三角形的高線

1、.選擇題（共11小題）1. （2017?石家莊模擬）畫(huà) ABC中AB邊上的高，下列畫(huà)法中正確的是（)即可.【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作AB邊的垂線，正確的是C.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題是一道作圖題，考查了三角形的角平分線、高、中線，是基礎(chǔ)知識(shí) 要熟練掌握.2. （2017?欒南縣校級(jí)模擬）下列四個(gè)圖形中，線段BE是ABC的高的是（C【分析】根據(jù)三角形高線的定義進(jìn)行解答即可.【解答】解：A、B、D中線段BE不符合三角形高線的定義.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，熟知從三角形的一個(gè)頂點(diǎn) 向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高是解答此題的關(guān)鍵.3. （2017春？宜興市期末）

2、下列各圖中，正確畫(huà)出 AC邊上的高的是（）A.A £ CB. A【分析】根據(jù)三角形高的定義，過(guò)點(diǎn)Sc D. £ AB與AC邊垂直，且垂足在邊 AC上，然后結(jié)合各選項(xiàng)圖形解答.【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義,只有 D選項(xiàng)中的BE是邊AC上的高.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的高線的定義， 熟記定義并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān) 鍵.4. （2017春？灤縣期末）如圖，AC丄BC, CD丄AB, DE丄BC,垂足分別為C, D，E,則下列說(shuō)法不正確的是（A. AC> ABC的高B. DE> BCD的高C. DE> ABE的高D. AD>ACD的高【分析】

3、根據(jù)高的概念可知.【解答】解：選項(xiàng)A的說(shuō)法符合高的概念，故正確;選項(xiàng)B的說(shuō)法符合高的概念，故正確;C選項(xiàng)中，DE是 BDC BDE EDC的高，故錯(cuò)誤; 選項(xiàng)D的說(shuō)法符合高的概念，故正確.故選C.連接頂點(diǎn)與垂足之【點(diǎn)評(píng)】三角形的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€, 間的線段.5. （2017春？黃島區(qū)期末）如圖，以CE為高的三角形有（AA. 9 個(gè) B. 10 個(gè) C. 11 個(gè)D. 12 個(gè)【分析】三角形的高是從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€,頂點(diǎn)和垂足間的線段叫三角形的高.根據(jù)高的定義，以CE為高的三角形就是以C為一個(gè)頂點(diǎn)，再?gòu)腂, F, E,D, A中任意選兩個(gè)點(diǎn)組成的.所以只需數(shù) BA上共有的

4、線段即可.【解答】解：4+3+2+1=10個(gè).答：以CE為高的三角形有10個(gè).故選B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三 角形內(nèi)，所以確定三角形的高比較靈活.6. （2016秋？江夏區(qū)期中）如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂 點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（A.銳角三角形B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.都有可能【分析】作出一個(gè)直角三角形的高線進(jìn)行判斷，就可以得到.這個(gè)三角形是銳角三角形的【解答】解：一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn), 直角三角形.故選C.【點(diǎn)評(píng)】鈍角三角形的三條高所在的直線的交點(diǎn)在三角形的外部;三條高所在的直線的交點(diǎn)在三角形

5、的內(nèi)部；直角三角形的三條高所在的直線的交 點(diǎn)是三角形的直角頂點(diǎn).7. （2016秋？寶塔區(qū)期中）如圖，虛線部分是小剛作的輔助線，你認(rèn)為線段CD( )A.是AC邊上的高 B.是BC邊上的高 C.是AB邊上的高 D.不是 ABC的高【分析】根據(jù)三角形高線的定義解答即可.【解答】解：由圖可知，線段CD是AB邊上的高.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、 中線和高線的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.8 （2016秋？銅山區(qū)期中）如圖，在 ABC中，BC邊上的高為（）【分析】D. CF根據(jù)三角形的高線的定義解答.【解答】解：根據(jù)高的定義，AE為 ABC中BC邊上的高.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題主

6、要考查了三角形的高的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵.9. （2016春？工業(yè)園區(qū)期中） ABC的高的交點(diǎn)一定在外部的是（A.銳角三角形B.鈍角三角形C直角三角形D.有一個(gè)角是60°的三角形【分析】根據(jù)三種三角形的高線所在直線的交點(diǎn)的位置解答即可.【解答】解：銳角三角形三角形的高所在直線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,直角三角形三角形的高所在直線的交點(diǎn)在三角形直角頂點(diǎn), 鈍角三角形三角形的高所在直線的交點(diǎn)在三角形外部.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的高線，熟記三種三角形的高線所在的直線的交點(diǎn)的 位置是解題的關(guān)鍵.10. （2016春？山亭區(qū)期中）三角形三條高的交點(diǎn)一定在（A.三角形內(nèi)部 B.三角形外

