僅當 即* 3, y 6時等號成立.u的最小值為9. y x綜上所述，應用均值不等式求最值要注意：一要正：各項或各因式必須為正數(shù)；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件

13、用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。例2.當口4時，求y x(8 2x)的最大值。解析：由口 0 <4知，口，2x (8 2x) 8為定值，故只需將利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到 y x(8 2x)湊上一個系數(shù)即可。y = X8-2x) =(8- 2x) < :產+ 尸)=8當？戈二8-2x|,即x = 2時取等號當x = 2時，y x(8 2x)的最大值為8。技巧三：分離2x2 7x 10例3.求y (x 1)的值域。x 1解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(了，十7了+ 10

14、(r + 1)* 十 5(無 + 1)+4技巧一：湊項，51例1 ：已知x 一 ,求函數(shù) y 4x 2 的取大值。44x 5解：因4x 5 0,所以首先要“調整”符號，又 (4x5拆、湊項，Qx -, 5 4x 0, y 4x 2 -1-44x 512K不是常數(shù)，所以對 4x 2要進行5 4x 上 32 3 1,隨意編輯x+1)的項，再將其分離。4x 1)x 19 (當且僅當x=1時取“=”號)。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元,t= x + 1 ,化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 = t2 5t 4 t9 (當t=2即x=1時取“=”號)。技巧五

15、：在應用最值定理求最值時,2 x 例：求函數(shù)yx25=的值域。4若遇等號取不到的情況， 應結合函數(shù)f(x) x厘的單調性。x解：令 Jx2 4 t(t 2),則 yx2 5Jx2 4 t -(t 2)yx2 4x2 4 t一11、 c一，因t 0,t - 1,但t -解得t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調性。tt1 、 c、，-5因為y t -在區(qū)間1,單調遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調遞增函數(shù)，故 y 。t25所以，所求函數(shù)的值域為一，。2技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2 ：已知 x 0, y 0，且1 x求x y的最小值。*右a

16、,b R，則ab2ab(當且僅當a b時取“二”)2一-1斛：Q x 0, y 0,- x9x10 6 10 y163.若x(當且僅當x 1時取“二”)0,則x2 (當且僅當x1時取“二”)y當且僅當-x9x工時,y上式等號成立，又1,可得鞏固練習:一21、已知：x22a, m(A) . aba(B)-22、若 a, x, y，且. x . y(A) 2 . 23、已知下列不等式：(B) 2x33(C)22a bf2ajx y恒成立，則(C)252x(x R )； ax 4, y 12 時,ny的最大值為(D)b22a的最小值是(D)1b53. 2a b2. 3 .,a b (a, bb22(

17、a b 1).其中正確的個數(shù)是(丫 min 16。R );0,則21 P x-2 (當且僅當ab時取“=”)4.若 ab 0 ,取"=")若ab2或：-2(當且僅當a b時取5.若 a,bR,則b)2(當且僅當a(A)0 個4、設 a, b(B)1 個(C)2 個)(D)3 個(1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值,則下列不等式中不成立的是(,、/1、(A)(a * b)4 (B)5、設 a, bR且2a(A) 2(B)b 1,S2 122 2a b 一2 . ab ab；2 ab 4a2(C) . ab1ab2ab(Fab當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的

18、積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.6、若實數(shù)a, b滿足a b22,則3a.2一b2的最大值是(2(D(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的(A)187、若正數(shù)(B)6a, b滿足aba3b的最小值是(C) 2 3)(D) 24 3應用8、若 x, y，且 2x y知識點:1. (1)若 a,bR,則 a22. (1)若 a,b* aRia3,則ab的取值范圍是應用一：求最值1 一的取小值為y.基本不等式例：求下列函數(shù)的值域b22abab(2)若 a,b(2)若 a,b2.2R ,則 ab a

19、一-2(當且僅當(當且僅當a b時取a b時取隨意編輯(1)y=3x 2+A1 y = x+- x解：(1)y=3x 2+/3x2; 2x 22x 2= 6值域為 6 , +8)(2)當 x>0 時,33當且僅當2x 3 2x,即x 0- 時等號成立。42當 x<0 時， y=x + - = _ (_ x _ _)w _ 2 r、X x = _ 2 xxx，值域為(一8, 2 U 2 , +8)解題技巧技巧三：分離技巧四：換元x2 7x 10.一例：求y -一S_0(x1)的值域。x 1(t 1)2 7(t 1)+10 = t2 5t 4 t當I ,即 t=" - 1 -

