復變函數(shù)第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示法ppt課件

1、& 1. 復數(shù)列的極限復數(shù)列的極限& 2. 級數(shù)的概念級數(shù)的概念第四章第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示法解析函數(shù)的級數(shù)表示法4.1 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù) 1. 復數(shù)列的極限復數(shù)列的極限定義定義4.1,), 2 , 1(nnnniban 其其中中設設復復數(shù)數(shù)列列： ，iba 又設復常數(shù)：又設復常數(shù)：0,0,nnNnNn 若若當當恒恒有有，那那么么 稱稱為為復復數(shù)數(shù)列列當當時時的的極極限限，.,lim 收收斂斂于于此此時時，也也稱稱復復數(shù)數(shù)列列時時，或或當當記記作作nnnnn .lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故又又 定理

2、定理4.1.lim,limlimbbaannnnnn 證明證明lim0,0,nnnNnN “”已已知知即即，當當恒恒有有l(wèi)im, lim0,0,22()()lim.nnnnnnnnnnnnnaabbNnNaabbaai bbaabb “”已已知知即即，當當恒恒有有，又又故故課堂練習課堂練習: :下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 收斂收斂, 極限為極限為-1發(fā)散發(fā)散收斂，極限為收斂，極限為02. 復級數(shù)的概念復級數(shù)的概念 nnn 211 niinns121 級數(shù)的前面級數(shù)的

3、前面n項的和項的和-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和稱稱為為級級數(shù)數(shù)的的和和ssnn lim稱稱為為收收斂斂級級數(shù)數(shù) 1nn 稱稱為為發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) 1nn -無窮級數(shù)無窮級數(shù)定義定義4.2), 2 , 1( nibannn 設復數(shù)列：設復數(shù)列：不收斂不收斂 收收斂斂若若部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns例例1解解的斂散性。的斂散性。判別判別 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂定理定理4.2都都收收斂斂。和和收收斂斂級級數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 都都收收斂斂。和和由由定定理理， 111111lim,limlim)(nnnnnnnnnn

4、nnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 證明證明 )1(1 1是是否否收收斂斂？級級數(shù)數(shù) nnin解解; 1 11發(fā)發(fā)散散因因為為 nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散. 例例1 11nnnnba收收斂斂的的必必要要條條件件是是和和因因為為實實數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù).0lim0lim nnnnba和和0lim nn 必要條件必要條件重要結論重要結論:.0lim1發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnn 收斂的必要條件是收斂的必要條件是所以復數(shù)項級數(shù)所以復數(shù)項級數(shù) 1nn :,1 nine級數(shù)級數(shù)例如例如, 0limlim innnne 因因為為不滿足必

5、要條件不滿足必要條件,所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散.啟示啟示: 判別級數(shù)的斂散性時判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散;應進一步判斷應進一步判斷., 0lim nn A 由定理由定理4.2，復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為，復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為A 兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。. 0lim: nn 收收斂斂的的必必要要條條件件級級數(shù)數(shù) 1nn 定理定理4.3定理定理4.4.1111 nnnnnnnn 收收斂斂，且且收收斂斂若若定義定義4.3.11111條條件件收收斂斂為為收收斂斂，則則稱稱發(fā)發(fā)散散，而而若

6、若為為絕絕對對收收斂斂；收收斂斂，則則稱稱若若 nnnnnnnnnn A 收收斂斂. .收收斂斂若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如由定理由定理4.4的證明過程，及不等式的證明過程，及不等式:22有有nnnnbaba 推論推論4.1都都收收斂斂。和和收收斂斂級級數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 證明證明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 1112nnnnnnab 由由比比較較判判定定法法和和均均絕絕對對收收斂斂，由由定定理理4 4. . 得得收收斂斂。 1111,nnnnnkknkk 解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnnin

7、nn絕絕對對收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例2否否絕絕對對收收斂斂？下下列列級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級級數(shù)數(shù)非非絕絕對對收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn練習：練習：的斂散性。的斂散性。討論討論 011nnien 發(fā)散發(fā)散& 1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂

8、半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級數(shù)的運算和性質冪級數(shù)的運算和性質4.2 冪級數(shù)冪級數(shù)1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念定義定義設復變函數(shù)列：設復變函數(shù)列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-稱為復變函數(shù)項級數(shù)稱為復變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面級數(shù)的最前面n項的和項的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和000000lim()(),(1),(), lim()(1),nnnnzDszs zzs zsz 若若稱稱級級數(shù)數(shù)在在 收收斂斂其其和和為為不不存存在在，稱稱級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散若級數(shù)若級數(shù)(1