7、部C.三角形內(nèi)部或外部D.三角形內(nèi)部、外部或頂點(diǎn)【分析】根據(jù)三角形的高線的定義分情況討論高線的交點(diǎn)，即可得解.【解答】解：銳角三角形，三角形三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部, 直角三角形，三角形三條咼的交點(diǎn)在三角形直角頂點(diǎn), 鈍角三角形，三角形三條高的交點(diǎn)在三角形外部, 故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的高線，熟記三種三角形的高線的交點(diǎn)的位置是解題 的關(guān)鍵.11. （2011秋？嵊州市期末）如圖所示，BA丄AC, AD丄BC,垂足分別為 A, D,已知AB=3, AC=4, BC=5, AD=2.4,則點(diǎn)A到線段BC的距離是（）5【分析】根據(jù)三角形高的定義可知，AD長(zhǎng)度就是點(diǎn)A到線段BC的距離，根據(jù)此

8、 解答即可.【解答】 解： AD丄BC, AD=2.4,點(diǎn)A到線段BC的距離是2.4.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的高的概念，結(jié)合圖形找出 ABC邊BC上的高是解題的關(guān)鍵.二.填空題（共10小題）12. （2015秋？吳忠校級(jí)期中）如圖，若 AE是ABC邊BC上的高，AD是/ EAC的角平分線交BC于D.若/ ACB=40 ,則/ DAE等于 25°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/ CAE再根據(jù)角平分線的定義可得/DAE寺/ CAE【解答】解： AE是 ABC邊上的高，/ ACB=40,/ CAE=90-/ ACB=90 - 40°=50°,/ DA

9、E丄/ CAE丄X 50°=25° ,2 2故答案為：25是基礎(chǔ)題，熟記定AD丄BC于點(diǎn)D,若/【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義, 理與概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.13. （2014秋?河西區(qū)校級(jí)月考）AE是ABC的角平分線,BAC=130, / C=30°,則/DAE的度數(shù)是 5°.CAE再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/CAD,然后根據(jù)/ DAE=Z CAE-/ CAD計(jì)算即可得解.【解答】解：AE是 ABC的角平分線,/ CAE寺/ BAC=-X 130。=65, AD丄BC于點(diǎn)D, / CAD=90 - 30°=60&

10、#176;,/ DAE= CAE- / CAD=65 60°=5°故答案為：5°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高線，熟記概念是解題的關(guān)鍵.14.（2011秋？五河縣期中）已知 AD是 ABC的高，/ DAB=45，/ DAC=34，則/ BAC= 79°或 11,【分析】此題分情況討論：當(dāng)高在 ABC內(nèi)部；當(dāng)高在 ABC外部，分別對(duì)每一種情況畫(huà)圖，再結(jié)合圖計(jì)算即可.【解答】解：當(dāng)高在 ABC內(nèi)部，如右圖 / DAB=45，/ DAC=34， / BAC=45+34°=79°當(dāng)高在 ABC外部，如右圖 / DAB=45，/

11、DAC=34， / BAC=45- 34°=11°故/ BAC=79或 11°故答案為：79°或11°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意分高在三角形內(nèi)外兩 種情況討論求解.15. （2017春?寶安區(qū)校級(jí)期末）如圖，在 ABC中，AD丄BC, AE平分/ BAC，若/ 1=30°, / 2=20°,則/B= 50°【分析】由AE平分/ BAC可得角相等，由/ 1=30°, /2=20°可求得/ EAD的度數(shù)，在直角三角形ABD在利用兩銳角互余可求得答案.【解答】解：TAE平分/

12、 BAC,/ 1=/ EADh/ 2,/ EAD=/ 1 -/ 2=30° - 20°=10°,RtAABD中，/ B=90°-/ BAD =90°-30°- 10°=50°.故答案為50°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高的相關(guān)知識(shí)；求得/ EAD=10是正確解答本題的關(guān)鍵.16. （2017春？崇安區(qū)期中）如圖， ABC中，AD丄BC于D,點(diǎn)E在CD上，則圖中以AD為高的三角形有 6個(gè).【分析】由于AD丄BC于D,圖中共有6個(gè)三角形，它們都有一邊在直線 CB上,由此即可確定以AD為高的三角形

