復(fù)變函數(shù)第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法ppt課件

1、& 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限& 2. 級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概念第四章第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限定義定義4.1,), 2 , 1(nnnniban 其其中中設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列： ，iba 又設(shè)復(fù)常數(shù)：又設(shè)復(fù)常數(shù)：0,0,nnNnNn 若若當(dāng)當(dāng)恒恒有有，那那么么 稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限，.,lim 收收斂斂于于此此時(shí)時(shí)，也也稱稱復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列時(shí)時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)記記作作nnnnn .lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故又又 定理

2、定理4.1.lim,limlimbbaannnnnn 證明證明lim0,0,nnnNnN “”已已知知即即，當(dāng)當(dāng)恒恒有有l(wèi)im, lim0,0,22()()lim.nnnnnnnnnnnnnaabbNnNaabbaai bbaabb “”已已知知即即，當(dāng)當(dāng)恒恒有有，又又故故課堂練習(xí)課堂練習(xí): :下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 收斂收斂, 極限為極限為-1發(fā)散發(fā)散收斂，極限為收斂，極限為02. 復(fù)級(jí)數(shù)的概念復(fù)級(jí)數(shù)的概念 nnn 211 niinns121 級(jí)數(shù)的前面級(jí)數(shù)的

3、前面n項(xiàng)的和項(xiàng)的和-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和稱稱為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和ssnn lim稱稱為為收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn 稱稱為為發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn -無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)定義定義4.2), 2 , 1( nibannn 設(shè)復(fù)數(shù)列：設(shè)復(fù)數(shù)列：不收斂不收斂 收收斂斂若若部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns例例1解解的斂散性。的斂散性。判別判別 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂定理定理4.2都都收收斂斂。和和收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 都都收收斂斂。和和由由定定理理， 111111lim,limlim)(nnnnnnnnnn

4、nnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 證明證明 )1(1 1是是否否收收斂斂？級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnin解解; 1 11發(fā)發(fā)散散因因?yàn)闉?nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb所以原級(jí)數(shù)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 例例1 11nnnnba收收斂斂的的必必要要條條件件是是和和因因?yàn)闉閷?shí)實(shí)數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).0lim0lim nnnnba和和0lim nn 必要條件必要條件重要結(jié)論重要結(jié)論:.0lim1發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnn 收斂的必要條件是收斂的必要條件是所以復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所以復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nn :,1 nine級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例如例如, 0limlim innnne 因因?yàn)闉椴粷M足必

5、要條件不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示啟示: 判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷應(yīng)進(jìn)一步判斷., 0lim nn A 由定理由定理4.2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可歸之為，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可歸之為A 兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題。兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題。. 0lim: nn 收收斂斂的的必必要要條條件件級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn 定理定理4.3定理定理4.4.1111 nnnnnnnn 收收斂斂，且且收收斂斂若若定義定義4.3.11111條條件件收收斂斂為為收收斂斂，則則稱稱發(fā)發(fā)散散，而而若

6、若為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；收收斂斂，則則稱稱若若 nnnnnnnnnn A 收收斂斂. .收收斂斂若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如由定理由定理4.4的證明過程，及不等式的證明過程，及不等式:22有有nnnnbaba 推論推論4.1都都收收斂斂。和和收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 證明證明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 1112nnnnnnab 由由比比較較判判定定法法和和均均絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，由由定定理理4 4. . 得得收收斂斂。 1111,nnnnnkknkk 解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnnin

7、nn絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例2否否絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)非非絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn練習(xí)：練習(xí)：的斂散性。的斂散性。討論討論 011nnien 發(fā)散發(fā)散& 1. 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂

8、半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)4.2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)1. 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念定義定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：設(shè)復(fù)變函數(shù)列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和000000lim()(),(1),(), lim()(1),nnnnzDszs zzs zsz 若若稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 收收斂斂其其和和為為不不存存在在，稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)(1

9、)在在D內(nèi)處處收斂，其和為內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)的函數(shù))()()()(21zfzfzfzsn -級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz當(dāng)當(dāng)稱為冪級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)并并不不失失一一般般性性。研研究究級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2. 收斂定理收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理定理4.5 (阿貝爾阿貝爾(Able)定理）定理）101(0),.nnnc zzzzzz 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在