9、)在在D內處處收斂，其和為內處處收斂，其和為z的函數(shù)的函數(shù))()()()(21zfzfzfzsn -級數(shù)級數(shù)(1)的和函數(shù)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz當當稱為冪級數(shù)稱為冪級數(shù)并并不不失失一一般般性性。研研究究級級數(shù)數(shù)中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2. 收斂定理收斂定理同實變函數(shù)一樣，復變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：同實變函數(shù)一樣，復變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理定理4.5 (阿貝爾阿貝爾(Able)定理）定理）101(0),.nnnc zzzzzz 若若級級數(shù)數(shù)在在

10、收收斂斂 則則對對滿滿足足的的級級數(shù)數(shù)必必絕絕對對收收斂斂22,.zzzzz 若若級級數(shù)數(shù)在在發(fā)發(fā)散散 則則對對滿滿足足的的級級數(shù)數(shù)必必發(fā)發(fā)散散 20112111max,0,1, 2,NNnnMcc zc zczc zMn 取取故故證明證明110(1),lim0nnnnnnc zc z 收收斂斂 則則，即即100nnNnNc z ，當當，恒恒有有11,1zzzqz若若則則11,nnnnnnzc zc zMqz,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對收斂。絕對收斂。 0nnnzc(2)用反證法，用反證法，3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑20,n

11、nnzzzc z 設設當當，有有收收斂斂，由由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，則級數(shù)若對所有正實數(shù)都收斂，則級數(shù)(3)在復平面上在復平面上處處收斂。處處收斂。20(1)nnnc z 由由知知收收斂斂與與假假設設矛矛盾盾，得得證證！(ii )除除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時， 級數(shù)級數(shù)(3)在復平面上除在復平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內內，級級數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble

12、., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散使使得得收收斂斂使使得得 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級數(shù)否則，級數(shù)(3)將在將在處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，部分染成藍色，逐漸變大，逐漸變大，在在c c內部都是紅色內部都是紅色, ,逐漸變逐漸變小，在小，在c外部都是藍色，外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。故紅、藍色不會交錯。故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ： 播放幻燈片播放幻燈片 37RRcA (i)冪級數(shù)在收斂圓內部收斂，在收斂圓外冪級數(shù)在收斂圓內部收斂，在收斂圓外A部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題部發(fā)散，

13、在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題A要具體分析。要具體分析。(ii)冪級數(shù)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以的收斂范圍是以0為中心，半徑為為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以的收斂范圍是以z0為中心為中心,半徑半徑為為R的圓域的圓域.定義這個紅藍兩色的分界圓周定義這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的叫做冪級數(shù)的收斂圓周；圓周的內部成為收斂圓，這個圓的半徑收斂圓周；圓周的內部成為收斂圓，這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。叫做冪級數(shù)的收斂半徑。例如例如, 級數(shù)級數(shù):1121nnnnnnzznzn 1, 1 zR收收斂斂圓圓周周均均為為收斂圓周上無收斂點收斂圓周上無收斂點;1

14、,;z 在在點點發(fā)發(fā)散散 在在圓圓周周上上其其余余點點收收斂斂在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂. 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，則則若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim, 0)(證明證明發(fā)發(fā)散散，時時時時，即即當當絕絕對對收收斂斂；時時即即時時當當 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz !,01矛矛盾盾收收斂斂 nnnzc.1:0也也發(fā)發(fā)散散時時，當當以以下下證證 nnnzcz ,1,000收收斂斂，外外有有一一點點設設在在用用反反證證法法 nnnzczz :1,011定定理理得得，由由滿滿足足再再取取一一點點Ablezzz

15、 .1,10 Rzcznnn故故發(fā)發(fā)散散時時，當當即即發(fā)發(fā)散散 ,00 nnnzc收收斂斂都都有有時時，對對若若 00)(nnnzczii ;0 Rzcnnn故故在復平面上處處收斂，在復平面上處處收斂，.,0)(00也也發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，從從而而有有外外，對對一一切切時時，除除當當 nnnnnnzczczziii . 0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收斂斂，矛矛盾盾，滿滿足足則則收收斂斂使使得得否否則則，如如果果有有一一點點 定理定理3(根值法根值法) 000/1limRcnnn，則則若若 定理定理4.7(根值法根值法) 000/1limRcnnn，則則若若 定

