高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題

1、上海市封浜中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第2講 學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力指的是通過(guò)閱讀，理解以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括新的概念、定理、公式、法則和方法等），并能運(yùn)用它們作進(jìn)一步的運(yùn)算推理，解決有關(guān)問(wèn)題的能力，這里我們簡(jiǎn)稱為學(xué)習(xí)能力學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題常見的有以下幾種類型：1概念學(xué)習(xí)型；2定理（公式）學(xué)習(xí)型；3方法學(xué)習(xí)型我們還是從各地高考數(shù)學(xué)試題中的學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題開始一、概念學(xué)習(xí)型例1（北京2004）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為_這個(gè)數(shù)列的前

2、項(xiàng)和的計(jì)算公式為_解析：這里給出“公和”的概念，其實(shí)就是擺動(dòng)數(shù)列，所以 例2.對(duì)于任意兩個(gè)集合X和Y，X-Y指所有屬于X但不屬于Y的集合，X和Y的對(duì)稱差XY規(guī)定為XY=（X-Y）(X-Y）。 設(shè)A=yy=x2,xR，B=yy=3sinx,xR，求AB。解：AB=-3，0）（3，+） 例3.如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，即（），我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列就是“對(duì)稱數(shù)列”（1）設(shè)是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，依次寫出的每一項(xiàng)；（2）設(shè)是項(xiàng)數(shù)為(正整數(shù))的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列記各項(xiàng)的和為當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？并求出的最大值； （3）對(duì)

3、于確定的正整數(shù)，寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的“對(duì)稱數(shù)列”，使得依次是該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求其中一個(gè)“對(duì)稱數(shù)列”前項(xiàng)的和解：（1）設(shè)的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為 （2） ， ， 當(dāng)時(shí)，取得最大值 的最大值為626 （3）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是： ； ； ； 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，例4. （03年上海理科）已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立. （1）函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M？說(shuō)明理由； （2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0,且a1）的圖象與y=x的圖

4、象有公共點(diǎn)，證明： f(x)=axM； （3）若函數(shù)f(x)=sinkxM ,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解（1）對(duì)于非零常數(shù)T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因?yàn)閷?duì)任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax（a>0且a1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T. 于是對(duì)于f(x)=ax有 故f(x)=axM.（3）當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=0，顯然f(x)=0M.當(dāng)k0時(shí)，因?yàn)閒(x)=sinkxM，所以存在非零常數(shù)T，對(duì)任意xR，有f(x+T)=T f(

5、x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .因?yàn)閗0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx 1，1，sin(kx+kT) 1，1，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，當(dāng)T=1時(shí)，sin(kx+k)=sinkx 成立，則k=2m, mZ . 當(dāng)T=1時(shí)，sin(kxk)=sinkx 成立，即sin(kxk+)= sinkx 成立，則k+=2m, mZ ，即k=2(m1) , mZ .綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是k|k= m, mZ例5. 某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的

6、獎(jiǎng)券：消費(fèi)金額（元）的范圍200，400）400，500）500，700）700，900）獲得獎(jiǎng)券的金額（元）3060100130根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠.例如，購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為：400×0.2+30=110（元）.設(shè)購(gòu)買商品得到的優(yōu)惠率=，試問(wèn)：（1）購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）對(duì)于標(biāo)價(jià)在500，800（元）內(nèi)的商品，顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可獲得不小于的優(yōu)惠率？解 （1）（2）設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元?jiǎng)t，消費(fèi)額：由已知得（I）或（II）不等式組（I）無(wú)解，不等式組（II）的解為