10、收收斂斂 則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂22,.zzzzz 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在發(fā)發(fā)散散 則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必發(fā)發(fā)散散 20112111max,0,1, 2,NNnnMcc zc zczc zMn 取取故故證明證明110(1),lim0nnnnnnc zc z 收收斂斂 則則，即即100nnNnNc z ，當(dāng)當(dāng)，恒恒有有11,1zzzqz若若則則11,nnnnnnzc zc zMqz,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。 0nnnzc(2)用反證法，用反證法，3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑20,n

11、nnzzzc z 設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)，有有收收斂斂，由由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，則級(jí)數(shù)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，則級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上在復(fù)平面上處處收斂。處處收斂。20(1)nnnc z 由由知知收收斂斂與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾，得得證證！(ii )除除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)， 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級(jí)級(jí)在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble

12、., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散使使得得收收斂斂使使得得 nnnnnncciii 顯然，顯然， 否則，級(jí)數(shù)否則，級(jí)數(shù)(3)將在將在處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，部分染成藍(lán)色，逐漸變大，逐漸變大，在在c c內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, ,逐漸變逐漸變小，在小，在c外部都是藍(lán)色，外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故藍(lán)藍(lán)兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,RzcR ： 播放幻燈片播放幻燈片 37RRcA (i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外A部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題部發(fā)散，

13、在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題A要具體分析。要具體分析。(ii)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以的收斂范圍是以0為中心，半徑為為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以的收斂范圍是以z0為中心為中心,半徑半徑為為R的圓域的圓域.定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓周；圓周的內(nèi)部成為收斂圓，這個(gè)圓的半徑收斂圓周；圓周的內(nèi)部成為收斂圓，這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù):1121nnnnnnzznzn 1, 1 zR收收斂斂圓圓周周均均為為收斂圓周上無收斂點(diǎn)收斂圓周上無收斂點(diǎn);1

14、,;z 在在點(diǎn)點(diǎn)發(fā)發(fā)散散 在在圓圓周周上上其其余余點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂. 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，則則若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim, 0)(證明證明發(fā)發(fā)散散，時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；時(shí)時(shí)即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz !,01矛矛盾盾收收斂斂 nnnzc.1:0也也發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)以以下下證證 nnnzcz ,1,000收收斂斂，外外有有一一點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)在在用用反反證證法法 nnnzczz :1,011定定理理得得，由由滿滿足足再再取取一一點(diǎn)點(diǎn)Ablezzz

15、 .1,10 Rzcznnn故故發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)即即發(fā)發(fā)散散 ,00 nnnzc收收斂斂都都有有時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)若若 00)(nnnzczii ;0 Rzcnnn故故在復(fù)平面上處處收斂，在復(fù)平面上處處收斂，.,0)(00也也發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，從從而而有有外外，對(duì)對(duì)一一切切時(shí)時(shí)，除除當(dāng)當(dāng) nnnnnnzczczziii . 0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收斂斂，矛矛盾盾，滿滿足足則則收收斂斂使使得得否否則則，如如果果有有一一點(diǎn)點(diǎn) 定理定理3(根值法根值法) 000/1limRcnnn，則則若若 定理定理4.7(根值法根值法) 000/1limRcnnn，則則若若 定

16、理定理4.6(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，則則若若4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法的收斂半徑求法，有的收斂半徑求法，有關(guān)于冪級(jí)數(shù)關(guān)于冪級(jí)數(shù))3(0 nnnzc例例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(2)1!;nnn z解解(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因?yàn)橐驗(yàn)? 1 所以收斂半徑所以收斂半徑1R (2)1(1)!limlim!nnnncncn, 0.R 故例例4.2的收斂范圍及和函數(shù)。的收斂范圍及和函數(shù)。求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim,

17、0lim1zszznnnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)., 0lim1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnzz 綜上綜上 .1;111,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且和和函函數(shù)數(shù)為為收收斂斂zzzznn例例3的斂散性。的斂散性。討論討論 0!nnnz解解斂斂。在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處絕絕對(duì)對(duì)收收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz例例2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1時(shí)時(shí)當(dāng)

18、當(dāng) z,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,)1(1 nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為,11 nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2,1上上在在圓圓周周 z 1122,1nnnnnz是是收收斂斂的的該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圓圓周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien發(fā)發(fā)散散。 綜上綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)

19、數(shù)收斂，該級(jí)數(shù)收斂，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)11 z時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)11 z;)1)(ch)2(1 nnzni222)2(ln1ln1nnnninc R222lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)q代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算1200( )( )nnnnnna zf zRrb zg zRr 設(shè)設(shè)Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min

