高數(shù)D一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件

1、二、典型例題分析與解答二、典型例題分析與解答 第四、五、六章機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 一元函數(shù)積分學(xué)(40)一、知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)一、知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 一、知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)一、知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)(一一)不定積分不定積分( )( ),F xf x假設(shè)1.原函數(shù)與不定積分的定義:xI 有則稱F(x)為f (x)在區(qū)間 I 上的一個(gè)原設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有定義,( )( ),dF xf x dx或 函數(shù).( )( )f x dxF xc.( )( )kf x dxkf x dx.稱為 f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分, 記為f (x)在區(qū)間I 上的全體原函數(shù)

2、 F (x) + c ,2. 不定積分的性質(zhì): ( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx.(1)(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (1). 4.基本積分公式(2)(互逆運(yùn)算)(1)3.不定積分與微分的關(guān)系( )df x dxkdxkxc.( )F x dx( )f x dx. ( )d F xc( )F x dx( )f x dx( )F xc.(2).11(1)1x dxxc. 2, 21dxc.xx 1,2 2dxxc.x(3).lndx|x| c.x(4).xxe dxec.(5).lnxxaa dxc.a(6).sincosxdxxc. (7).cos

3、sinxdxxc.(8).tanln cosxdx|x| c. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 cotln sinxdx|x| c.(9).(10).secln sectanxdx|xx| c.(11).cscln csccotxdx|xx| c.(12).sec tansecxxdxxc.(13).csc cotcscxxdxxc. (14).2arctan1+dxxc.x(15).221arctan+dxxc.axaa(16).2arcsin1dxxc.x(17).22arcsindxxc.aax22sectancosdxxdxxc.x22csccotsindxxdxxc.x (18)

4、.(19).(20).(21).(22).2222ln|dx|xxac.xa2222ln|dx|xxac.xa221ln |2dxxa| c.xaaxa5.基本積分法:(1).直接積分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (2)換元積分法第一類換元積分法(湊微分法) ( ) ( )fx x dx常用湊微分公式: ( ) ( )fx dx( )xu( )f u du( )F uc( )ux ( )Fxc1();dxd axba2211() =(+ );22xdxd xd axba(ln );dxdxx();xxe dxd ecos d(sin );x x= dxsin d(cos );x x=d

5、x22sec(tan );cosdxxdxdxx22csc(cot );sin dxxdxdxx第二類換元積分法(變量代換法)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 21( );dxdxx 2 ()dxdxx( )f x dx( )xt ( )( )ft t dt( )F tc1( )tx1( )Fxc()fax+b dx;axbt令22()faxdxsin ;x= at令22()fxadxtan ;x= at令22()fxadxsec ;x= at令(正弦代換)(正切代換)(正割代換)(根式代換)三角代換令那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 萬(wàn)能代換:積分步驟:tan,2xt湊微分選 u ,

6、 v ;(3) 分部積分法(sin ,cos )Rxx dx= 2arctan ,xt22=,1+dxdtt22sin =,1+txt221cos =,1+txtudvuvvdu代公式;算微分 ; 求積分.lnx xdx2ln()2xxduv22ln(ln )22xxxdx22ln22xxdxxx2ln22xxxdx22ln24xxxc例例1.1.則有2222212(sin ,cos )(,)111ttRxx dxRdtttt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (4) 有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR有理函數(shù): mmmbxbxb110nnnaxaxa110)(xRnm時(shí),為真分式;nm時(shí)

7、,)(xR為假分式 .利用多項(xiàng)式綜合除法, 總可以將一個(gè)假分式化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分 式之和的形式 . 例如:32223256xxxxx32232xxx256xxx3256xxx _2732xx7273542xx _3240 x 23240756xxxx 任何有理真分式通過(guò)部分分式均可化為下列四種類型:(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 240pq.;()nAxalnAdxA|xa| c.xa2+;AxBxpxq;Axa其中有理真分式的積分(1)2()nAxB.xpxq1()(1)()1nnAAdxxacn.xan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (3)(不作要求)22222lnar

