實變函數(shù)(復(fù)習(xí)資料,帶答案).doc

1、實變函數(shù)試卷一一、單項選擇題(3分X 5=15分)1、下列各式正確的是()(A)而人 人；(B)11mAiAk；nn 1k nnn 1k n(C)11mAi 1k A (D)limAn ikA；n nn 1knnnn 1kn2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是(). 一_I(A) Pc (B) mP 0 (C) P P (D) P P3、下列說法不正確的是()(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(B)可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測4、設(shè)fn(x)是E上的a.e.有限的可測函數(shù)列，則下面不成立的是()(A)若 fn(x)f(x),則 fn(x)f(x)

2、 (B)sup fn(x)是可測函數(shù)(C) inf fn (x)是可測函數(shù)；(D)若nnfn(x)f(x)，則 f(x)可測5、設(shè)f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是()(A) f(x)在a,b上有界 (B) f(x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)b(C) f'(x)在a,b上 L 可積(D) f'(x)dx f(b) f(a) a二.填空題(3分X 5=15分)1、(CsA CsB) (A (A B) 2、設(shè)E是0,1上有理點全體，則 , 0E =, E =, E =.3、設(shè)E是Rn中點集，如果對任一點集T者B則稱E是L可測的4、f(x)可測的條件是它可以表成一列簡單

3、函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要”，“充要”)5、設(shè)f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對于a, b的一切分劃，使, U稱f (x)為a,b上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則舉反 例說明.(5分X 4=20分)1、設(shè)E R1 ,若E是稠密集，則CE 是無處稠密集。2、若mE 0 ,則E 一定是可數(shù)集.3、若| f(x)|是可測函數(shù)，則f(x)必是可測函數(shù)4.設(shè)f(x)在可測集E上可積分，若 x E, f(x) 0,則Ef(x)四、解答題(8分X 2=16分).x2 x1、(8分)設(shè)f(x) :，則f(x)在0,1上是否R 1,x為有理數(shù)可積，是否L可積，若

4、可積，求出積分值。2、(8分)求 limln(n)e x cosxdxn 0 n五、證明題(6分X 4+10=34分).1、(6分)證明0,1上的全體無理數(shù)作成的集其勢為 c.、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D、1.2 、 0,1 ;0,1 3、*一*，一m T m (T* _E) m (T CE)n4、充要5、| f(x) f(xi 1)|成一有界數(shù)集。i 1、1.錯誤2分例如：設(shè)E是0,1上有理點全體，則E和CE(第12頁,共15頁)2、(6分)設(shè)f(x)是 ，上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意都在0,1中稠密5分f (x)x,x E;x, x a, b E;常數(shù)a,E x|f(x

5、) a是閉集。3、(6分)在a,b上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為 兩個增函數(shù)之差。4、(6分)設(shè)mE,“刈在£上可積，en E(| f | n),則lim n m3 0.n5、(10分)設(shè)f (x)是E上ae有限的函數(shù)，若對任意0,存在閉子集FE,使f(x)在F上連續(xù)，且m(E F ),證明：f (x)是E上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理2 .錯誤2分例如：設(shè)E是Cantor集，則mE 0,但E c,故其為不可數(shù)集5分3 .錯誤例如：設(shè)E是a,b上的不可測集則|f(x)|是a,b上的可測函數(shù)，但f(x)不是a,b上的可測函數(shù)一4 .錯誤mE 0時，對E上任意的實函數(shù) f(x

6、)都有 f(x)dx 0E四、1. f (x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x 1處試卷一(參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn))連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分因為f(x)是有界可測函數(shù)，f(x)在0,1上是L可積的6分E : B, B c.因為“*)與*2 a.e.相等，進(jìn)0,1 f(x)dx1 八dx - "832. x E ,則存在E中的互異點列xn,使pm xn x.22.解：設(shè)fn(x)蛇3ecosx ,則易知當(dāng)時,Qxn E, f(xn) a.3分fn(x)Qf(x)在x點連續(xù)，f (x) “m f(xn) a又因lntt1 lnt0,(t3),所以當(dāng)n 3,x0時,E是閉集.

