【KS5U解析】江蘇省蘇州市2020屆高三上學期期初調研數(shù)學試題 Word版含解析

1、20192020學年第一學期高三期初調研試卷數(shù)學i一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上.1.已知集合，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)并集的運算即可求解.【詳解】集合，由并集的運算可得，故答案為：.【點睛】本題考查了并集的簡單運算，屬于基礎題.2.如果復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則等于_.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，結合復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，即可求得的值.【詳解】復數(shù)，由復數(shù)除法運算化簡可得，因為復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，即，解得，故答案為：1.【點睛】本題考查了復數(shù)的概念，復數(shù)的除法運算，屬

2、于基礎題.3.下表是某同學五次數(shù)學附加題測試的得分情況，則這五次測試得分的方差為_.次數(shù)12345得分3330272931【答案】4【解析】【分析】根據(jù)表格可計算得五次測試得分的均值，由方差公式即可求得五次測試成績的方差.【詳解】由表格可知，五次測試得分的均值為，由方差公式可得，故這五次測試成績的方差為4.故答案為：4.【點睛】本題考查了平均數(shù)與方差的求法，屬于基礎題.4.已知4瓶飲料中有且僅有2瓶是果汁飲料，從這4瓶飲料中隨機取2瓶，則所取兩瓶中至少有一瓶是果汁飲料的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求出從4瓶飲料中隨機抽出2瓶的所有的抽法種數(shù)，再求出取出的2瓶不是果汁類飲料的種數(shù)，利用對

3、立事件的概率即可求得.【詳解】從4瓶飲料中隨機抽出2瓶，所有的抽法種數(shù)為 6（種），取出的2瓶不是果汁類飲料的種數(shù)為 1（種）所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料的概率為p1 故答案為【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了對立事件的概率，解答的關鍵是掌握對立事件的概率和等于1,屬于基礎題.5.根據(jù)如圖所示的偽代碼，當輸入的分別為2，3時，最后輸出的的值為_.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)程序代碼，即可求得輸出值.【詳解】由程序框圖可知，當輸入的分別為2，3時，所以輸出的，故答案為：2.【點睛】本題考查了偽代碼的簡單應用，屬于基礎題.6.在平面直角坐標系中，已知雙曲線()的兩條漸近線

4、的方程為，則該雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】由雙曲線的兩條漸近線方程是y±2x，得b2a，從而，即可求出雙曲線的離心率【詳解】雙曲線()的兩條漸近線方程是y±2x，即b2a，故答案為【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題7.如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，若四邊形aa1c1c是邊長為4的正方形，且ab3，bc5，m是aa1的中點，則三棱錐a1mbc1的體積為_【答案】4【解析】【分析】用等體積法將三棱錐a1mbc1的體積轉化為三棱錐的體積即可.【詳解】在直三棱柱abca1b1c1中，若四邊形aa1c1c是邊長為4的

5、正方形，且ab3，bc5，a1c1aa1，ac2+ab2bc2，a1c1a1b1，aa1a1b1a1，a1c1平面a1mb，m是aa1的中點，3，三棱錐a1mbc1的體積：4故答案為：4【點睛】本題考查等體積法求三棱錐的體積，考查學生轉化與化歸的思想，考查學生基本計算能力，是一個?？键c.8.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為_.【答案】-5【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，結合通項公式及性質即可求得首項和公差，進而代入前n項和公式即可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列前n項和公式可得，則，由等差數(shù)列的通項公式可得，解得，所以，故答案為：-5.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式及前n項和公

6、式的簡單應用，屬于基礎題.9.已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質可知，結合函數(shù)解析式可知當時為周期等于1的周期函數(shù)，所以，代入即可求解.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，所以，當時，即當時為周期等于1的周期函數(shù)，即，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的求值，偶函數(shù)與周期函數(shù)的綜合應用，屬于基礎題.10.已知在中，.若是該三角形內一點，滿足，則_.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律，結合向量的線性運算可得，畫出幾何關系圖示，即可由平面向量數(shù)量積運算律求得.【詳解】因為，則，即，所以，即，所以在的垂直平分線上，由題意可知，.設中點為，如