8、ctan244AppBxA|xpxq|c.ppqq(4)2AxBdxxpxq2222()()22()24Ad xpxqApdx=Bppxpxqxq2()nAxBdxxpxq注注:但計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜,解題時(shí)應(yīng)盡量尋求更為簡(jiǎn)便的方法, 如湊微分法倒代換法等,2(2)22AApxpBdxxpxq有理函數(shù)雖然一定可積,避免使命一般方法.例例2. 將下列真分式分解為部分分式將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x1

9、1xx1) 1( xx) 1( xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (2) 用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB3(3)(2)xA xB x2,x 6.B 故235562xxxx36x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 去分母,得恒等式令得再令得3,x 5;A (3) 用比較系數(shù)法去分母,得恒等式3(3)(2)xA xB x3()(32 )xAB xAB或比較恒等式兩邊 x 同次冪的系數(shù)得(4) 綜合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx21(1)()(12 )AxBxCx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 0,x 41,5C02 ,AB2.5B 1.5C 原式

10、 =x214512112xx去分母,得恒等式令1,2x 4.5A 得1AB(32 )3AB5,6.AB 得再令得比較項(xiàng)的系數(shù), 得2x1.定積分的定義:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (二二) 定積分定積分01( )lim( )nbiiaif x dxfx (七條性質(zhì)二條推論)2.定積分的幾何意義:3.定積分的性質(zhì):曲邊梯形面積的代數(shù)和.(1)( )( )bbaak f x dx= kf x dx. ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dx=f x dxg x dx.,acb若 (2)(3)( )( )( )bcbaacf x dx=f x dx+f x dx.則有(4)(

11、)1, , f xxa b若 則有badx=ba.(5)( )0, , f xxa b若 則有( )0baf x dx.推論1.那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (6) (定積分估值定理)假設(shè) M 和 m 分別是 f (x) 在a ,b上的最大值和最小值,則有 (7).(定積分中值定理)若f (x) 是a ,b上的連續(xù)函數(shù),則在a ,b上至少存在一點(diǎn) ,( )( )()baf x dx= fba()( )()bam baf x dxM ba .使等式( )( ), , f xg x xa b若 ( )( )bbaaf x dxg x dx.推論2.( )( )|,()bbaa|f x d

12、x| f xdx ab .成立.補(bǔ)充規(guī)定:(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ( )( )baabf x dxf x dx. ( )( )bbaaf x dxf t dt4. 定積分計(jì)算法(1)牛頓-萊布尼茲公式(2) 當(dāng)a = b 時(shí),( )baf x dx(2) 定積分換元積分法( )0aaf x dx.( )( )( )( )bbaaf x dxF x |F bF a .=( ) , =( )xtdxt dt(3)xa,t.xb,t ( )( )ft t dt (3).定積分分部積分法定積分分部積分法bbbaaaudvuv|vdu.5.重要公式(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完

13、畢 ( )( ).xadf t dtf xdx( )( )bxdf t dtf x .dx ( )( ) ( )( )xadf t dtfx xdx( )0aaf x dx.(2)2200sincosnnxdxxdx134 2125 3nnnn若f (x)為a ,a上的奇函數(shù),那么若f (x)為a ,a上的偶函數(shù),那么0( )2( )aaaf x dxf x dx.(3)133 124 2 2nnnnn為奇數(shù)n為偶數(shù)200sin2sinnnxdxxdx注意注意:余弦函數(shù)無(wú)此性質(zhì)余弦函數(shù)無(wú)此性質(zhì)!(4) 若f (x)是周期為T的周期函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 a為任意實(shí)數(shù),( (三

14、三) ) 廣義廣義( (反常反常) )積分積分1.無(wú)窮區(qū)間的廣義積分則有:0( )( )a TTaf x dxf x dx.( )lim( )taatf x dxf x dx.( )lim( )bbttf x dxf x dx.( )( )( )ccf x dxf x dxf x dx.2.無(wú)界函數(shù)的廣義積分(略)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2.定積分在幾何上的應(yīng)用:(1). 平面圖形的面積=1=niiUU 直角坐標(biāo)1.定積分微元法若整體量U在區(qū)間a ,b上具有可加性,即有而局部量 U du = f (x) dx 那么=( )bbaaUdu=f x dx.= ( )( )bbaaAdA