7、6分ln( xnn)x ln( xn) nx ln3 ln3從而使得|fn(x)|年(13n 33x)e x(1 x)4 分但是不等式右邊的函數(shù)，在 0, 上是L可積的，故有l(wèi)imfn(x)dxn 0lim fn(x)dx 00 n3.0,使對任意互不相交的有限個(ai,b)(a,b)五、1.設(shè)E0,1, A E Q,B E (E Q).Q B是無限集,可數(shù)子集Mn當(dāng)(bii 1ai)時，有f(b)i3) 1將a,b m等分,xiZkf(Zi) f(Zi 1)1 ,所以Q A是可數(shù)集, 分.3f(x)在xi 1,xi上是有界變差函數(shù).5分QB M (BM), E且(A M ) (B M)A B

8、,MA M (B M ),(B M),.5分所以V(f) 1,從而V(f) m,因此，f(x)是a,b上的有界變差函數(shù).6分4、f(x)在E上可積lim mE(| f | n) mE(| f | n)02分據(jù)積分的絕對連續(xù)性,0,0,e E,me ，有| f (x) | dx e.4分對上述0, k, nk,mE(|n)n men| f (x)|dxen即 lim n menn5. nN,存在閉集FnE,m EFn1, 一,f (x)在 Fn 連 2n令 F UI Fn,則 xk 1n kk, xFn, n k,x Fn n kf(x)在F連續(xù)又對任意k, m E FmE(Fn)m (EFn)

9、n kn k，L L、1m(E Fn)2k.6分故m(EF)0, f(x)在F E連續(xù).8分又m(EF)0,所以f(x)是E F上的可測函數(shù)，從而是E上的可測函數(shù).10分實變函數(shù)試卷二一.單項選擇題(3分X 5=15分)1 .設(shè)M,N是兩集合，則 M (M N)=()(A) M (B) N (C) M N (D)2.下列說法不正確的是()(A) P0的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中無窮多個點，則Po是E的聚點(B) Po的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個E中異于F0的點，則Po是E 的聚點(C)存在E中點列？，使旦F0,則P0是E的聚點(D)內(nèi)點必是聚點3.下列斷言()是正確的。(A)任意個開集白交是開集；(B)任意

10、個閉集的交是 閉集；(C)任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；4.下列斷言中()是錯誤的。(A)零測集是可測集；(B)可數(shù)個零測集的并是零測集；(C)任意個零測集的并是零測集；(D)零測集的任意子集是 可測集；5.若f(x)是可測函數(shù)，則下列斷言()是正確的1.(6 分)1、設(shè) f(x)是()上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意(A) f(x)在 a,b L 可積 | f(x)| 在 a,b L 可積；(B) f(x)在 a,b R 可積|f(x)|在 a,bR 可積(C) f(x)在 a,b L 可積|f(x)|在a,bR 可積；(D) f(x)在a, R 廣義可積f(x)在a,+ L 可積二.填

11、空題(3分X 5=15分)1 11、設(shè) An ,2 -, n 1,2,L ,則 limAn 。 n nno2、設(shè) P 為 Cantor 集，貝U P , mP , P=?3、設(shè)Si是一列可測集，則m S mSi i 1i 14、魯津定理：5、設(shè)F(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果 W稱F(x)為a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)。三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則說明原因或舉出反例.(5分X4=20分)1、由于0,10,10,1，故不存在使 0,1和01之間1 1對應(yīng)的映射。2、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。3、ae收斂的函數(shù)列必依測度收斂。4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。四.解答題(

12、8分X 2=16分)x x為無理數(shù)一1、設(shè)f(x) x, ： _ ，則f(x)在0,1上是否R可積, 1,x為有理數(shù)是否L可積，若可積，求出積分值。2、求極限1 nx 3 lim sin nxdx .n 01 n2x2五.證明題(6分X 3+ 8 2 =34分)常數(shù)c , E x|f(x) c是一開集.2. (6分)設(shè) 0,開集G E,使m*(G E),則E是可測 集。3. (6分)在a,b上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為 兩個增函數(shù)之差。4. (8分)設(shè)函數(shù)列fn(x) (n 1,2,L )在有界集E上“基本上”致收斂于f (x),證明：fn(x)ae收斂于f (x)5. (8分)設(shè)