13、的個(gè)數(shù).【解答】解： ADXBC于D,而圖中有一邊在直線CB上，且以A為頂點(diǎn)的三角形有6個(gè), 以AD為高的三角形有6 個(gè).故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，可以是三角 形的邊，也可以在三角形內(nèi)，所以確定三角形的高比較靈活.17. （2017春?高港區(qū)校級(jí)月考）在 ABC中，/ A+/ B=/。，則 ABC的三條高 線所在直線的交點(diǎn)在C點(diǎn).【分析】利用直角三角形三邊上的高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)而得出答 案.【解答】解：在 ABC中，/ A+/B=/ C, ABC是直角三角形，/ C=90,直角三角形三邊上的高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn), ABC的三條

14、高線所在直線的交點(diǎn)在C點(diǎn).故答案為：C點(diǎn).【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的高線,熟記三角形三邊上的高的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.18. （2016春?丹陽(yáng)市校級(jí)期中）如圖,AD丄BC于D,那么圖中以AD為高的三角形有 6個(gè).【分析】由于AD丄BC于D,圖中共有6個(gè)三角形，它們都有一邊在直線 CB上,由此即可確定以AD為高的三角形的個(gè)數(shù).【解答】解： ADXBC于D,而圖中有一邊在直線CB上，且以A為頂點(diǎn)的三角形有6個(gè), 以AD為高的三角形有6 個(gè).故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三 角形內(nèi)，所以確定三角形的高比較靈活.19. （2015秋?克什克騰旗校級(jí)月考

15、）如圖， ABC中，高CD BE AF相交于點(diǎn) 0,則 BOC的三條高分別為線段 QF、BD CE【分析】根據(jù)三角形高線的定義去判斷推理.三角形的高是指三角形的一個(gè)頂點(diǎn) 到對(duì)邊的垂線段，故一個(gè)三角形有三條高線.【解答】解：由三角形高的定義， BOC的高是: 0到BC的垂線段OF; C到0B的垂線段CEB到0C的垂線段BD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形高線的理解掌握情況，須熟練掌握定義.20. （2015秋?嵊州市校級(jí)月考）如圖所示：在 AEC中，EF丄BC, AB丄BC, AD【分析】三角形的高即從三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段.根 據(jù)高的概念可知.【解答】解：在 AEC中, A

16、E邊上的高是CD.故答案為CD.【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的高的概念，能夠根據(jù)圖形正確找出三角形一邊上的高.21. （2014春？陜西校級(jí)期中）如圖，在 ABC中，AD丄BC, GC丄BC, CF丄AB，BEX AC,垂足分別為D、C F、E，則 AD 是 ABC中BC邊上的高， CF是 ABC中AB邊上的高，BE 是厶ABC中AC邊上的高，CF是 ABC的高，也是 BFC、 FGC、 FAC、 GAC 的高.【分析】根據(jù)高線的定義即可解答.【解答】解：AD是 ABC中BC邊上的高，是 ABC中AB邊上的高，BE是 ABC中AC邊上的高，CF是 ABC的高，也是 BFC FGC FAC GAC的高.

17、故答案是：AD CF BE、BFC FGC FAC GAC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的高線的定義，是三角形的頂點(diǎn)到對(duì)邊所在直線的垂 線段.三.解答題（共9小題）22. （2016 秋？寧?？h期中）如圖，在 ABC中/B=30°, / ACB=110，AD 是 BC邊上高線，AE平分/ BAC,求/ DAE的度數(shù).【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。列式求出/ BAC,再根據(jù)角平分線的定義求出/ BAE根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/ BAD,然后根據(jù)/ DAE=/ BAD-/ BAE計(jì)算即可得解.【解答】解：/ B=30°, / ACB=11O, / BAC=180 - 30

18、° - 110° =40°,V AE平分/ BAC,/ BAE寺/ BAC寺X 40° =20°,V/ B=3ff，AD是BC邊上高線,/ BAD=90 - 30°=60°,/ DAE=/ BAD- / BAE=60 - 20°=40°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖，理清 圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.23. （2015春?邢臺(tái)校級(jí)期中）如圖，在 ABC中，/ B=60°, / C=30°, AD和AE分別是 ABC的高和角平分線，求/ DAE的

