【圖文】第五章 無窮級數(shù) 習(xí)題課(二)

1、 習(xí) 題 課（二） 例9 求級數(shù) å 解 s( x = 第 十 一 章 無 窮 級 數(shù) ¥ ¥ ( n + 1 2 n 2 的和。 n å ¥ n=0 ( n + 1 x = 2 n+1 å ¥ ( n + 1 ( x ¥ n+1 ¢ = ( å ( n + 1 x n=0 n=0 ¥ n=0 ¢ = ( x å ( n + 1 x n ¢ ¥ n=0 n+1 = (xå (x n=0 ¥ n+1 ¢ ¢

2、= ( x ( å x n=0 ¢ ¢ = ( x( x 1- x 1 ¢ ¢ = ( x (1 - x 2 ¢ = 1+ x (1 - x 3 å ( n + 1 2 n 2 n=0 = s( = 3 (1 - x 2 - 21 - 1+ x = 12 x= 1 2 習(xí) 題 課（二） 例10 將函數(shù) f ( x = 1 1+ x + x ¥ 2 展開成 x 的冪級數(shù)， 并求 f ( 20 ( 0 , f ( 21 ( 0 , f ( 22 ( 0 . 第 十 一 章 無 窮 級 數(shù) 解 f (x = = 1- x

3、 1- x 3 ¥ = (1 - x å x - 3n å x 3n å ¥ n=0 x 3n+1 -1< x <1 n=0 n=0 ( 20 a 20 = 0 a 21 = 1 a 22 = - 1 f f f (0 = 0 ( 0 = ( 21 ! ( 0 = - ( 22 ! - 22 - ( 21 ( 22 習(xí) 題 課（二） Abel定理 若冪級數(shù)å an x n =0 ¥ n 則對滿足不等式 第 十 一 章 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂. 時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式 反之, 若當(dāng) 的一切 x ,

4、 該冪級數(shù)也發(fā)散 . ¥ n 無 an x 說明 如果冪級數(shù) å 不是僅在 x = 0 一點(diǎn) 窮 n=0 級 數(shù) 收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確 定的正數(shù) R（收斂半徑） 存在, 它具有下列性質(zhì): 當(dāng) x < R 時(shí),冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng) x > R 時(shí),冪級數(shù)發(fā)散; - 23 - 習(xí) 題 課（二） 級數(shù) 級數(shù) 第 十 一 章 無 窮 級 數(shù) å ¥ an x . n n 收斂半徑 R , 收斂區(qū)間 I , 收斂半徑 R , 收斂區(qū)間 I , cå an x = n n=0 ¥ å bn x n=0 ¥ , å an x n=0 ¥ n=0 ¥ n ± å n=0 ¥ å ¥ ca n x n n xÎ I bn x = å ¥ ( a n ± bn x n x Î I Ç I1 n=0 n=0 å an x n n 在 I 上連續(xù)。 當(dāng) - R < x < R 時(shí)， n=0 ò0 å x ¥ a n x dx = n=0 å n+1 n=0 ¥ an