13、f(x)在E a,b上可積，則對任何 0,必存在E上的連續(xù)函數(shù) (x),使b|f(x) (x)|dx . a(答案及評分標(biāo)準(zhǔn))一、1, C 2, C 3, B 4, C 5,A二、1, 0,2 2 , c ; 0 ;3 ,4 ,設(shè) f(x)是 E上ae有限的可測函數(shù)，則對任意0,存在閉子集E E ,使得“*)在£上是連續(xù)函數(shù)，且m(E E )05,對任意 0,0,使對a,b中互不相交的任意有限個n開區(qū)間ai ,bi ,i 1,2,L ,n,只要bi ai,就有i 1 n |F(b) F(aJ i 1三、1.錯誤 記(0,1)中有理數(shù)全體(0)1(1) 2R 1,2,L -2(rn)n

14、2,n 1,2L(x) x,x為0,1中無理數(shù)，顯然是0,1惻(0,1)上的1 1映射。5分2.正確設(shè)Ei為零測度集，0 m*(U Ei)m*E 0 ,所以,i 1i 1m*(U Ei) 0因此，UEi是零測度集。 5分i 1i 13 .錯誤。傷J如：取E (0,)，作函數(shù)歹1:fn(x)1,x (0,n n0,x (n,)1,2,L顯然fn(x)1,當(dāng)x E 0但當(dāng)01時,E| fn 1| (n,)且m(n,) 這說明fn(x)不測度收斂到1.5分4 .錯誤2分例如：f(x)xCos2x,00,x 0.連續(xù)函數(shù)。 ，一， 一 11如果對0,1取分劃T:0 - L2n 2n 1x 1x 1,顯

15、然是0,1的2nn 11明|f (xi) f (xi 1)|1 ,從而得到 V(f)01 1i 1四、1. f (x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x 1處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集 3分因為f(x)是有界可測函數(shù)，所以f(x)在0,1上是L可積的.6分11因為 f (x)與 x ae 相等，進(jìn)一步，f(x)dx xdx _ 80,102分nx2設(shè)門*) 2-sin3 nxdx ,則易知當(dāng)n 時，1 n xfn(x)0 2分又 | fn(x)| nx 2 4 分1 n x但是不等式右邊的函數(shù)，在 0, 上是L可積的6分故有 lim ° fn(x)dx° lim f

16、n(x)dx 0 8分五、1. x E, f (x) c .1分Q f(x)在x點連續(xù)，對 f (x) c 0, U(x,上當(dāng)y U(x,)時，有|f(y) f(x) 3分f (x) c f (y) f (x) f (x) c f (y) c , y E 5 分因此U(x, ) E,從而E為開集.6分2.對任何正整數(shù)n,由條件存在開集GnE,使1m (Gn E)T 分 n令G I Gn ,則G是可測集3分n 1d又因m (G E) m (Gn E)一對一切正整數(shù)n成立，因而 nm (G E) 0,即M G E是一零測度集，所以也可測.5分由E G (G E)知，E可測。6分x3、易知g(x)

17、V(f)是a,b上的增函數(shù)2分a令 h(x) g(x) f (x),則對于 a x1 x2 b 有h(x2) h(x1) g(x?) g(x) f (x2) f (x1)x2V(f) f(x2) f(x1) |f(x2) f(x1)| f(x2) f(x1) 0所以h(x)是a,b上的增函數(shù)4分因此f (x) g(x) h(x),其中g(shù)(x)與h(x)均為a,b上的有限增函數(shù).6分4、因為fn(x)在E上“基本上” 一致收斂于f(x),所以對于任意的k Z ,存在可測集EkE , fn(x)在Ek上一致收斂于一1一，、f(x),且 m(E Ek) 3分k令 E* UEk， 則fn(x)在E*上