20、 159 (當t=2即x=1時取“=”號)。技巧一：湊項51例 已知x ，求函數(shù)y 4x 2 1的取大值。44x 5解：因4x 5 0,所以首先要“調整”符號，又 (4x 2)g 1 不是常數(shù)，所以對 4x 2要進 4x 5行拆、湊項，51Qx-, 5 4x0, y 4x 2 44x 5，1- ,當且僅當5 4x ，即x 1時，上式等號成立，故當 x 1時，ymax 1。5 4x技巧二：湊系數(shù)例：當口 d C4時，求y x(8 2x)的最大值。解析：由口匚工口知，"2工2口 ,利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為 兩個式子積的形式， 但其和不是定值。注意到2x (8

21、2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊 上一個系數(shù)即可。¥ = 8-2x) = l2 (8-2x) < :產+產了 = 8££ 上當2工,8-2%，即x = 2時取等號 當x = 2時，y x(8 2x)的最大值為8。變式：設0 x 3 ,求函數(shù)y 4x(3 2x)的最大值。323 229解：1 0 x - . 3 2x 0. .y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 -x-3 -解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有( x+1)的項，再將其分離。/十+ 10 (x + l)a +5(x + 1) +4 廣 仆 4 ry士

22、( + 1) + 5工 + 1X + 1T + 1當工> =1 ,即K+ 1 > 口時，y 2Cx-1)4 5 9 (當且僅當x= 1時取“=”號)。解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令 t=x +1,化簡原式在分離求最值。技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函數(shù) f(x) x -的單調性。x一 ，一一x2 5 一,例：求函數(shù)y j的值域。x2 4解：令 &4 t(t 2),則 y x 5 Jx2 4 f 1 t -(t 2) .x2 4 x2 4 t一 11 .因t 0,t - 1 ,但t -解得t1不在區(qū)間2,故等號不成立，考慮單調性。

23、tt一，1，、"、，、八-一-5因為y t -在區(qū)間1,單調遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調遞增函數(shù)，故 y 。t25所以，所求函數(shù)的值域為一，。2技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。隨意編輯一一一 一 r 1例：已知x 0, y 0 ,且一x1,求x y的最小值。 y1 9錯解：Q x 0, y 0 ,且一一 1 , x y2, 9 2.對 12 ,xy1 y 2A 一 十一22y I+ 2 ）2y 21x 2+一 十一22即 x-y 1 + y 2 =2 xx y min 12。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x y 2jxy等號成

24、立條件是x y,在1 3 2j叵等x y xy1 y 2技巧八:19 號成立條件是 一 一即y 9x，取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處 x y已知a, b為正實數(shù)，2b + ab + a = 30,求函數(shù)y = 的最小值. ab分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題,理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本1 9正斛：Q x 0, y 0, 一 - 1 , x y-9x 10 6 10 16 x y題來說，

25、因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等,y 9x ,當且僅當- 時，上式等號成立，又x y1 91 ,可得 x 4, y 12 時，x y min 16。x y式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。技巧七30 2b':a =1,b + 130 2b ab =b + 1-2 b 2 + 30b b ='b + 1例：已知x, y為正實數(shù)，且y 2x2 十 一2=1 ，求x4 1 + y 2的最大值.由 a>0 得，0vbv15分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式令 t=b+1 , 1 <t< 16 , ab =2t

26、2+34t 311616=-2（t+丁）+ 34 . t +同時還應化 簡/ +y 2中y2前面的系數(shù)為1:2-， x/ +y 2 = x 2二22ab<18y>當且僅當t = 4,即18b = 3, a = 6時，等號成立。1 y 2十2 21 y 2卜面將x,、一 十 一 分別看成兩個因式:2 2法二：由已知得:令 u=/ ab.Rab <3-J230 -ab = a + 2b a+2b*J 2 ab則 u2 + 2R 2 u 30 W0 , -5 /2 <u W3、2 ¥T1,ab<18 , ，yh18 ab -點評：本題考查不等式 Jab (a,b2隨意編輯30 -ab>21/2 abR)的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式ab a 2b 30(a,