16、理定理4.6(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，則則若若4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法的收斂半徑求法，有的收斂半徑求法，有關于冪級數(shù)關于冪級數(shù))3(0 nnnzc例例求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(2)1!;nnn z解解(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因為因為, 1 所以收斂半徑所以收斂半徑1R (2)1(1)!limlim!nnnncncn, 0.R 故例例4.2的收斂范圍及和函數(shù)。的收斂范圍及和函數(shù)。求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim,

17、0lim1zszznnnn 時，時，當當., 0lim1級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時時，當當 nnzz 綜上綜上 .1;111,0時時當當發(fā)發(fā)散散時時當當且且和和函函數(shù)數(shù)為為收收斂斂zzzznn例例3的斂散性。的斂散性。討論討論 0!nnnz解解斂斂。在在復復平平面面上上處處處處絕絕對對收收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz例例2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1時時當

18、當 z,1時時當當 z,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散p=1p=2,1上上在在圓圓周周 z 1122,1nnnnnz是是收收斂斂的的該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圓圓周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien發(fā)發(fā)散散。 綜上綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)發(fā)散。該級

19、數(shù)收斂，該級數(shù)收斂，時時，當當11 z時時，當當11 z;)1)(ch)2(1 nnzni222)2(ln1ln1nnnninc R222lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故該級數(shù)在復平面上是處處收斂的故該級數(shù)在復平面上是處處收斂的.5. 冪級數(shù)的運算和性質冪級數(shù)的運算和性質q代數(shù)運算代數(shù)運算1200( )( )nnnnnna zf zRrb zg zRr 設設Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min

20、(21rrR 其其中中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-冪級數(shù)的加、減運算冪級數(shù)的加、減運算-冪級數(shù)的乘法運算冪級數(shù)的乘法運算rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0內內解解析析，且且在在設設Rzzgazgfnnn 0)()(-冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換(復合復合)運算運算A 冪級數(shù)的冪級數(shù)的代換運算在函代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)數(shù)展成冪級數(shù)中很有用中很有用.例例3.)(10abazcbznnn 這這里里，復復常常數(shù)數(shù)的的冪冪級級數(shù)數(shù)，表表成成形形如如把把解解)()(11abazbz 代換代換 abzgabazab

21、1)(11111Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122解解 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代換代換展開展開復原復原q分析運算分析運算定理定理4.8Rzzfzcnnn )(0設設.)()(內內解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(00()( )nnnnnnCCCiiif z dzc z dzcz dz -冪級數(shù)的逐項求導運算冪級數(shù)的逐項求導運算-冪

22、級數(shù)的逐項積分運算冪級數(shù)的逐項積分運算 0101)(nnnznzcdf 或或CzR例例4.4 求級數(shù)求級數(shù)11(21)nnnz的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解1212limlim 11 nnnnnncc因為因為.21 R所所以以,21時時當當 zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例4.4 求級數(shù)求級數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解12limlim 1 nnccnnnn因因為為. 1 R所所以以利用逐項積分利用逐項積分,得得: 0000d)1(

23、d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z 作業(yè) P100 2(1)(2) P101 9(1)(2),10(1)& 1. 泰勒展開定理泰勒展開定理& 2. 展開式的唯一性展開式的唯一性& 3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式4.3 解析函數(shù)的泰勒解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展開展開1. 泰勒泰勒(Taylor)展開定理展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?(或者說或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)

24、一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)? 解析函解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由由4.24.2冪級數(shù)的性質知冪級數(shù)的性質知: :一個冪級數(shù)的和函數(shù)在一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內部是一個解析函數(shù)。它的收斂圓內部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。定理定理4.9泰勒展開定理）泰勒展開定理）,2, 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中時時當當上上各各點點的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內內

25、解解析析在在區(qū)區(qū)域域設設級數(shù)的處在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得得Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比較較)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()(