7、因此，當(dāng)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)在625，750元內(nèi)的商品時(shí)，可得到不小于的優(yōu)惠率。例6（上海1999）設(shè)橢圓的方程為（），曲線的方程為，且與在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求的面積函數(shù)的值域；（3）記為中最小的一個(gè)，設(shè)是以橢圓的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積，試求函數(shù)表達(dá)式解：前兩小題為常規(guī)題（1）將代入橢圓方程得，把它看成關(guān)于的二次方程，則，解得，或（舍去），于是點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）在中，高為， ， ， ，即， ，即的值域?yàn)椋?）這是一個(gè)新概念學(xué)習(xí)題，給出了的記號(hào)及含義，要理解它的實(shí)質(zhì)要些考生在理解上有偏差，對(duì)與不能分類進(jìn)行比較，若，即，即，解得（舍），

8、 例7（上海2002春）對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)已知函數(shù)（）（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍內(nèi)；（3）在（2）的條件下，若圖像上、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的最小值分析：此題給出了一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”的概念來(lái)考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，主要是基于以下考慮：（1）該概念學(xué)生在理解上不會(huì)感到困難，比較適合目前學(xué)生的認(rèn)知水平（2）該概念容易與學(xué)生已有的知識(shí)建立聯(lián)系，并可在新的情景下結(jié)合函數(shù)、方程和不等式的知識(shí)進(jìn)行考查（3）該概念與函數(shù)圖像有較密切的聯(lián)系（不動(dòng)點(diǎn)其實(shí)就是函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）解：（1），因?yàn)闉椴?/p>

9、動(dòng)點(diǎn)，因此有，解得或，所以和為的不動(dòng)點(diǎn)（2）因?yàn)閒（x）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，f（x）=ax2+（b+1）x+（b1）=x，ax2+bx+（b1）=0（），由題設(shè)b24a（b1）0恒成立，即對(duì)于任意bR，b24ab+4a0恒成立，所以有（4a）24（4a）0a2a0，所以0a1（3）由（）式，得，由題設(shè)k=1，即y=x+，設(shè)A、B的中點(diǎn)為E，則E（），因?yàn)閤E=yE，所以所以有b=，因?yàn)?a1.當(dāng)且僅當(dāng)2a=時(shí)，即a=時(shí)，b取得最小值，其最小值為題型結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)1 新概念的名稱、符號(hào)和定義；2 新概念的簡(jiǎn)單運(yùn)用或判定；3 研究新概念的某些屬性；4 運(yùn)用新概念的定義解有關(guān)的問(wèn)題.特點(diǎn)：1.內(nèi)容新穎；2.

10、抽象簡(jiǎn)單；3.即時(shí)運(yùn)用.解題方法和策略1. 熟記和記住新概念的名稱和符號(hào)；2. 閱讀和理解新概念的定義（1）字面理解：通過(guò)閱讀理解定義中的每一個(gè)句子和詞的含義；（2）深層理解.深入理解新概念定義的本質(zhì)；弄清與相近舊概念之間的聯(lián)系和區(qū)別.3. 在具體情境中初步運(yùn)用新概念的定義（1）求出該概念的具體對(duì)象；（2）判斷某一對(duì)象是否屬于該概念的外延.4. 運(yùn)用新概念解決有關(guān)問(wèn)題.二、定理（公式）學(xué)習(xí)型問(wèn)題例1（01上海春）若記號(hào)“*”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)與的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“+”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)當(dāng)選、都能成立的一個(gè)等式可以是_.解： 例2（01上海春）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)、分別、

11、上，且， （1）求證：；（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等試根據(jù)上述定理，在，時(shí)，求平面與平面所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）證（1）因?yàn)?，所在平面上的射影為由，得，同理可證因?yàn)樗越猓?）過(guò)作的垂線交于，因?yàn)椋栽O(shè)與所成的角為，則即為平面與平面所成的角由已知，計(jì)算得如圖建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)，因?yàn)榕c所成的角為所以 由定理知，平面與平面所成角的大小為例3（遼寧2005）在上定義運(yùn)算：，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，則（ ） （A） （B） （C） （D）解析：此題

