高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限課件

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限1第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、概念的引入一、概念的引入二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限2單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察1. .【割圓術(shù)割圓術(shù)】觀察完畢觀察完畢“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽【引例引例

2、】一、概念的引入機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限3R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限42. .【截丈問(wèn)題截丈問(wèn)題】“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”公元前公元前300300年左右，中國(guó)年左右，中國(guó)古代思想家墨子語(yǔ)：古代思想家墨子語(yǔ)：;21 1 X第第一一天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)為為;2121 22 X為為第第二二天天截截下下的的杖杖

3、長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和為為第第nnX211 1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限5二、數(shù)列的定義【例如例如】;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限6【注意注意】1. .數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列. .可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2. .數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1(

4、, 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限7單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限觀察結(jié)束觀察結(jié)束機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限8【問(wèn)題問(wèn)題1】當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), , 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值? ?如果是如果是, ,如何確定如何確定? ?nxn. 1)1(1,

5、1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 【問(wèn)題問(wèn)題2】 “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么? ?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它，刻劃它，描述它描述它。通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察: :無(wú)限接近無(wú)限接近可任意接近可任意接近“絕對(duì)值任意小”“絕對(duì)值任意小”.1可任意小可任意小即即 nx【直觀定義直觀定義】當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近于一個(gè)確無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)定的常數(shù)a，稱，稱a是數(shù)列是數(shù)列xn的的極限極限.“距離任意距離任意 小小”機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限9,1001給

6、定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn. 1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限10【發(fā)散發(fā)散】如果數(shù)列沒(méi)有極限如果數(shù)列沒(méi)有極限, ,就說(shuō)數(shù)列是就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散發(fā)散的的. .【說(shuō)明說(shuō)明】發(fā)散有發(fā)散有 不存在不存在；-；+；。1. .【精確定義精確定義】設(shè)設(shè)xn為一數(shù)列為一數(shù)列,

7、, 若存在常數(shù)若存在常數(shù)a , , 對(duì)任給定的正數(shù)對(duì)任給定的正數(shù)( (不論它多么小不論它多么小),), 總存在正數(shù)總存在正數(shù)N , , 使得當(dāng)使得當(dāng)n N 時(shí)，時(shí)，不等式不等式 | xn -a |N時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)落在時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)落在(a-,a+)內(nèi)內(nèi)”是是等價(jià)解釋等價(jià)解釋，正確嗎？，正確嗎？)（不不正正確確有的點(diǎn)有的點(diǎn)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)并不包括所無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)并不包括所機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限13數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法. .【例例1】. 1)1(lim1 nnnn證證明明【證證】1 nx1)1

8、(1 nnnn1 , 0 任任給給,1 nx要要,1 n只只要要,1 n或或所以所以, ,1 N取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即【注意注意】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限14【例例2】【證證】【練習(xí)練習(xí)】證明常數(shù)列的極限等于它本身證明常數(shù)列的極限等于它本身. .（公式公式）, 0成成立立 nx,0 任任給給所以所以, ,axn 0)1()1(2 nn2)1(1 n11 n,0 nx欲欲使使,1 n只要只要即可，即可，即即 1 n,1 N現(xiàn)取現(xiàn)取 時(shí)時(shí)，有有則則當(dāng)當(dāng)Nn 0)1()1(l

9、im 2 nnn證明：證明：n1 0)1()1(lim 2 nnn機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限15【例例3】. 1, 0lim qqnn其其中中證證明明【證證】, 01 任任給給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 【小結(jié)小結(jié)】 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí), ,關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N, ,但不必要求最小的但不必要求最小的N. ., 0 公式公式機(jī)動(dòng)機(jī)

10、動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限16【補(bǔ)例補(bǔ)例4】.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設(shè)設(shè)【證證】, 01 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 放大不等式放大不等式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限17【注意注意】(1) lim 關(guān)關(guān)系系如如下下的的邏邏輯輯與與的的過(guò)過(guò)程程中中，在在證證明明 naxnn axnNn 即即 ，通過(guò)，通過(guò)0 不等式的放大等措施求出正整

11、數(shù)不等式的放大等措施求出正整數(shù)N，再定出，再定出n的的范圍，從而保證范圍，從而保證 成立成立. . axn( (2) ) N與與是相對(duì)應(yīng)的，但是相對(duì)應(yīng)的，但N不是唯一的不是唯一的; ;N有無(wú)有無(wú)窮多個(gè)，則窮多個(gè)，則“n N”允許為允許為“nN”. .( (3) )同理，因同理，因任意，則任意，則2， 等也任意，則等也任意，則2 axn允許為允許為 22 等等或或 axaxnn機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限18四、數(shù)列極限的性質(zhì)1. .唯一性唯一性【定理定理1】每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .【證證】,lim,

12、limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)使使得得.,21NN 注意以下證明都是已知極限存在時(shí)，利用注意以下證明都是已知極限存在時(shí)，利用的的給定性來(lái)論證的給定性來(lái)論證的用反證法用反證法. ba 不不妨妨設(shè)設(shè),2ba 對(duì)對(duì),21baaxNnn 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng);232baxban 即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限19【例例5】 .)1( 1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx【證證】,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, ,21 對(duì)于對(duì)于,21,成成立立有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度