26、)()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得證！得證！nnnzzzf)()()(0010 證明證明(不講不講) kdzfizfCauchykzDrzrzk )(21)(:, ,:00積積分分公公式式由由內內任任一一點點為為設設, 100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzzzzzzzz 級級數(shù)數(shù)處處的的在在函函數(shù)數(shù)逐逐項項積積分分得得沿沿著著兩兩端端乘乘以以Talorzzfzznzfzfzfdzfizzdzfizzdzfidzfizfkifnnknnkkk000)(001002000)()4()(!)()( )()()(2)()(

27、)(2)(21)(21)(,2)( (不講不講)!.)(,)4(0000證證畢畢離離的的邊邊界界上上各各點點的的最最短短距距到到從從級級數(shù)數(shù)收收斂斂半半徑徑至至少少等等于于處處的的解解析析點點在在內內即即可可及及其其內內部部包包含含在在只只要要圓圓可可以以任任意意增增大大的的半半徑徑圓圓的的圓圓域域為為半半徑徑為為中中心心，的的收收斂斂范范圍圍是是以以級級數(shù)數(shù)DzTaylorzzfDkrkrzrz 證明證明(不講不講)而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復平面內來看函數(shù)211z1-z2+z4-它有兩個奇點i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上, 所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1. 因而,

28、即使我們只關心z的實數(shù)值, 但復平面上的奇點形成了限制. 在實變函數(shù)中有些不易理解的問題, 一到復變函數(shù)中就成為顯然的事情, 例如在實數(shù)范圍內, 展開式242211( 1)1nnxxxx 的成立必須受|x|1的限制, 這一點往往使人難以理解, 因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的而且是可導的.A 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之間間的的距距離離, ,的的最最近近的的一一個個奇奇點點到到等等于于從從展展開開式式的的收收斂斂半半徑徑的的在在解解析析點點那那么么有有奇奇點點, ,若若( (1 1) )例如：201( ),6nnnf zC zzz 2;R 則則其其收收斂斂

29、半半徑徑201( )() ,6nnnf zCzizz 5.R 則則其其收收斂斂半半徑徑(2)( ),f z 奇奇點點斂斂圓圓周周這這為為斂斂圓圓內內點點斂斂圓圓內內點點斂斂圓圓話話斂斂徑徑還還擴擴點點斂斂圓圓在在收收上上,是,是因因在在收收解解析析 所所以以奇奇不不可可能能在在收收. . 又 又奇奇不不可可能能在在收收外外,不,不然然的的, 收, 收半半可可以以只只能能在在收收周周上上. .大大, 因, 因此此,奇,奇yz0 x2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結論結論 解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的的Taylor級數(shù)。級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)

30、展開成冪級數(shù)，這樣利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？的展開式是否唯一？1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事實上，設事實上，設f (z)用另外的方法展開為冪級數(shù)用另外的方法展開為冪級數(shù):導導性性質質得得，再再由由冪冪級級數(shù)數(shù)的的逐逐項項求求則則00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此類類推推得得，由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分 析運算和析運算和 已知函數(shù)的展開式來展開已知函數(shù)的展開式來展開由此

31、可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。級數(shù)，因而是唯一的。級數(shù)為：時當Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-間接法間接法代公式代公式函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：級數(shù)的方法：例例. 231)( 的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(320

32、0)( Renzzzzeneeznzzzznz該該級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑在在復復平平面面上上解解析析3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它們的半徑它們的半徑在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212)!12()1()!12(221kkkkkkkzkzii 1121753)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzz

33、z間間 接接 法法例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級數(shù)的冪級數(shù):)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn （2由冪級數(shù)逐項求導性質得：由冪級數(shù)逐項求導性質得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn10(1)1,:1zz zccz 在在收收斂斂圓圓內內任任意意取取一一條條從從的的路路徑徑將將的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿 逐逐項項積積分分得得(3) ( )ln(1)f zz1 Ro1 1xy因因ln(1+z)

34、在從在從z=-1向左沿向左沿負實軸剪開的平面內解析，負實軸剪開的平面內解析， ln(1+z)離原點最近的一個離原點最近的一個奇點是奇點是-1,它的展開式的它的展開式的收斂范圍為收斂范圍為zR1時時, 即即| z |R, 011()nnnnnncczz 收收斂斂。因而因而, 只有在只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域的圓環(huán)域, 原級數(shù)才收斂原級數(shù)才收斂.z0R1R2例如級數(shù)例如級數(shù)10110(),1,| |,| |.| | | |,| |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzazazazbzbbbzabazbababzabz 與與 為為復復常常數(shù)數(shù)中中的的負負冪冪項項級級數(shù)數(shù)當當即