19、度數(shù).【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到/ BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì) 可求出/ BAE丄/ BAC，而/ BAD=90 -/ B,然后利用/ DAE=/ BAE-/ BAD 進(jìn)2行計(jì)算即可.【解答】解：在 ABC中，/ B=60°, / C=3C°/ BAC=180-/ B-/ C=180 - 30° - 60°=90° AD是的角平分線/ BAE寺/ BAC=45， AE是 ABC 的高，/ ADB=90在 ADB 中，/ BAD=90 -/ B=90° - 60°=30° / DAE=/ BAE-

20、/ BAD=45 - 30°=15°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理.關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理求解.24.（2010春?阜寧縣校級(jí)期中）如圖在 ABC中，CD是高，點(diǎn)E、F、G分別在BCAB、AC上，且EF丄AB，/仁/2,試判斷DG與BC的位置關(guān)系？并說(shuō)明理【分析】由CD是高且EF丄AB可知，CD/ EF,所以/ DCB= 2,再由/仁/ 2知/ DCB=/ 1,所以DG與BC平行.【解答】解：DG與BC的位置關(guān)系為平行，理由如下:V CD是 ABC的高, CD丄 AB,又V EF丄AB, CD/ EF, / DCB=/ 2,又/仁/ 2, / DCB=/ 1, DG

21、/ BC,DG與BC的位置關(guān)系為平行.【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)三角形的高線考查線段平行的性質(zhì)及判定，是基礎(chǔ)題.25 .如圖.AD是 ABC的角平分線，點(diǎn) P為AD上一點(diǎn)，PM/AC交AB于M ,PA平分/ MPN.【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到/ BAD二/ CAD由PM/ AC, PN/ AB,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到/ AP M=/ PAN,/ AP N二/ PAM,然后經(jīng)過(guò)等量代換即可得到/ APM=/ APN.【解答】證明：V AD是ABC的角平分線, / BAD二/ CADV PM/ AC, PN/ AB/ AP M=/ P AN,/ APN二/ PAM, / APM=/APN, P

22、A平分/ MPN.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作 垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高； 三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè) 內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平也考查了平分線；三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.行線的性質(zhì).26.如圖所示，AD, CE是 ABC的兩條高，AB=4cm, BC=8cm CE=6cm 求 AD的長(zhǎng).【分析】利用三角形的面積列式計(jì)算即可得解.【解答】解：&abcJ_AB?CE丄BC?AD/ AB=4cm BC=8cm CE=6cm|2解得 AD=3cm.普4X6令X

23、8?AD，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，根據(jù)三角形的面積列出等式 是解題的關(guān)鍵.27.如圖，BD CE是 ABC的高，BD和CE相交于點(diǎn)0.(1)圖中有哪幾個(gè)直角三角形?(2)圖中有與/ 2相等的角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)若/ 4=55°, / ACB=65,求/ 3，/ 5 的度數(shù).【分析】（1）根據(jù)直角三角形的定義，從直角頂點(diǎn)找出即可;(2) 根據(jù)同角的余角相等解答；(3) 根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/ 3，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/BOC,然后根據(jù)對(duì)頂角相等可得/ 5=/ BOC【解答】解：(1)直角三角形有： BOE BCE ace BCD COD ABD

24、;(2) 與/ 2相等的角是/ 1.理由如下： BD CE是 ABC的高,/ 1+/ A=90 , / 2+/ A=90°, / 1=/ 2,與/ 2相等的角是/ 1;(3)v/ ACB=65, BD 是高, / 3=90° -/ ACB=9O - 65°25°,在 BOC中，/ BOC=18O-/ 3-/ 4=180°-25° - 55°100°, / 5=/ BOC=100.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，熟記三角形的高線的定義 以及直角三角形的定義是解題的關(guān)鍵.28. (2016春?高密市期末

25、)如圖， ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它 們相交于點(diǎn)O,/ CAB=5O,/ C=6O,求/ DAE和/ BOA的度數(shù).【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可求/ ABC在直角三角形ACD中，易求/ DAC;再根據(jù)角平分線定義可求/ CBF / EAF可得/ DAE的度數(shù)；然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求/ AFB再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出/ BOA.【解答】解：/ A=50°, / C=60/ ABC=180 - 50° 60°70°, 又；AD是咼， / ADC=90,/ DAC=180 - 90°-/ C=30, AE、BF是角平分線, / CBF玄 ABF=35,/ EAF=25, / DAE=/ DAC-/ EAF=5,/ AFB=/ C+