7、下圖所示：由平面向量的線性運算及數(shù)量積運算律可得,故答案為：4.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算律及幾何中向量的線性運算應用，屬于中檔題.11.已知，則_【答案】1或【解析】由得，即，所以或，當時，當時，故答案為1或.【點睛】在已知的值求關于的函數(shù)值時，有兩類問題可通過把待求式轉化為的式子快速求值：（1）關于的齊次分式：一次齊次式，二次齊次式；（2）可化為二次齊次式的代數(shù)式：12.已知點是圓上任意兩點，且滿足.點是圓上任意一點，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意在坐標系中畫出兩個圓，結合平面向量的線性運算，由點與圓的位置關系即可判斷出取最大值和最小值時的位置，進而求解.【

8、詳解】根據(jù)題意，畫出圖形關系如下圖所：取的中點，由兩個圓的方程可知，則，由平面向量線性運算可知，當四點共線時，取得最小值，此時，當四點共線時，取得最大值，此時，所以，即的取值范圍為，故答案為：.【點睛】本題考查了平面向量與圓的綜合應用，點和圓位置關系的綜合應用，距離最值的求法，屬于中檔題.13.設實數(shù)，若不等式，對任意的實數(shù)恒成立，則滿足條件的實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將不等式變形，轉化為兩個函數(shù)在內的位置關系，再對分類討論，畫出函數(shù)圖像即可分析的取值范圍.【詳解】對于實數(shù)，不等式，對任意的實數(shù)恒成立，則對于任意的實數(shù)恒成立，所以函數(shù)的圖像在時恒在圖像的上方，當時，

9、顯然成立；當時，在第四象限，若函數(shù)的圖像在時恒在圖像的上方，如下圖所示：此時在時恒成立，因而成立；當時，在第一象限；若函數(shù)的圖像在時恒在圖像的上方，如下圖所示：結合圖像可知，需滿足，解不等式可得，綜上所述，滿足條件的實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【點睛】本題考查了含參數(shù)絕對值不等式的解法，不等式與函數(shù)的關系綜合應用，數(shù)形結合法求參數(shù)的取值范圍，屬于難題.14.在中，若，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)中的商數(shù)關系式，結合正弦和角公式化簡， 并由正弦定理將角化為邊，代入余弦定理即可表示出，再由基本不等式即可求得的取值范圍，進而結合同角三角函數(shù)關系式求得的取值范圍，即可求得

10、的最大值.【詳解】在中，則，通分化簡可得，由正弦和角公式可得，所以，由正弦定理代入可得，即，又由余弦定理，代入可得，所以，當且僅當時取等號，則，所以，即，所以，則的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關系式的綜合應用，正弦和角公式化簡三角函數(shù)關系式，正弦定理與余弦定理在解三角形中的應用，基本不等式求最值，綜合性強，屬于難題.二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，點是棱的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）連接

11、，與交于，連接，由中位線定理即可證明平面；（2）根據(jù)題意可證明及，可得平面，再由面面垂直的判定定理可證明平面平面.【詳解】（1）證明：連接，與交于，連接，如下圖所示：則為的中位線，所以，因為平面,平面，所以平面；（2）證明：在中，點是棱的中點.所以，因為平面，而平面，可得又因為平面，且，所以平面，而平面，所以平面平面.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理應用，線面垂直與面面垂直判定定理的應用，屬于基礎題.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）當時，試求函數(shù)的最大值，并寫出取得最大值時自變量的值.【答案】（1）；（2）時，函數(shù)的最大值為.【解析】分析】（1）將函數(shù)解析式變