15、f xg x dxxyoxx+dx( )y= f x( )y= g xdAab(四四)定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 ( )( )ddccAdAyy dy.xyocdyydy( )xy( )xydA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 起點(diǎn)x = a 對(duì)應(yīng)參數(shù) t = 按順時(shí)針?lè)较驔Q定起點(diǎn)與終點(diǎn).( )xt( )yt終點(diǎn)x = b 對(duì)應(yīng)參數(shù) t = xyoabbbaaAdAydx( )( )t t dt參數(shù)方程(2)旋轉(zhuǎn)體的體積y( )yf xaobxxxdxyxyocd( )xyyydyx2bbaaVdvy dx2( )bafx dx2ddccVdvx dy2( )bay dy令知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

16、下頁(yè) 返回 完畢 二、典型例題分析與解答二、典型例題分析與解答()xxf exe,且 f (1) = 0 ,xet那么 f (x) = _.解解:() =xxf exe得ln ,xtln( ) =.tf tt那么代入ln( ) =tf tdtt=ln(ln )tdt21=ln2tc.由 f (1) = 0 ,得c = 0 .故21( ) =ln2f xx.21ln2x.21ln2x應(yīng)填注釋注釋:的理解和分部積分法.解決此類問(wèn)題的方法是先作變量代換求出()xf e本題考查對(duì)于導(dǎo)函數(shù)( ),f t然后( )f t .積分就可求得例例3.例例4. 4. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 1xxxe

17、dx.e 解法解法1: 被積函數(shù)是兩類函數(shù)相乘, 1xet 應(yīng)使用分部積分法. 原式= 計(jì)算不定積分 2(1)xxde 2121xxx eedx 2221tdt+t原式=1xedx又22(1) 121tdt+t2(arctan )ttc2(1arctan1)xxeec. 214(1arctan1)xxxx eeec. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 解法解法2:那么令本題考查不定積分的換元積分法與分部積分法.注釋注釋:1,xet 2ln(1),xt221tdtdx.t222(1)ln(1)21tttdttt22 ln(1)t dt222 ln(1)ln(1)tttdt22222 ln(1)

18、1tttdt+t222(1) 12 ln(1)21+tttdt+t22 ln(1)22arctan +ttttc2141+4arctan1+xxxx eeec. 1xte1xxxedxe 21,xet 解法解法1:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 2arctanxxedx.e求不定積分2arctanxxedxe21arctan()2xxe d e 221arctan(arctan)2xxxxeeede 2221arctan2(1)xxxxxdeeeee 222221(1)arctan2(1)xxxxxxxeeeedeee 2221arctan+2()1 ()xxxxxxdedeee

19、e+ e 21arctanarctan+2xxxxeeeec. 解法解法2:,xet令那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2arctanxxedxe注釋注釋: 本題考查不定積分的分部積分法和換元積分法.ln ,dtxt dx.t3arctantdtt211arctant ()2dt 221 11arctan(arctant)2tdtt 2221 11arctan2(1)tdtttt 222221 1(1+)arctan2(1)tttdtttt 21 11arctanarctan + .2ttctt =xte21arctanarctan+ .2xxxxeeeec例例6. 求不定積分原式=si

20、n22sindx.xxcosx=u機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 解法解法1: 2sin (cos1)dxxx21sin2(1 cos)(cos1)xdxxx212(1)(1)duuu21(1)(1)4(1)(1)uu duuu 22114(1)4 1duduuu 114(1)4(1)(1)duuuu1111()4(1)8(1)1duuuu111ln4(1)81u| cuu111cosln4(cos1)81 cosx| c.xx解法解法2: 由半角公式得sin22sindxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2sin (1 cos )dxxx24sincos2cos222dxxxx2(