12、給出了一個(gè)新的運(yùn)算定義，要求考生通過(guò)閱讀理解運(yùn)算的本質(zhì)，變陌生為熟悉事實(shí)上就是一個(gè)一元二次不等式問(wèn)題：變?yōu)?，即?duì)任意實(shí)數(shù)成立所以，解得，故選（C）例4（全國(guó)2005）計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是“逢進(jìn)”的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)學(xué)和字母共個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：16進(jìn)制0123456789ABCDEF10進(jìn)制0123456789101112131415例如，用進(jìn)制表示：，則_解析：本題考查計(jì)數(shù) 及信息處理等基礎(chǔ)知識(shí)例5（上海2006春）同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級(jí)的平均分將降低；反之，如果去掉一些低分，那么班級(jí)的平均分將提高這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述

13、為：若有限數(shù)列滿足，則_（結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示）說(shuō)明：本題結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，是考查學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化能力的好題與此題類似的不等式問(wèn)題如“在糖水中再加點(diǎn)糖，糖水變得更甜了（用不等式表示為若，則）”例6（02上海秋）規(guī)定=，其中xR，m是正整數(shù)，且=1，這是組合數(shù)（n、m是正整數(shù)，且mn）的一種推廣.（1）求的值；（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：=；+=.是否都能推廣到（xR，m是正整數(shù)）的情況？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由；（3）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)xZ，m是正整數(shù)時(shí)，Z.解 （1） （2）性質(zhì)不能推廣。例如取x=；有意義，但無(wú)意義；性質(zhì)能推廣，它

14、的推廣形式是，m是正整數(shù)，事實(shí)上，當(dāng)m = 1時(shí)，有當(dāng) 時(shí)， =（3）當(dāng)時(shí)，組合數(shù)Z 。當(dāng)時(shí)，= 0Z 。 當(dāng)時(shí)，例7規(guī)定數(shù)列的前項(xiàng)“交替和”，設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求其前項(xiàng)交替和關(guān)于、和的解析表達(dá)式分析：由于等差數(shù)列中前一項(xiàng)減去后一項(xiàng)的差是常數(shù)，因此可以將相鄰兩項(xiàng)配對(duì)但是能否完全配對(duì)依賴于的奇偶性，所以要分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況討論解：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，因此，說(shuō)明：本題相應(yīng)于數(shù)列前項(xiàng)和，引入了數(shù)列前項(xiàng)的交錯(cuò)和的概念，要求在理解這個(gè)概念的基礎(chǔ)上，求等差數(shù)列的交錯(cuò)和的解析表達(dá)式，當(dāng)然還可研究其他數(shù)列，例如等比數(shù)列的交錯(cuò)和，也可以類比前項(xiàng)和的性質(zhì)研究的進(jìn)一步的性質(zhì)例8.（2005年地方聯(lián)考題）對(duì)

15、于集合及它的每一個(gè)非空真子集，定義一個(gè)“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)例如集合的交替和是，集合的交替和為，當(dāng)集合中的時(shí)，集合的所有非空子集為、，則它的“交替和”的總和請(qǐng)你嘗試對(duì)于的情況，計(jì)算它們的“交替和”的總和、，并根據(jù)結(jié)果猜測(cè)集合的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和_（不必給出證明）解析：時(shí)，其非空子集有，“交替和”的總和同理，當(dāng)時(shí)，的“交替和”總和為于是當(dāng)，時(shí)的“交替和”總和分別為，可表示為，一般地為可用“數(shù)學(xué)歸納法”證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即集合的所有非空子集的“交替和”總和為則當(dāng)時(shí)，集合的所有非空子集可看作，在原來(lái)時(shí)的每個(gè)

16、非空子集中增加一個(gè)元素，并增加一個(gè)單元素子集，原來(lái)時(shí)的所有子集仍為的子集，這樣，其“交替和”的總和為，故時(shí)結(jié)論仍成立能否用演繹法推得此結(jié)論，請(qǐng)各位老師自行研究例9（上海2000）已知復(fù)數(shù)（），和，其中均為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，且對(duì)任意復(fù)數(shù)，有，（1）試求的值，并分別寫出和用、表示的關(guān)系式；（2）將作為點(diǎn)的坐標(biāo)，作為點(diǎn)的坐標(biāo) ，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說(shuō)明理由分析：該題給出了平面