13、為區(qū)間長(zhǎng)度為1.1.,1, 1 兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)無(wú)休止地反復(fù)取無(wú)休止地反復(fù)取而而 nx,22babxNnn 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng).223baxabn 即即 ,max21NNN 取取時(shí)有時(shí)有則當(dāng)則當(dāng)Nn 同同時(shí)時(shí)成成立立，與與22baxbaxnn 矛盾矛盾 【證完證完】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限202. .有界性有界性(1)【定義】【定義】 對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列nx, , 若存在正數(shù)若存在正數(shù) M, , 使得一使得一切自然數(shù)切自然數(shù) n, , 恒有恒有Mxn 成立成立, , 則稱數(shù)列則稱數(shù)列 nx有有界界, , 否則否則, , 稱為無(wú)界稱為無(wú)界.

14、. 【例如例如】;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列【幾幾何何表表現(xiàn)現(xiàn)】 數(shù)數(shù)軸軸上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn) nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上. . 有界有界無(wú)界無(wú)界不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi). ., ,但但卻卻發(fā)發(fā)散散是是有有界界的的事事實(shí)實(shí)上上nx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限21(2)【定理定理2】收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .【證證】,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, , 1 取取, 1, axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 axan即有即

15、有,1,1,max1 aaxxMN記記, Mxnn 皆皆有有則則對(duì)對(duì)一一切切自自然然數(shù)數(shù) .有界有界故故nx【注意注意】逆否命題必成立：逆否命題必成立：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .逆命題不成立；逆命題不成立；有界列不一定收斂有界列不一定收斂. .數(shù)列有界是收斂的數(shù)列有界是收斂的必要條件必要條件. .nnx)1( 如如機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限223. .保號(hào)性保號(hào)性【定理定理3 】 )0 ( 0 , lim aaaxnn或或且且如果如果0 N則存在正整數(shù)則存在正整數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Nn )0 ( 0 nnxx或或都都有有【證明

16、證明】 0 的的情情形形僅僅證證 a由數(shù)列極限定義，由數(shù)列極限定義，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)NnNa , 0, 02 有有2aaxn 從而從而022 aaaxn【證完證完】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限23【推論推論】)0(0 nnnxxx或或從從某某項(xiàng)項(xiàng)起起有有如如果果數(shù)數(shù)列列, lim axnn 且且)0(0 aa或或則則【證明證明】的的情情形形僅僅證證 0 nx0 N 1 nxn時(shí)時(shí)，設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)以下用反證法以下用反證法0lim axnn若若由定理由定理3知知時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22 , 0 NnN 0 nx有有 21,max NNN 取取時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Nn

17、00同同時(shí)時(shí)成成立立，矛矛盾盾與與 nnxx【證完證完】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限244. .【子數(shù)列的收斂性子數(shù)列的收斂性】（收斂列與其子列的關(guān)系收斂列與其子列的關(guān)系） 的的子子數(shù)數(shù)列列（或或子子列列）的的一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列稱稱為為原原數(shù)數(shù)列列到到中中的的先先后后次次序序，這這樣樣得得這這些些項(xiàng)項(xiàng)在在原原數(shù)數(shù)列列保保持持中中任任意意抽抽取取無(wú)無(wú)限限多多項(xiàng)項(xiàng)并并在在數(shù)數(shù)列列nnnxxx ,21nixxxx,21knnnxxx . 項(xiàng)項(xiàng)中中卻卻是是第第在在原原數(shù)數(shù)列列而而項(xiàng)項(xiàng)，是是第第中中，一一般般項(xiàng)項(xiàng)在在子子數(shù)數(shù)列列knnnnnxx

18、kxxkkk【注意注意】例如例如lknnlk 若若knk 顯顯然然（1）【定義定義】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限25（2）【定理定理4】收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂 且極限相同且極限相同【證證】 的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn 已已知知)( kaxkn欲欲證證【分析分析】 欲證欲證0 0 K尋尋找找時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Kk axkn 有有機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限26., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使,

19、NK 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Kk .NnnnNKk . axkn.limaxknk 【證畢證畢】可可知知由由 ,limaxnn （尋找到（尋找到K）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限27【注意注意】a . .常用此關(guān)系判斷一個(gè)數(shù)列常用此關(guān)系判斷一個(gè)數(shù)列極限不存在極限不存在方法方法：若數(shù)列有兩個(gè)子列收斂于不同的極限，：若數(shù)列有兩個(gè)子列收斂于不同的極限，則原數(shù)列發(fā)散則原數(shù)列發(fā)散. . 如數(shù)列如數(shù)列方法方法：若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散：若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散, ,則原數(shù)列發(fā)散則原數(shù)列發(fā)散. . 如如b. .上例說(shuō)明了發(fā)散數(shù)列也上例說(shuō)明了發(fā)散數(shù)列也可能可能有

20、收斂的子列有收斂的子列. ., 1, 1 , 1, 1 )( 112 kxk)( 12 kxk發(fā)散發(fā)散 nx, 0 , 4 , 0 , 3 , 0 , 2 , 0 , 1)( 12 kxk發(fā)散發(fā)散 nx,0 ,0 ,0機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列的極限28五、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律; ;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義; ;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性收斂性. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊(cè)第一章第二節(jié)數(shù)列