20、(21rrR 其其中中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算-冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0內(nèi)內(nèi)解解析析，且且在在設(shè)設(shè)Rzzgazgfnnn 0)()(-冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運(yùn)算運(yùn)算A 冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用中很有用.例例3.)(10abazcbznnn 這這里里，復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，表表成成形形如如把把解解)()(11abazbz 代換代換 abzgabazab

21、1)(11111Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122解解 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代換代換展開展開復(fù)原復(fù)原q分析運(yùn)算分析運(yùn)算定理定理4.8Rzzfzcnnn )(0設(shè)設(shè).)()(內(nèi)內(nèi)解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(00()( )nnnnnnCCCiiif z dzc z dzcz dz -冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算-冪

22、級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算 0101)(nnnznzcdf 或或CzR例例4.4 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)11(21)nnnz的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解1212limlim 11 nnnnnncc因?yàn)橐驗(yàn)?21 R所所以以,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例4.4 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解12limlim 1 nnccnnnn因因?yàn)闉? 1 R所所以以利用逐項(xiàng)積分利用逐項(xiàng)積分,得得: 0000d)1(

23、d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z 作業(yè) P100 2(1)(2) P101 9(1)(2),10(1)& 1. 泰勒展開定理泰勒展開定理& 2. 展開式的唯一性展開式的唯一性& 3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式4.3 解析函數(shù)的泰勒解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展開展開1. 泰勒泰勒(Taylor)展開定理展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)

24、一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)? 解析函解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）由由4.24.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知: :一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。定理定理4.9泰勒展開定理）泰勒展開定理）,2, 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內(nèi)內(nèi)

25、解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)級(jí)數(shù)的處在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得得Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比較較)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()(

26、)()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得證！得證！nnnzzzf)()()(0010 證明證明(不講不講) kdzfizfCauchykzDrzrzk )(21)(:, ,:00積積分分公公式式由由內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為設(shè)設(shè), 100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzzzzzzzz 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)處處的的在在函函數(shù)數(shù)逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得沿沿著著兩兩端端乘乘以以Talorzzfzznzfzfzfdzfizzdzfizzdzfidzfizfkifnnknnkkk000)(001002000)()4()(!)()( )()()(2)()(

27、)(2)(21)(21)(,2)( (不講不講)!.)(,)4(0000證證畢畢離離的的邊邊界界上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距到到從從級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂半半徑徑至至少少等等于于處處的的解解析析點(diǎn)點(diǎn)在在內(nèi)內(nèi)即即可可及及其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含在在只只要要圓圓可可以以任任意意增增大大的的半半徑徑圓圓的的圓圓域域?yàn)闉榘氚霃綇綖闉橹兄行男?，的的收收斂斂范范圍圍是是以以?jí)級(jí)數(shù)數(shù)DzTaylorzzfDkrkrzrz 證明證明(不講不講)而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)211z1-z2+z4-它有兩個(gè)奇點(diǎn)i, 而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上, 所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1. 因而,

28、即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值, 但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制. 在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題, 一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情, 例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi), 展開式242211( 1)1nnxxxx 的成立必須受|x|1的限制, 這一點(diǎn)往往使人難以理解, 因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的.A 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之間間的的距距離離, ,的的最最近近的的一一個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)到到等等于于從從展展開開式式的的收收斂斂半半徑徑的的在在解解析析點(diǎn)點(diǎn)那那么么有有奇奇點(diǎn)點(diǎn), ,若若( (1 1) )例如：201( ),6nnnf zC zzz 2;R 則則其其收收斂斂

29、半半徑徑201( )() ,6nnnf zCzizz 5.R 則則其其收收斂斂半半徑徑(2)( ),f z 奇奇點(diǎn)點(diǎn)斂斂圓圓周周這這為為斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)斂斂圓圓話話斂斂徑徑還還擴(kuò)擴(kuò)點(diǎn)點(diǎn)斂斂圓圓在在收收上上,是,是因因在在收收解解析析 所所以以奇奇不不可可能能在在收收. . 又 又奇奇不不可可能能在在收收外外,不,不然然的的, 收, 收半半可可以以只只能能在在收收周周上上. .大大, 因, 因此此,奇,奇yz0 x2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的的Taylor級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)

30、展開成冪級(jí)數(shù)，這樣利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開式是否唯一？的展開式是否唯一？1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù):導(dǎo)導(dǎo)性性質(zhì)質(zhì)得得，再再由由冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求則則00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此類類推推得得，由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分 析運(yùn)算和析運(yùn)算和 已知函數(shù)的展開式來展開已知函數(shù)的展開式來展開由此