35、即時時收收斂斂 和和函函數(shù)數(shù)為為; ;而而正正冪冪項項級級數(shù)數(shù)則則當當時時收收斂斂, ,和和函函數(shù)數(shù)為為所所以以當當時時, ,原原級級數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域收收斂斂 和和函函數(shù)數(shù)為為; ;當當時時, ,原原級級數(shù)數(shù)處處處處發(fā)發(fā)散散在收斂圓環(huán)域內也具有在收斂圓環(huán)域內也具有. 例如例如, 可以證明可以證明, 上述級數(shù)在收上述級數(shù)在收斂域內其和函數(shù)是解析的斂域內其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求而且可以逐項求積和逐項求導導.冪級數(shù)在收斂圓內的許多性質冪級數(shù)在收斂圓內的許多性質, 級數(shù)級數(shù)100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz 現(xiàn)在反問現(xiàn)在反問

36、, 在圓環(huán)域內解析的函數(shù)是否一定能夠展開成在圓環(huán)域內解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)冪級數(shù)?先看下例先看下例.例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(內處處解析內處處解析及及圓環(huán)域圓環(huán)域但在但在都不解析都不解析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10時時當當 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz時時當當 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz1Oxy nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內解析內解

37、析, f (z) 可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項,即即2. 函數(shù)展開成羅朗級數(shù)函數(shù)展開成羅朗級數(shù)定理定理4.1210201C00( ):,( )()(4.20)1( ):(0, 1, 2,) (4.21)2().nnnnnf zDRzzRf zczzf zcdz nizzcDz 設設在在內內解解析析 則則其其中中是是 內內圍圍繞繞 的的任任何何一一條條正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線級級數(shù)數(shù)內內的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 展展開開式式內內的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 3. 證明思路證明思路C

38、auchy 積分公式推廣到復連通域積分公式推廣到復連通域，：、且且作作圓圓周周：解解析析內內在在設設RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf 01210201201,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，對對1Dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(證明證明 由復連通域上的由復連通域上的Cauchy 積分公式：積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 記為記為I1記為記為I2，時時，當當1002 zzzk ，時時，當當記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 n

39、nnnknnzzczzdzfiI 的的推推導導得得：重重復復 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐項積分得逐項積分得并沿并沿兩邊乘以兩邊乘以kif 式式(*1),(*2)中系數(shù)中系數(shù)cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進上進行的，在行的，在D內取繞內取繞z0的簡單閉曲線的簡單閉曲線c，由復合閉路，由復合閉路定理可將定理可將

40、cn寫成統(tǒng)一式子：寫成統(tǒng)一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0證畢！證畢！A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內不是處處內不是處處在在相同相同形式上與高階導數(shù)公式形式上與高階導數(shù)公式系數(shù)系數(shù)時時當當czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實際應用中，經(jīng)常遇到在許多實際應用中，經(jīng)常遇到f (z)f (z)在奇在奇點點 z0z0的鄰域內解析，需要把的鄰域內解析，需要把f (z)f (z)展成級展成級數(shù)，那么數(shù)，那么 就利用羅朗（就利用羅朗（ Laurent Laurent ）級數(shù)來展開。）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和

41、負整次冪部分分別稱為級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為羅朗級數(shù)的解析部分和主要部分。羅朗級數(shù)的解析部分和主要部分。4. 展開式的唯一性展開式的唯一性結論結論 一個在某一圓環(huán)域內解析的函數(shù)展開為含一個在某一圓環(huán)域內解析的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f (z)的羅朗級數(shù)。的羅朗級數(shù)。事實上，事實上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內內解解析析，在在設設 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內內任任何何一一條條繞繞為為設設0的的正正向向積積分分得得

42、：并并沿沿為為任任一一整整數(shù)數(shù)將將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數(shù)數(shù)就就是是展展開開成成級級數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內內解解析析的的函函數(shù)數(shù)由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 二、函數(shù)的羅朗展開式求法常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf

43、缺點缺點: 計算往往很麻煩計算往往很麻煩.根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開 .優(yōu)點優(yōu)點 : 簡捷簡捷 , 快速快速 .2. 間接展開法間接展開法三、典型例題三、典型例題例例1 1, 0 內內在在 z. )( 2展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)將將zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzC , 3 時時當當 n0 nc, 2在在圓圓環(huán)環(huán)域域內內解解析析zez故由柯西

44、故由柯西古薩基本定理知古薩基本定理知:, 2 時時當當 n由高階導數(shù)公式知由高階導數(shù)公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 Cnneic另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負冪項的奇點既是各負冪項的奇點,. 2的的奇奇點點也也是是函函數(shù)數(shù)zez例例1解解sin0zzz 求求在在 展展開開成成羅羅朗朗級級數(shù)數(shù)。 012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!