12、形，結合正弦和角公式及輔助角公式變形，即可由正弦函數(shù)的性質求得最小正周期及單調遞增區(qū)間.（2）根據(jù)自變量的范圍，結合正弦函數(shù)的圖像與性質即可求得最大值，結合正弦函數(shù)的性質即可求得取最大值時自變量的值.【詳解】（1）將函數(shù)的解析式變形，結合正弦和角公式與輔助角公式化簡可得，所以函數(shù)的最小正周期為;由正弦函數(shù)的圖像與性質可知，解得，所以的單調遞增區(qū)間為.（2）因為，則，當時，函數(shù)的最大值為，解得此時.【點睛】本題考查了正弦和角公式及輔助角公式化簡三角函數(shù)式的應用，正弦函數(shù)圖像與性質的綜合應用，屬于基礎題.17.已知橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.(1)求橢圓的方程；(2

13、)若直線交橢圓于兩點，在直線上存在點,使得為等邊三角形,求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】試題分析：（1）求橢圓標準方程，要確定的值，題中已知四個頂點形成的菱形是確定的，而橢圓的頂點為，因此易得；（2）本小題采取解析幾何的基本解法，是等邊三角形的條件是三邊相等，或兩內角為60°，或且，我們采用且，由線段的中垂線與直線相交求得點的坐標，計算，直線與橢圓相交求得點坐標，計算，利用求得值，由于涉及到的垂線因此對按和分類討論試題解析：(1)因為橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點, 所以,橢圓的方程為(2)設,則（i）當直線的斜率為0時，的垂直平分線就是軸，軸與直

14、線的交點為,又，所以是等邊三角形,所以滿足條件；(ii)當直線的斜率存在且不為0時，設的方程為所以，化簡得解得所以又的中垂線為，它的交點記為由解得則因為為等邊三角形， 所以應有代入得到，解得（舍），綜上可知，或考點：橢圓的標準方程，直線與橢圓相交的綜合問題18.某地舉行水上運動會，如圖，岸邊有兩點，小船從點以千米/小時的速度沿方向勻速直線行駛，同一時刻運動員出發(fā)，經(jīng)過小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）（1）若，運動員從處出發(fā)游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，試求運動員游泳速度的最小值；（2）若運動員先從處沿射線方向在岸邊跑步勻速行進小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已

15、知運動員在岸邊跑步速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運動員相遇的條件下的最大值.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）設運動員游泳的速度為千米/小時，結合余弦定理即可表示出，再由二次函數(shù)性質即可求得速度的最小值.（2）根據(jù)余弦定理代入化簡變形，可轉化為一元二次方程，由一元二次方程有解，即可確定，進而求得速度的最大值.【詳解】（1）設運動員游泳的速度為千米/小時，由余弦定理可知，化簡可得，因為，所以，則當，即時，取得最小值，此時，所以為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，運動員游泳速度的最小值為2.（2）運動員游泳時間為 小時，運動員在岸邊跑步的速度為4

16、千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，由余弦定理可知，整理化簡可得，設，則上式可化為在內有解，則，解得，當時，代入方程可解得，滿足，所以小船在能與運動員相遇的條件下的最大值為.【點睛】本題考查了余弦定理在解三角形中的綜合應用，二次函數(shù)求最值及有解的應用，屬于中檔題.19.已知函數(shù)（1）設，求函數(shù)的單調增區(qū)間；（2）設，求證：存在唯一的，使得函數(shù)的圖象在點處的切線l與函數(shù)的圖象也相切；（3）求證：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立【答案】（1）的單調增區(qū)間為（0，；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，在函數(shù)定義域內由確定其增區(qū)間；（2）先求出在處

17、的切線方程，設這條切線與的圖象切于點，由，得出關于的方程，然后證明此方程的解在上存在且唯一（3）把問題轉化為在上有解，令，則只要即可【詳解】（1）h（x）g（x）x2lnxx2，x（0，+）令，解得函數(shù)h（x）的單調增區(qū)間為（0，（2）證明：設x01，可得切線斜率，切線方程為：假設此切線與曲線yf（x）ex相切于點b（x1，），f（x）ex則k=，化為：x0lnx0lnx0x010，x01下面證明此方程在（1，+）上存在唯一解令u（x0）x0lnx0lnx0x01，x01，在x0（1，+）上單調遞增又u（1）1，在上有唯一實數(shù)解，遞減，時，遞增，而，在上無解，而，在上有唯一解方程在（1，+）上