31、可見，任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)就是由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的。級(jí)數(shù)，因而是唯一的。級(jí)數(shù)為：時(shí)當(dāng)Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-間接法間接法代公式代公式函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的方法：級(jí)數(shù)的方法：例例. 231)( 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(320

32、0)( Renzzzzeneeznzzzznz該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它們的半徑它們的半徑在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212)!12()1()!12(221kkkkkkkzkzii 1121753)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzz

33、z間間 接接 法法例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù):)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn （2由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn10(1)1,:1zz zccz 在在收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)任任意意取取一一條條從從的的路路徑徑將將的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿 逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得(3) ( )ln(1)f zz1 Ro1 1xy因因ln(1+z)

34、在從在從z=-1向左沿向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析，負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析， ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是奇點(diǎn)是-1,它的展開式的它的展開式的收斂范圍為收斂范圍為zR1時(shí)時(shí), 即即| z |R, 011()nnnnnncczz 收收斂斂。因而因而, 只有在只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域的圓環(huán)域, 原級(jí)數(shù)才收斂原級(jí)數(shù)才收斂.z0R1R2例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù)10110(),1,| |,| |.| | | |,| |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzazazazbzbbbzabazbababzabz 與與 為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)中中的的負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)即

35、即時(shí)時(shí)收收斂斂 和和函函數(shù)數(shù)為為; ;而而正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂, ,和和函函數(shù)數(shù)為為所所以以當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域收收斂斂 和和函函數(shù)數(shù)為為; ;當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)處處處處發(fā)發(fā)散散在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如例如, 可以證明可以證明, 上述級(jí)數(shù)在收上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz 現(xiàn)在反問現(xiàn)在反問

36、, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)?先看下例先看下例.例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析及及圓環(huán)域圓環(huán)域但在但在都不解析都不解析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz1Oxy nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內(nèi)解析內(nèi)解

37、析, f (z) 可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng)可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即即2. 函數(shù)展開成羅朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成羅朗級(jí)數(shù)定理定理4.1210201C00( ):,( )()(4.20)1( ):(0, 1, 2,) (4.21)2().nnnnnf zDRzzRf zczzf zcdz nizzcDz 設(shè)設(shè)在在內(nèi)內(nèi)解解析析 則則其其中中是是 內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞 的的任任何何一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 展展開開式式內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 3. 證明思路證明思路C

38、auchy 積分公式推廣到復(fù)連通域積分公式推廣到復(fù)連通域，：、且且作作圓圓周周：解解析析內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf 01210201201,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，對(duì)對(duì)1Dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(證明證明 由復(fù)連通域上的由復(fù)連通域上的Cauchy 積分公式：積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 記為記為I1記為記為I2，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1002 zzzk ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 n

39、nnnknnzzczzdzfiI 的的推推導(dǎo)導(dǎo)得得：重重復(fù)復(fù) 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐項(xiàng)積分得逐項(xiàng)積分得并沿并沿兩邊乘以兩邊乘以kif 式式(*1),(*2)中系數(shù)中系數(shù)cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進(jìn)上進(jìn)行的，在行的，在D內(nèi)取繞內(nèi)取繞z0的簡(jiǎn)單閉曲線的簡(jiǎn)單閉曲線c，由復(fù)合閉路，由復(fù)合閉路定理可將定理可將

40、cn寫成統(tǒng)一式子：寫成統(tǒng)一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0證畢！證畢！A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內(nèi)不是處處內(nèi)不是處處在在相同相同形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式系數(shù)系數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)f (z)在奇在奇點(diǎn)點(diǎn) z0z0的鄰域內(nèi)解析，需要把的鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)f (z)展成級(jí)展成級(jí)數(shù)，那么數(shù)，那么 就利用羅朗（就利用羅朗（ Laurent Laurent ）級(jí)數(shù)來展開。）級(jí)數(shù)來展開。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和

41、負(fù)整次冪部分分別稱為級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為羅朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。羅朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。4. 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f (z)的羅朗級(jí)數(shù)。的羅朗級(jí)數(shù)。事實(shí)上，事實(shí)上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內(nèi)內(nèi)解解析析，在在設(shè)設(shè) nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條繞繞為為設(shè)設(shè)0的的正正向向積積分分得得

42、：并并沿沿為為任任一一整整數(shù)數(shù)將將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)就就是是展展開開成成級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 二、函數(shù)的羅朗展開式求法常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)利用定理公式計(jì)算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf

43、缺點(diǎn)缺點(diǎn): 計(jì)算往往很麻煩計(jì)算往往很麻煩.根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) : 簡(jiǎn)捷簡(jiǎn)捷 , 快速快速 .2. 間接展開法間接展開法三、典型例題三、典型例題例例1 1, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展展開開成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)將將zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzC , 3 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n0 nc, 2在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析zez故由柯西

44、故由柯西古薩基本定理知古薩基本定理知:, 2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n由高階導(dǎo)數(shù)公式知由高階導(dǎo)數(shù)公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 Cnneic另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn)既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),. 2的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)也也是是函函數(shù)數(shù)zez例例1解解sin0zzz 求求在在 展展開開成成羅羅朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!

45、31!5!314253zzzzzz三、典型例題三、典型例題.03級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展開開成成在在將將Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解練習(xí)練習(xí)解解.01級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展成成在在將將Laurentzez nttntte!1! 2112在在復(fù)復(fù)平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z33211112!3!4!nzzznzz 例例4.7級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。的的內(nèi)內(nèi)展展開開成成（在在以以下下圓圓環(huán)環(huán)域域?qū)aurentzziiiziizizzzf02)(;21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo1

46、2 ziii 2)(xyo1210) zi（解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz1222)( zzziiizzzzzzzf211111112111)( 2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz注意首項(xiàng)注意首項(xiàng)(1)對(duì)對(duì)于于

47、無無理理函函數(shù)數(shù)及及其其他他初初等等函函數(shù)數(shù)的的羅羅朗朗展展開開式式，可可以以利利用用已已知知基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒展展開開式式，經(jīng)經(jīng)過過代代換換、逐逐次次求求導(dǎo)導(dǎo)、逐逐次次積積分分等等計(jì)計(jì)算算來來獲獲得得。(2)(2)對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理 函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。形式。小結(jié)：把小結(jié)：把f (z)f (z)展成羅朗展成羅朗( Laurent )( Laurent )級(jí)數(shù)的方級(jí)數(shù)的方法：法：級(jí)級(jí)

48、數(shù)數(shù)。域域內(nèi)內(nèi)展展開開成成的的去去心心鄰鄰在在以以點(diǎn)點(diǎn)將將Laurentzzzzzf2, 1)2)(1(1)( 解解 (1) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域例例4.8yxo12) 1(11112111)( zzzzzf 20)1()1(111)1(11zzzzznn110 z (2) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域120 zxo12) 2(11212111)( zzzzzf 20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn內(nèi)內(nèi)展展開開成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)域域?qū)?10)2(, 1)1(11)(zzezzfz練習(xí)：練習(xí)：函數(shù)可以在以函數(shù)可以在以z0為中心的為中心的(由奇點(diǎn)

49、隔開的由奇點(diǎn)隔開的)不同圓環(huán)域不同圓環(huán)域內(nèi)解析內(nèi)解析, 因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開式開式(包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例). 我們不要把這種我們不要把這種情形與羅朗展開式的唯一性相混淆情形與羅朗展開式的唯一性相混淆. 所謂羅朗展開式所謂羅朗展開式的唯一性的唯一性, 是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開式是唯一的展開式是唯一的. A (1)(1)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把在圓域內(nèi)需要把 f (z) f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)(Tayl

50、or)級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)f (z)展成羅朗展成羅朗( Laurent )( Laurent )級(jí)級(jí)數(shù)。數(shù)。(2) Laurent級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)與Taylor 級(jí)數(shù)的不同點(diǎn)：級(jí)數(shù)的不同點(diǎn)： Taylor級(jí)數(shù)先展開求級(jí)數(shù)先展開求R, 找出收斂域。找出收斂域。 Laurent級(jí)數(shù)先求級(jí)數(shù)先求 f(z) 的奇點(diǎn)，然后以的奇點(diǎn)，然后以 z0 為中心，奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出為中心，奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無窮到無窮遠(yuǎn)遠(yuǎn) 點(diǎn)的所有使點(diǎn)的所有使 f(z) 解析的環(huán)，在環(huán)域上展成解析的環(huán)，在環(huán)域上展成 級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。作業(yè) P103 17，18& 1. 定義定義& 2. 分類

51、分類& 3. 性質(zhì)性質(zhì)& 4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系4.5 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 1. 定義定義例如例如zezf1)( -z=0為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇都是它的奇點(diǎn)點(diǎn)11)( zzf-z=1為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)定義定義4.40000( )0( ),( ).zf zzzzf zzf z 若若是是函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)，而而且且存存在在 的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域，在在其其中中處處處處解解析析 則則稱稱為為的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)xyo這說明奇點(diǎn)未這說明奇點(diǎn)未必是孤立的。必是孤立的。的的奇奇點(diǎn)