45、31!5!314253zzzzzz三、典型例題三、典型例題.03級級數(shù)數(shù)內內展展開開成成在在將將Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解練習練習解解.01級級數(shù)數(shù)內內展展成成在在將將Laurentzez nttntte!1! 2112在在復復平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z33211112!3!4!nzzznzz 例例4.7級級數(shù)數(shù)。的的內內展展開開成成（在在以以下下圓圓環(huán)環(huán)域域將將Laurentzziiiziizizzzf02)(;21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo1

46、2 ziii 2)(xyo1210) zi（解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz1222)( zzziiizzzzzzzf211111112111)( 2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz注意首項注意首項(1)對對于于

47、無無理理函函數(shù)數(shù)及及其其他他初初等等函函數(shù)數(shù)的的羅羅朗朗展展開開式式，可可以以利利用用已已知知基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒展展開開式式，經(jīng)經(jīng)過過代代換換、逐逐次次求求導導、逐逐次次積積分分等等計計算算來來獲獲得得。(2)(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理 函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。形式。小結：把小結：把f (z)f (z)展成羅朗展成羅朗( Laurent )( Laurent )級數(shù)的方級數(shù)的方法：法：級級

48、數(shù)數(shù)。域域內內展展開開成成的的去去心心鄰鄰在在以以點點將將Laurentzzzzzf2, 1)2)(1(1)( 解解 (1) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域例例4.8yxo12) 1(11112111)( zzzzzf 20)1()1(111)1(11zzzzznn110 z (2) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域120 zxo12) 2(11212111)( zzzzzf 20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn內內展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)域域將將 10)2(, 1)1(11)(zzezzfz練習：練習：函數(shù)可以在以函數(shù)可以在以z0為中心的為中心的(由奇點

49、隔開的由奇點隔開的)不同圓環(huán)域不同圓環(huán)域內解析內解析, 因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開式開式(包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例). 我們不要把這種我們不要把這種情形與羅朗展開式的唯一性相混淆情形與羅朗展開式的唯一性相混淆. 所謂羅朗展開式所謂羅朗展開式的唯一性的唯一性, 是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內的羅朗是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內的羅朗展開式是唯一的展開式是唯一的. A (1)(1)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內需要把在圓域內需要把 f (z) f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)(Tayl

50、or)級數(shù)，級數(shù)，在環(huán)域內需要把在環(huán)域內需要把f (z)f (z)展成羅朗展成羅朗( Laurent )( Laurent )級級數(shù)。數(shù)。(2) Laurent級數(shù)與級數(shù)與Taylor 級數(shù)的不同點：級數(shù)的不同點： Taylor級數(shù)先展開求級數(shù)先展開求R, 找出收斂域。找出收斂域。 Laurent級數(shù)先求級數(shù)先求 f(z) 的奇點，然后以的奇點，然后以 z0 為中心，奇點為分隔點，找出為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮到無窮遠遠 點的所有使點的所有使 f(z) 解析的環(huán)，在環(huán)域上展成解析的環(huán)，在環(huán)域上展成 級數(shù)。級數(shù)。作業(yè) P103 17，18& 1. 定義定義& 2. 分類

51、分類& 3. 性質性質& 4. 零點與極點的關系零點與極點的關系4.5 孤立奇點孤立奇點 1. 定義定義例如例如zezf1)( -z=0為孤立奇點為孤立奇點zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇都是它的奇點點11)( zzf-z=1為孤立奇點為孤立奇點定義定義4.40000( )0( ),( ).zf zzzzf zzf z 若若是是函函數(shù)數(shù)的的一一個個奇奇點點，而而且且存存在在 的的某某個個去去心心鄰鄰域域，在在其其中中處處處處解解析析 則則稱稱為為的的孤孤立立奇奇點點xyo這說明奇點未這說明奇點未必是孤立的。必是孤立的。的的奇奇點