21、 )24sincoscos222xdxxx2(tan)124tancos22xdxx2(tan+1) (tan)1224tan2xxdx211tanln| tan8242xx| c解法解法3:用萬(wàn)能代換,tan,2xt令那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2222212sin,cos =,111ttxxdx=dt.t+ttsin22sindxxx22221221212211+12dttttt+ttt21 14tdtt211ln48|t|tc211ln tantan4282xx|c注釋注釋: 本題考查三角函數(shù)有理式的不定積分.例例7. 求定積分解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 101

22、ln(1)2x dx(原式=120ln(1)(2)+xdx.x注釋注釋: 本題考查定積分的分部積分法.110011ln(1)ln(1)22x |dxxx10ln2(2)(1)dxxx10111ln2()321dxxx1011ln2ln32x|x1ln23.例例8. 填空題填空題12311xe dx_.x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 注釋注釋:應(yīng)填解解:1212e .12111( )xe dxx 12311xe dxx1211()xd ex 11221111( )xxe |e dxx 11211()|xxeex 1211(1)|xex1212e .1212e本題考查定積分的分部積分法.12

23、2111xe dxx x例例9. 設(shè) 201( )0 xxxf xxe解解:求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 31(2)f xdx.01210(1)ttdte dt令那么2,xt原式=,dxdt且 x = 1時(shí), t = 1,11( )f t dt301101()|3tt+te |= 注釋: 本題考查定積分的換元積分法. x = 3時(shí), t = 1.713.e=例例10. 填空題填空題注釋注釋:解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 1 2lnedx_.xx本題考查廣義積分的計(jì)算.應(yīng)填 1.2lnedxxx2(ln )lnedxx1lne|x 1lne|x1.例例11.11.選擇題選擇題

24、解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 設(shè)則當(dāng)x0 時(shí),因?yàn)橐虼藨?yīng)選(B).sin2340( )sin,( ) =,xf xt dtg xxx(A) 等價(jià)無(wú)窮小;(B) 同階但非等價(jià)無(wú)窮小;(C) 高階無(wú)窮小;(D) 低階無(wú)窮小.sin203400sin( )limlim( )xxxt dtf xg xxx2230sin(sin)coslim34xxxxx2230lim34xxxx13=.B注釋注釋:本題考查變上限積分的求導(dǎo)及無(wú)窮小的比較. f (x) 是 g (x)的( ).故當(dāng)x0時(shí), f (x)是g (x)的同階但非等價(jià)的無(wú)窮小.例例12.解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 42

25、22sincos,1xMxdxx設(shè)3422(sincos),Nxx dx23422(sincos),Pxxx dx則有( ).所以有 P M N .分析分析:題中三個(gè)積分的積分區(qū)間都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因而(A) N P M ;(B) M P N ;(C) N M P ;(D) P M N .首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性.由被積函數(shù)的奇偶性可知: M = 0 .3422(sincos)Nxx dx4202cos xdx0.23422(sincos)Pxxx dx4202cos xdx 0.選項(xiàng)(D)正確.D令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例13.( ) 0 ,2( )(),Sf b ba31=

26、 ( )+( )(),2Sf af bba( )0,f x 213( );BSSS312( );CSSS231().DSSS易知曲線 f (x) 在 x 軸上方, 單調(diào)下降且為凹弧,并依題意畫示意圖.xoyABCDE2S3S1S1S2S3S表示曲邊梯形ABCD的面積,表示矩形ABCE的表示梯形ABCD的面積,顯然有213,SSS故選項(xiàng)(B)正確.B面積,例例14. 在點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (1)求D的面積A ;解解: :過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y =lnx 的切線,(2) 求D繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.依題意畫圖如下.所求圖形面積為(1)設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為該切線與曲線y =lnx 及x軸圍成平面圖形D.則曲線lnx的切線方程為xDoy= lnyx0 x0,x00(,ln)xx0001ln().yxxxx由于該切線過(guò)原點(diǎn),所以有0ln1.x 0.xe即有該切線方程為1.yxe10()yS =eey dy210()2ye= ey|12e=.1yxe1e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 體積微元為圖中陰影部分窄條繞直線x = e旋轉(zhuǎn)所得(2) 用微元法.旋轉(zhuǎn)體體積為22()() ydVeey