52、點(diǎn)存存在在，總總有有鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不論論多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn 的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。不是不是故故zz1sin10 2.孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類以下將以下將f (z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，根在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類?？疾欤簱?jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類?？疾欤?)!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特點(diǎn)：特點(diǎn)：沒有負(fù)冪項(xiàng)沒有負(fù)冪項(xiàng) ! 211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特點(diǎn)：特點(diǎn)：只有有限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)只有有限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng) nznzzez!1

53、!211)3(211特點(diǎn)：特點(diǎn)：有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)根據(jù)根據(jù))(zf在其孤立奇點(diǎn)在其孤立奇點(diǎn)0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)的情況分為三類內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:1可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)1可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn); 2極點(diǎn)極點(diǎn); 3本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn).如果羅朗級(jí)數(shù)中不含如果羅朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 0zz 0z)(zf那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn) 稱為稱為 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).1) 定義定義其和函數(shù)其和函數(shù))(zF為在為在0z解析的函數(shù)解析的函數(shù).000( ),( ),f zzzF zczz 說明說明: (1): (1),)(0的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若是是zfz.)()(

54、)(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz ,)(00czf (2) 無論無論在在是否有定義是否有定義, )(zf0z補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義則函數(shù)則函數(shù)在在0z解析解析.)(zf如果補(bǔ)充定義如果補(bǔ)充定義:0 z時(shí)時(shí), 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例 42! 51! 311sinzzzz中不含負(fù)冪項(xiàng)中不含負(fù)冪項(xiàng),0 z是是zzsin的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn) . 2) 可去奇點(diǎn)的判定可去奇點(diǎn)的判定(1) 由定義判斷由定義判斷:的洛朗級(jí)數(shù)無負(fù)的洛朗級(jí)數(shù)無負(fù)0z)(zf在在假如假如冪項(xiàng)冪項(xiàng),那么那么0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).(2) 判斷

55、極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值,那么那么0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).例例 說明說明0 z為為zez1 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).zez1 無負(fù)冪項(xiàng)無負(fù)冪項(xiàng)另解另解 zzzzeze00lim1lim 因?yàn)橐驗(yàn)? z所以所以的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 2. 極點(diǎn)極點(diǎn) 如果在羅朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)如果在羅朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 且其中關(guān)于且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為的最高冪為 (

56、z-z0)-m, 即即f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點(diǎn)則孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (z)的的m級(jí)極級(jí)極點(diǎn)點(diǎn). 上式也可寫成上式也可寫成01( )( )()mf zg zzz ， （ ） 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 內(nèi)是解析的函數(shù), 且 g (z0) 0 . 反過來, 當(dāng)任何一個(gè)函數(shù) f (z) 能表示為(*)的形式, 且g (z0) 0 時(shí), 則z0是 f (z)的m級(jí)極點(diǎn).如果如果z

57、0為為 f (z)的極點(diǎn)的極點(diǎn), 由由(*)式式, 就有就有0lim( ).zzf z 232,( ),(1)(1)1,.zf zzzzzi 例例如如 對(duì)對(duì)有有理理分分式式函函數(shù)數(shù)是是它它的的三三級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是它它的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)1 z z3 3e e問問題題： z=0z=0是是的的幾幾級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)？z z級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0定理定理4.13:.)(10級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)的的是是mzfz這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法.例例例例考慮考慮01( )()nzzf zne 求求的的極極點(diǎn)點(diǎn)。例例 211( )1/ 2!

58、/!1112!nmnmzf zzzzmzzzm 21(0)zzkiek 為為的的一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)2( )(0).zkif zk 為為的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)01( )()nzzf zne 求求的的極極點(diǎn)點(diǎn)。01zn為為級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn). .3. 本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn) 如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多z-z0的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)則孤立奇點(diǎn)z0稱為稱為 f (z)的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).1112( )0.1112!znzf zezezzzn 例例如如以以為為它它的的本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn) 因因?yàn)闉橛杏袩o無窮窮多多負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)。0( )zf z為為的的本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)0lim( )().zzf z 不不存存在在 也也不不為為0limz 1 1z z例例如如e e 不不存存在在且且不不為為 . .注注奇奇點(diǎn)點(diǎn)孤立孤立 奇點(diǎn)奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)非孤