18、處處收斂到f(x)5分k 1_ 1m(E E) m(E UEJ m(E Ek) - , k=1,2L二k一、單項選擇題(3分X 5=15分).1ni_1、設(shè) An -,2 ( 1) , n 1,2,L，則(B n所以m(E E*) 0 8分5、證明：設(shè)en E| f | n,由于f(x)在E上a.e.有限，故men0,( n ).2 分(A) lim An0, 1n(C) lim An(0, 3n(B) lim An(0,1n(D) ljm An(0, 3)n2、設(shè)E是0,1上有理點全體，則下列各式不成立的(D )(C) m Enn 1lim mEn; (D)以上都不對 n由積分的絕對連續(xù)性，

19、對任何 0, N ,使N meN | f (x) | dx 4 分eN4令BnE eN ,在Bn上利用魯律定理，存在閉集FnBn和在R1上的連續(xù)函數(shù)(x)使(1) m(BN Fn) ；(2) x Fn時,4Nf (x)(x),且 sup| (x) | sup| f (x) | N 6 分x R1x Fn所以b| f (x) (x)|dx | f(x) (x)|dx | f(x) (x)|dx aeNBN| f (x) |dx | (x)|dx | f(x) (x)|dx6eNBN FN_ N meN 2N _ _44N 4 4 2.8 分實變函數(shù)試卷三(參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn))o一(A) E 0,

20、1 (B) E (C) E=0, 1 (D)mE 13、下列說法不正確的是(C )(A)若A B,則m*A m*B (B)有限個或可數(shù)個零測 度集之和集仍為零測度集(C)可測集的任何子集都可測(D)凡開集、閉集皆可測4、設(shè)En是一列可測集，EiE2En ，且mE1 ，則有(A )(A) m En lim mEn (B) mEnlim mEnn 1nn 1n5、設(shè)f(x)是a,b上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的(B )(A) f(x)在a,b上的一致連續(xù)函數(shù) (B) f(x)在a,b上處處可導(dǎo)(C) f (x)在a,b上L可積 (D) f(x)是有界變差函數(shù)二. 填空題(3分X 5=15分)1、設(shè)

21、集合 N M,則 M (M N) No2、設(shè)P為 Cantor 集，則 P c, mP _0, P=-o3、設(shè)E是Rn中點集，如果對任一點集T都有*_ tt .r-m T m (T E) m (T CE)，則稱 E是 L可 測的4、葉果洛夫定理：設(shè)m(E), fn是E上一列ae收斂于個a.e.有限的函數(shù)f的可測函數(shù)，則對任意0,存在子集E E,使fn在E上一致收斂且 m(E E )。5、設(shè)f(x)在E上可測，則f(x)在E上可積的充要 條件是| f(x)|在E上可積.(填“充分”，“必要”，“充要”)三、下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則舉反例說明.(5分X 4=20分)1、任意

22、多個開集之交集仍為開集。解：不成立 2 分11反例：設(shè)G=(1 , 1 ),n=1,2,每個G為開集nn但Gn 1,1不是開集.5分n 12、若mE 0,則E一定是可數(shù)集.解：不成立 反例：設(shè)E是Cantor集，則mE 0,但E c,故其為不可數(shù)集.5分3、ae.收斂的函數(shù)列必依測度收斂。解：不成立2分1x (0.nl例如：取E (0,)，作函數(shù)列：fn(x),1 n 1,2,L0.x (n,)顯然fn(x)1,當(dāng)x E。但當(dāng)01時,E| fn 1| l (n,)且m(n,) 這說明fn(x)不測度收斂到1巧分4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。解：不成立2分例如：f (x)xcos0x1x 2x