17、上點(diǎn)變換的一個(gè)規(guī)則，要求學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)掌握這一規(guī)則，利用解析幾何中學(xué)過(guò)的處理軌跡問(wèn)題的基本方法，進(jìn)一步研究這個(gè)點(diǎn)變換規(guī)則的一些性質(zhì)本題在考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力的要求上上了一個(gè)臺(tái)階，進(jìn)入了一個(gè)新的層次：要求學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)新的規(guī)則，并能運(yùn)用它解決有關(guān)問(wèn)題解：（1）由題設(shè)， ，于是由及，解得，因此由，得關(guān)系式 （2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）在直線y=x+1上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)Q（x，y）滿足消去x，得y（2）x22，故點(diǎn)Q的軌跡方程為y（2）x22（3）假設(shè)存在這樣的直線， 平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件， 所求直線可設(shè)為y=kx+b（k0）. 該直線上的任一點(diǎn)P（x，y），其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)Q（xy，xy）仍在該直

18、線上，xyk（xy）b，即(k1) y（k）xb，當(dāng)b0時(shí)，方程組無(wú)解，故這樣的直線不存在當(dāng)b0，由，得k22k0，解得k或k，故這樣的直線存在，其方程為yx或yx.說(shuō)明：本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，參數(shù)方程與普通方程的互化，變換與化歸的思想方法，分類討論的思想方法及待定系數(shù)法等例10（上海2003）已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)，對(duì)任意，有成立（1）函數(shù)是否屬于集合？說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)（且）的圖像與的圖像有公共點(diǎn)，證明：；（3）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍設(shè)計(jì)此題的指導(dǎo)思想是，在教材基本概念的基礎(chǔ)上，提出某種新的定義，或作某種推廣，再深入地討論問(wèn)題，考查學(xué)生是否具有研究性學(xué)習(xí)

19、能力于是選擇教材中函數(shù)周期的定義，對(duì)此略作了些拓展，并用集合的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述，這樣，同時(shí)又可以考查學(xué)生對(duì)集合的理解由此出現(xiàn)了題干上的那段敘述：滿足某個(gè)條件的函數(shù)的全體組成一個(gè)集合解：對(duì)于非零常數(shù)T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因?yàn)閷?duì)任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax（a>0且a1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T. 于是對(duì)于f(x)=ax有 故f(x)=axM.（3）當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=0，顯然f(x)=0M.當(dāng)k0時(shí)，因?yàn)閒(

20、x)=sinkxM，所以存在非零常數(shù)T，對(duì)任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .因?yàn)閗0，且xR，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx 1，1，sin(kx+kT) 1，1，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，當(dāng)T=1時(shí)，sin(kx+k)=sinkx 成立，則k=2m, mZ . 當(dāng)T=1時(shí)，sin(kxk)=sinkx 成立，即sin(kxk+)= sinkx 成立，則k+=2m, mZ ，即k=2(m1) , mZ .綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是k|k= m, mZ下面我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)有關(guān)函數(shù)集合的問(wèn)題例11（2005

21、年上海七校聯(lián)考）已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：對(duì)于定義域中的任意兩個(gè)自變量（），都有成立（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（）是否屬于，為什么？（2）當(dāng)時(shí)，試證明：函數(shù)（）不屬于；（3）設(shè)，是否存在一個(gè)集合，使得函數(shù)（）屬于集合？給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由分析：首先必須明白集合中元素的本質(zhì)屬性，即“對(duì)于在定義域的任意兩個(gè)自變量，（），都有”，其幾何意義是：對(duì)于曲線（）上任意兩點(diǎn)所確定的直線的斜率其絕對(duì)值應(yīng)當(dāng)小于解：（1）對(duì)于函數(shù)（）而言，任取，則，由可得，而， 成立從而（2）舉反例不妨設(shè)，（），此時(shí)，而，從而不能成立所以（3）存在一個(gè)集合，使得函數(shù)（）屬于設(shè)，且，若成立，因，只需，即故存在，對(duì)任取，都有成立