18、存在唯一解即：存在唯一的x0，使得函數(shù)yg（x）的圖象在點a（x0，g（x0）處的切線l與函數(shù)yf（x）的圖象也相切（3）證明：，令v（x）exx1，x0v（x）ex10，函數(shù)v（x）在x（0，+）上單調遞增，v（x）v（0）0，不等式，a0exx1ax0，即h（x）exx1ax0，由對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立h（x）min0h（x）exx1ax，a，x（0，+）h（x）ex1a，令ex1a0，解得x0，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，）上單調遞減，在區(qū)間（，+）上單調遞增h（0）0，存在對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立【點睛】本題考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查

19、導數(shù)的應用，不等式的證明，考查綜合運算能力，轉化與化歸思想，本題難度較大20.等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足：，當時，且，成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求證：數(shù)列中的項都在數(shù)列中；（3）將數(shù)列、的項按照：當為奇數(shù)時，放在前面：當為偶數(shù)時，放在前面進行“交叉排列”，得到一個新的數(shù)列：，這個新數(shù)列的前和為，試求的表達式.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）當時，；當時，；當時，.【解析】分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式，即可由基本量計算求得首項與公差，進而求得數(shù)列的通項公式與前n項和；根據(jù)等比中項定義，結合數(shù)列的前n項和，代入化簡可求得數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)數(shù)列，的通項公式

20、，即可證明數(shù)列中的項都在數(shù)列中；（3）由數(shù)列的通項公式，代入由裂項求和法可得的前n項和，再對分類討論，即可確定新數(shù)列的前和的表達式.【詳解】（1）為等差數(shù)列，設公差為，所以，解得，所以由等差數(shù)列通項公式可得；等差數(shù)列的前項和為，所以，當時，且，成等比數(shù)列，.所以，則，即，化簡可得，當時也成立，所以.（2）證明：由（1）可知，則，所以數(shù)列中的項都在數(shù)列中；（3）由（1）可知，則，所以數(shù)列的前n項和為，當時，當（）時，經(jīng)檢驗當時也成立，當時，綜上所述，當時，；當時，；當時，.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式與求和公式的求法，等比中項的性質簡單應用，裂項求和法的應用，分類討論求數(shù)列的前n項和的綜合

21、應用，屬于難題.選做題:本題包括三小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.選修4-2：矩陣與變換21.設變換是按逆時針旋轉的旋轉變換，對應的變換矩陣是.（1）求點在作用下的點的坐標；（2）求曲線在變換的作用下所得到的曲線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)所給旋轉變換的角度可求得對應的矩陣，由所給點的坐標即可求得變換后的對應坐標；（2）根據(jù)變換可得矩陣乘法式，計算后代入方程即可得變換后的曲線的方程.【詳解】（1）由題意變換是按逆時針旋轉的旋轉變換，對應的變換矩陣是，可知，所以點在作用下的點的坐

22、標為.（2）設是變換后曲線上任意一點，與之對應的變換前的點為，則，即，所以，即，因為在曲線上，將代入可得，即，所以曲線在變換的作用下所得到的曲線的方程為.【點睛】本題考查了旋轉變換對應矩陣的求法，由矩陣求對應點的坐標，矩陣的乘法運算應用，屬于中檔題.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），點是圓上的任意一點，若點到直線的距離的最大值為，求實數(shù)的值.【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給直線參數(shù)方程與圓的參數(shù)方程，轉化為普通方程，結合點與圓的位置關系及距離最值，即可求得的值.【詳解】直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），化為普通方程可得，圓的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），化為普通方程可得，由點到直線距離公式可得圓心到直線的距離為，點是圓上的任意一點，且點到直線的距離的最大值為，所以