23、 x顯然是0,1的連續(xù)函數(shù)0,x 0.如果對0,1取分劃T:0 - - L2n 2n 1-1,則容易證3 22nn 11明 |f(xi) f(x)|，從而得到V(f) 5分0i 1i 1 i四、解答題(8分X 2=16分).x2 x為無理數(shù)一1、(8分)設(shè)f(x) 二:，則f(x)在0,1上是否R0,x為有理數(shù)可積，是否L可積，若可積，求出積分值。解：f(x)在0,1上不是R可積的,因為f(x)僅在x 0處連x 0,1, n 1,2,.6分12在0,1上非負(fù)可積，故由Lebesgue控制收斂定理得續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集因為f(x)是有界可測函數(shù)，f(x)在.3分0,1上是L可積因為“*)與*

24、2 ae相等,進(jìn)一步,1 2f(x)dx x dx 0,102、求極限lim n131一 2nx2解：記fn(x)01 n2x2sin3 nxdx1一 2nx232-2 sin nx1 n x則"在0,1上連續(xù)，因而在0,1上(R)可積和(L)lim( R) n111 nx23fn( x)dx lim sin nxdx0n 01 n x分五、證明題(6分X 4+10=34分).1、(6 分)試證(0,1) 0,110dx 0 .80證明：記(0,1)中有理數(shù)全體Q r,r2,L,令(0)(1)(x)(n)(x)1n 2,n 1,2Lx,x為0,1中無理數(shù),顯然是0,1例(0,1)上的

25、1所以(0,1) 0,11映射積.又.2分limfn(x) 0,x 0,1 n2、(6 分)設(shè) f(x)是()上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常11nx23 nx2|fn(x)| |-2Tsin nx| |-2- |1 n x1 n x數(shù) c , E x| f(x) c證明： x0 E,即 f(x0)日TH開集.1分(第21頁，共15頁)因f (x)連續(xù)，故0, x (x0,)時，有 f (x) c.4 分即(x°) E.所以xo是E的內(nèi)點.由xo的任意性,E的每一個點都是內(nèi)點,從而E為開集.6分3、(6分)設(shè)f(x)是可測集E的非負(fù)可積函數(shù)，g(x)是E的可測函數(shù)，且|g(x)| f(x

26、),則g(x)也是E上的可積函數(shù)。證明：Q |g(x)| f (x),g (x) f (x), g (x) f (x) 1 分g (x) ndxf(x) ndx f (x)dxEnEnEQ f(x)是可測集E的非負(fù)可積函數(shù)lim g (x) dx f (x)dx EnEg (x)是E上的可積函數(shù).4分同理，g (x)也是E上的可積函數(shù).g(x)是E上的可積函數(shù)。6分 4、(6分)設(shè)f(x)在E上積分確定，且f (x) g(x)a.e于E,則g(x)在E上也積分確定，且 e f (x)dx e g(x)dx證明：Q f (x) g(x)a.e于 EmEf g 0Ef gf(x)dx Ef gg(

27、x)dx 0Ef(x)dx Ef gf(x)dx Ef gf(x)dxEf gg(x)dx Ef gg(x)dx Eg(x)dxQ f(x)在E上積分確定，g(x)在E上也積分確定，且Ef(x)dx Eg(x)dx5、(10 分)設(shè)在 E 上 fn(x) f(x)，而 fn(x)gn(x)ae 成立，n 1,2,，則有 gn(x)f(x)證明：記EnEfn gn,由題意知mEn 0由m( En) mEn 。知 m( En) 0分n 1/n 1n 1對任意 0,由于 E|gn f |( En)E| fnf |n 1從而有(A) f(x)在E上可測 (B) f(x)在E上a.e.有限mE|gn f

28、| m(n1En) m(E * f| ) m(印 * f |)8分)lim m(E| fnf |) 0n010分(C) m En n 1lim mEn ； ( D)以上都不對 n又因為在E上fn(x)f(x)，故lim m(E| fnf |) 0所以 0 lim m(E| gn f | n于是：|im m(E| gn f |)故在E上有g(shù)n(x) f(x)(C) f(x)在E上有界 (D)4.設(shè)En 是一一列可測集，E(A) mEnlim mEn (B)n 1nf (x)在E上L可積E2 LEn L ,則有(B )mEnlim mEnn 1n3、設(shè)S是一列可測集，則mi1SimSii 1實變函

