有限長均勻帶電直線電場的分析

1、有限長均勻帶電直線電場的分析金彪（浙江省上虞市春暉中學(xué)，浙江 上虞 312353）摘要：本文分析了有限長均勻帶電直線周圍的電場，用兩種方法論述了有限長均勻帶電直線電場的電場線為雙曲線而等勢面為旋轉(zhuǎn)橢球面，并由此計(jì)算出導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面電容及面電荷密度分布。關(guān)鍵詞：有限長均勻帶電直線；旋轉(zhuǎn)橢球面；雙曲線；等勢面；電場線；電勢；電場強(qiáng)度AB圖1D如圖1所示線段AB為真空中均勻帶正電直線，長為2c，線電荷密度為，求其產(chǎn)生的電場中任一點(diǎn)D的電場強(qiáng)度與電勢。1 用等效替代法求電場AD圖2BEFGH IJ KN過D點(diǎn)作AB的垂線段DE，垂足為E，以D為圓心，DE長為半徑，作圓弧，點(diǎn)F在線段AD上，點(diǎn)G在線段B

2、D上，當(dāng)圓弧的線電荷密度也為時(shí)，圓弧與線段AB在D點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度相等。論證如下：過D點(diǎn)作任一微小角，在圓弧和線段上分別截得HI、JK，過K作KN垂直于DJ，則有三角形相似可得： （1） 由點(diǎn)電荷電場求解公式可得：線電荷密度相等短線JK和HI在D點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度相等，故線段AB和圓弧FG在D點(diǎn)的電場也相等。由此可以得到線段AB在D的電場強(qiáng)度ED方向?yàn)檠氐慕瞧椒志€DC反向延長線向外。若沿電場線方向移動(dòng)一段微小距離到D/，如圖3?？傻?，由于DC是的角平分線，可得，。即：當(dāng)D點(diǎn)始終沿電場強(qiáng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為電場線，而D點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離差保持不變，即電場線為雙曲線。ADC圖3BEDD/

3、ADC圖4BEDD/若沿垂直電場線方向移動(dòng)一段微小距離到D/，如圖4?？傻糜捎贒C是的角平分線，且可忽略，可得可得：當(dāng)D點(diǎn)在ABD平面內(nèi)始終沿垂直電場強(qiáng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為等勢線，而D點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離和保持不變，即等勢線為以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，等勢面是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)橢球面。AD圖5BExy下面求D點(diǎn)場強(qiáng)及電勢。以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，任一小段帶電細(xì)線在D點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為，與方向夾角為，分解后的分量分別為、，再設(shè)線段BD和線段AD與x軸夾角分別為和，如圖5所示。由（1）式得： （2） （3）設(shè)合場強(qiáng)與x軸夾角為，

4、則即場強(qiáng)ED方向?yàn)檠氐慕瞧椒志€反向延長線?，F(xiàn)在求D點(diǎn)電勢。2 用疊加法求電場設(shè)坐標(biāo)為x的一小段直線dx在D點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為dU，則 （4）由此，當(dāng)D點(diǎn)在等勢面上移動(dòng)時(shí)，保持不變，可設(shè)其中a為可求常量。則有： （5）AD圖6BFGH延長三角形ABD的AD、AB兩邊，作半徑為r的圓與邊BD及AB、AD的延長線相切，切點(diǎn)分別為G、H、F，由圓與直線相切的性質(zhì)可得：可得： 即D到A、B兩點(diǎn)的距離之和為常量，故所有電勢相等的點(diǎn)的集合為旋轉(zhuǎn)橢球面。由（4）式得，xy平面內(nèi)任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為（設(shè)該點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離分別為、r）此點(diǎn)為某條電場線上一點(diǎn)，設(shè)電場線函數(shù)為，則其導(dǎo)數(shù)為則有：即：，故電場線為雙曲線。3 關(guān)于孤立導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面電容及面電荷密度的求解帶電量為 Q的導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面處于靜電平衡狀態(tài)，橢球面的方程為。由前所述，對于中點(diǎn)在原點(diǎn)、長度為、電荷密度為、在x軸上的有限長均勻帶電直線，方程為的橢球面為其一個(gè)等勢面，由（4）、（5）兩式得電勢為因此，該導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面的電容為：本式與文獻(xiàn)1中（11）式一樣。由于有限長均勻帶電直線在某點(diǎn)(x、y、0)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為則總電量為Q，橢球面方程為的導(dǎo)體在(x、y、0)上面電荷密度為：上式是導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球表面電荷密度的一般表達(dá)式，正確性可由文獻(xiàn)2中4.16式經(jīng)變換后得以驗(yàn)證。參考文獻(xiàn)1 丁振瑞,李雙九.