52、點存存在在，總總有有鄰鄰域域內內不不論論多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn 的孤立奇點。的孤立奇點。不是不是故故zz1sin10 2.孤立奇點的分類孤立奇點的分類以下將以下將f (z)在孤立奇點的鄰域內展成羅朗級數(shù)，根在孤立奇點的鄰域內展成羅朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類?？疾欤簱?jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類?？疾欤?)!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特點：特點：沒有負冪項沒有負冪項 ! 211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特點：特點：只有有限多個負冪項只有有限多個負冪項 nznzzez!1

53、!211)3(211特點：特點：有無窮多個負冪項有無窮多個負冪項根據(jù)根據(jù))(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內的羅朗級數(shù)的情況分為三類內的羅朗級數(shù)的情況分為三類:1可去奇點可去奇點1可去奇點可去奇點; 2極點極點; 3本性奇點本性奇點.如果羅朗級數(shù)中不含如果羅朗級數(shù)中不含 的負冪項的負冪項, 0zz 0z)(zf那末孤立奇點那末孤立奇點 稱為稱為 的可去奇點的可去奇點.1) 定義定義其和函數(shù)其和函數(shù))(zF為在為在0z解析的函數(shù)解析的函數(shù).000( ),( ),f zzzF zczz 說明說明: (1): (1),)(0的的孤孤立立奇奇點點若若是是zfz.)()(

54、)(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz ,)(00czf (2) 無論無論在在是否有定義是否有定義, )(zf0z補充定義補充定義則函數(shù)則函數(shù)在在0z解析解析.)(zf如果補充定義如果補充定義:0 z時時, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例 42! 51! 311sinzzzz中不含負冪項中不含負冪項,0 z是是zzsin的可去奇點的可去奇點 . 2) 可去奇點的判定可去奇點的判定(1) 由定義判斷由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負的洛朗級數(shù)無負0z)(zf在在假如假如冪項冪項,那么那么0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點.(2) 判斷

55、極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值,那么那么0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點.例例 說明說明0 z為為zez1 的可去奇點的可去奇點.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點的可去奇點.zez1 無負冪項無負冪項另解另解 zzzzeze00lim1lim 因為因為0 z所以所以的可去奇點的可去奇點.為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 2. 極點極點 如果在羅朗級數(shù)中只有有限多個如果在羅朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項的負冪項, 且其中關于且其中關于(z-z0)-1的最高冪為的最高冪為 (

56、z-z0)-m, 即即f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點則孤立奇點z0稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (z)的的m級極級極點點. 上式也可寫成上式也可寫成01( )( )()mf zg zzz ， （ ） 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 內是解析的函數(shù), 且 g (z0) 0 . 反過來, 當任何一個函數(shù) f (z) 能表示為(*)的形式, 且g (z0) 0 時, 則z0是 f (z)的m級極點.如果如果z

57、0為為 f (z)的極點的極點, 由由(*)式式, 就有就有0lim( ).zzf z 232,( ),(1)(1)1,.zf zzzzzi 例例如如 對對有有理理分分式式函函數(shù)數(shù)是是它它的的三三級級極極點點是是它它的的一一級級極極點點1 z z3 3e e問問題題： z=0z=0是是的的幾幾級級極極點點？z z級級極極點點的的是是若若mzfz)(0定理定理4.13:.)(10級級零零點點的的是是mzfz這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法.例例例例考慮考慮01( )()nzzf zne 求求的的極極點點。例例 211( )1/ 2!

58、/!1112!nmnmzf zzzzmzzzm 21(0)zzkiek 為為的的一一級級零零點點2( )(0).zkif zk 為為的的一一級級極極點點01( )()nzzf zne 求求的的極極點點。01zn為為級級極極點點. .3. 本性奇點本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負冪項的負冪項,則孤立奇點則孤立奇點z0稱為稱為 f (z)的本性奇點的本性奇點.1112( )0.1112!znzf zezezzzn 例例如如以以為為它它的的本本性性奇奇點點 因因為為有有無無窮窮多多負負冪冪項項。0( )zf z為為的的本本性性奇奇點點0lim( )().zzf z 不不存存在在 也也不不為為0limz 1 1z z例例如如e e 不不存存在在且且不不為為 . .注注奇奇點點孤立孤立 奇點奇點非孤立奇點非孤