29、數(shù)試卷四(參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn))一.單項選擇題(3分X 5=15分)1 .設(shè)P為Cantor集，則 C一 , '(A) P 0(B) mP 1(C) P P (D) P P2.下列說法不正確的是(C )(A) P。的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中無窮多個點，則P0是E的聚點(B) P。的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個E中異于P。的點，則B是E的聚點(C)存在E中點列Pn，使RF0 ,則F0是E的聚(D)內(nèi)點必是聚點3.設(shè)f (x)在E上L可積，則下面不成立的是(C )5.設(shè)f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)，則下面不成立的(D )(A) f(x)在a,b上 L 可積 (B) f (x)在a,b上 R 可積(C)

30、 f (x)在a,b上L可積 (D)f(x)在a,b上絕對連續(xù)二.填空題(3分X 5=15分) 111、設(shè) An -,2 -,n 1,2,L，則 JjmAn _ (0,2) 。 nnn02、設(shè)E R,若E E,則E是閉 集；若E E,則E是汪集；若E E ,則E是_完備集.4、魯律定理：_設(shè)f(x)是E上ae.有限的可測函數(shù)，則對任意 0,存在閉子集E E,使得“刈在£上是連續(xù)函數(shù)，且m(E E ),則稱f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)。5、設(shè)f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對于a,b的一切劃分,2、若 mE 0 ,則 mE 0.解：不成立.2分反例：E為0,1中的全體有理點集，則

31、有 mE 0,而mE 15分注：其余例只要正確即可。3、若| f(x)|是可測函數(shù)，則f(x)必是可測函數(shù)n使|f(x) f(x 1)|成一有界數(shù)集，則稱f(x)為a,b上的i 1解：不成立2分例如：設(shè)E是a,b上的不可測集，f (x)x,x E;x, x a, b E;有界變差函數(shù)。三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則說 明原因或舉出反例.(5分X 4=20分)1、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則A B是可數(shù)集.解：成立2分因A可數(shù)，所以可設(shè)A=ai,a2,an,又B至多可數(shù)，設(shè)B=bi,b2,bn(當(dāng)B有限時)，或B=bi,b2,bn, (當(dāng) B可數(shù)時)當(dāng)B有限時，A Bbi

32、,b2, ,bn；ai,a2, ,an,當(dāng) B可數(shù)時，A Bbi,ai,b2,a2,bn：an,所以A B可數(shù).5分(注：可分A B 和A B討論，沒討論不扣分，主要考察排序方法).則| f (x) |是a,b上的可測函數(shù)，但f(x)不是a,b上的可測函數(shù)5分4.設(shè)f(x)在可測集E上可積分，若 x E, f(x) 0,則Ef(x)解：不成立2分mE 0寸，對E上任意的實函數(shù) f(x)都有 f(x)dx 。巧分E四.解答題(8分X 2=16分).x x為無理數(shù)一1、(8分)設(shè) f(x) x,：，則 f(x)在 0,1 上是否 R1,x為有理數(shù)可積，是否L可積，若可積，求出積分值。解：f(x)在

33、0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x 1處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集 .3分因為f(x)是0,1上的有界可測函數(shù)，f(x)在0,1上是L可積的6分11因為 f (x)與 x a.e.相等，進(jìn)一步， f (x)dx xdx , , 8 0,1o2分2、(8分)求 limln(n)e x cosxdxn 0 n解：設(shè) fn(x) n(ne xcosx ,貝U易知當(dāng) n 時，fn(x)0n.2 分又因1nt t(t 3),所以當(dāng)n3,x 0 時,ln(x n)nx ln(x n)n x ln 3 ln 3 小(1n 33x)從而使得| fn(x)|x)e x但是不等式右邊的函數(shù)，在 0, 上是L可積的，故有l(wèi)imfn(x)dxlim fn(x)dx 08分n 00 n五.證明題(6分X 3+