22、從而存在一個(gè)集合，使得函數(shù)（）屬于當(dāng)然這樣的集合可以是區(qū)間的任意一個(gè)子集說(shuō)明：由分析可知，對(duì)于直線（）的斜率，由于，因此屬于集合；而對(duì)于曲線（）而言，過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率的絕對(duì)值為，要受到范圍的制約，因此需要去控制這個(gè)范圍才能使得函數(shù)屬于集合在舉反例時(shí)，要讓其超過(guò)這允許的范圍無(wú)獨(dú)有偶，年廣東高考數(shù)學(xué)卷中就有這樣一個(gè)關(guān)于函數(shù)集合的試題例12（2006廣東）是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對(duì)于任意，都有；存在常數(shù)（），使得對(duì)任意的，都有（1）設(shè)，證明：；（2）設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是惟一的；（3）設(shè)，任取，令，證明：給定正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，成立不等式分析：首先要理解第一個(gè)

23、屬性，這個(gè)屬性說(shuō)的是當(dāng)時(shí)都有，為此只需考察函數(shù)的值域是否是區(qū)間的子區(qū)間；第二個(gè)屬性，實(shí)則是要找到一個(gè)常數(shù)，并且這個(gè)常數(shù)須滿足，因此可類似于判斷函數(shù)單調(diào)性的方法對(duì)函數(shù)進(jìn)行因式分解分解出后，對(duì)剩下的部分探求其范圍，判斷是否在之間對(duì)于第二問(wèn)，證明惟一性，可考慮用反證法第三問(wèn)可利用第二個(gè)屬性來(lái)進(jìn)行放縮，當(dāng)然也需要用到一減一加的方法解：（1）對(duì)任意，所以對(duì)任意的，所以0<，令，所以（2）反證法：設(shè)存在兩個(gè)使得，則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立（3），所以例13已知定理：設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，則（為非零常數(shù)）的充要條件是，（）（1）在數(shù)列中，已知，（），試運(yùn)用上述定理求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）已知數(shù)

24、列前項(xiàng)的和減去數(shù)列前項(xiàng)的和的差為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且數(shù)列的前項(xiàng)的和為，試運(yùn)用上述定理求和解析：（1）這個(gè)數(shù)列與等比數(shù)列僅首項(xiàng)不同，相差一個(gè)常數(shù)，其余各項(xiàng)都相同，可以運(yùn)用上述定理構(gòu)造等比數(shù)列， ， ，（），根據(jù)已知定理可得，而， （2）由已知， ，（），利用是公差為的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，則，于是，而， 數(shù)列是公差為的等差數(shù)列， ，解得， ，題型結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)1. 新的定理的內(nèi)容敘述；2. 新概念的簡(jiǎn)單運(yùn)用或判定；3. 研究新概念的某些屬性；4. 運(yùn)用新的定理所要解決的問(wèn)題.特點(diǎn)：1.內(nèi)容新穎；2.抽象簡(jiǎn)潔；3.不要求證明；4.即時(shí)運(yùn)用.解題方法和策略1. 閱讀和理解新

25、定理的內(nèi)容（1）理解新定理中所涉及到的概念；（2）分清定理的條件和結(jié)論；（3）理解定理的本質(zhì)；（4）畫出有關(guān)的幾何圖形，幫助理解定理的內(nèi)容.2. 運(yùn)用新定理解決有關(guān)的問(wèn)題建立要求解決的問(wèn)題與新定理之間的聯(lián)系；尋找滿足新定理的條件.4. 在具體情境中初步運(yùn)用新概念的定義（1）求出該概念的具體對(duì)象；（2）判斷某一對(duì)象是否屬于該概念的外延.4. 運(yùn)用新概念解決有關(guān)問(wèn)題.三、方法學(xué)習(xí)型問(wèn)題例1閱讀下列問(wèn)題的解法：實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，求的值解：設(shè)代入，化簡(jiǎn)后得，解得； ， ， ， 試用上述解題方法解下列問(wèn)題：設(shè)且，求的取值范圍分析：在上面例題解法中，由已知聯(lián)想到三角代換，把二元換為一元解：由，得 ，設(shè)，則 ，

26、 因此，的取值范圍是例2閱讀下面例題的解法：求函數(shù)的值域解：構(gòu)造向量，則 ， （為與的夾角） 位于第一象限，且與軸成角，是模為的向量，且始終在軸上方， 的范圍為， ， 試用上述方法求的值域分析：上面例題解法的關(guān)鍵是根據(jù)右邊是的形式構(gòu)造向量和，將原式化為，從而把求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量夾角的范圍解： ， ，令，構(gòu)造向量，則原式 位于第一象限且與軸成的角，是模為的向量，且始終位于第一象限 的范圍為1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1 ，因此的取值范圍是 例3用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1,a2,an可得n!個(gè)不同的排列,每個(gè)排列為一行寫成 一個(gè)n!行的數(shù)陣.對(duì)第i行ai1,ai2

27、,ain,記bi=- ai1+2ai2-3 ai3+(-1)nnain, i=1,2,3, ,n!.用1,2,3可得數(shù)陣如右,由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以,b1+b2+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中, b1+b2+b120= 題型結(jié)構(gòu)和特點(diǎn) 通常有以下兩個(gè)部分組成：1 一個(gè)問(wèn)題和他的解體過(guò)程；2 用上述問(wèn)題的解題方法接另一個(gè)問(wèn)題；特點(diǎn)：1. 學(xué)習(xí)的是方法和過(guò)程；2. 需要抽象和概括.解題方法和策略1.閱讀和理解問(wèn)題的解題過(guò)程；2.提煉解題方法和步驟；3.遷移解題方法解類似的問(wèn)題學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題練習(xí)題1已知傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，在第一象

28、限，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線與雙曲線（）相交于、兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；（3）對(duì)于平面上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱的最小值為與線段的距離已知點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，寫出點(diǎn)到線段的距離關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式2對(duì)任意兩個(gè)集合和，指所有屬于但不屬于的元素的集合，和的對(duì)稱差規(guī)定為設(shè)，求3已知集合，把其中所有元素從小到大按順時(shí)針依次排列在圓周上，任取一組元素（不計(jì)次序），如果不含相鄰的兩元素，則稱這組元素組成一個(gè)圓組合記個(gè)元素的集合中取個(gè)元素的不同圓組合個(gè)數(shù)為，求4已知直線和點(diǎn)，點(diǎn)到直線的有向距離用如下方法規(guī)定：若，；若，（1）已知直線，原點(diǎn)到直線的有向距離_（2）點(diǎn)到直線的有向距離_（3）已知點(diǎn)和點(diǎn)，是否存在通過(guò)點(diǎn)的直線，使得？如果存在，求出所有這樣的直線；如果不存在，說(shuō)明理由5設(shè)數(shù)集，且，都是集合的子集，如果把叫做的“長(zhǎng)度”，那么集合的“長(zhǎng)度”的最小值為（ ） （A） （B） （C） （D）6對(duì)于在區(qū)間上有定義的函數(shù)和，如果對(duì)任意，那么稱函數(shù)在區(qū)間上可被函數(shù)替代（1）試證：函數(shù)在區(qū)間上可被一次函數(shù)替代；（2）函數(shù)在區(qū)間上是否可被常數(shù)函數(shù)替代？7在圓錐曲