2014高考復習：概率、隨機變量及其分布列

1、實用文案第十九講概率、隨機變量及其分布列概率、隨機變量及 概率 幾何概型 古典概型 相互獨立事件同時發(fā)生的概率其分布列獨立重復試驗中事件恰隨機變離散型隨機變量及A量及分好發(fā)生 k次的概率條件概率分布列的概念布列離散型隨機變量的均值、方差1 ( 古典概型 )(2013 ·課標全國卷 ) 從 1,2,3,4中任取2 個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為 2的概率是 ()1111A. 2B. 3C. 4D. 6【解析】從 1,2,3,4 中任取 2個不同的數(shù)，有(1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(2,1) ，(2,3)，(2,4) ，(3,1) ，(3,2)，(3,4) ，(4

2、,1)， (4,2) ，(4,3)，共 12種情形，而滿足條件“2 個數(shù)之差的絕對值為2”的只有 (1,3)，(2,4) ， (3,1) ，(4,2) ，共4 種情形，所以取出的2 個數(shù)4 1之差的絕對值為 2 的概率為 123.【答案】B2 ( 數(shù)學期望 )(2013 ·廣東高考 ) 已知離散型隨機變量X 的分布列為X123P33151010則X的數(shù)學期望() ()E XA.3B 2C.5 32D23313【解析】E( X) 1× 52× 10 3×10 2，選 A.【答案】A標準實用文案3( 幾何概型 )(2013 ·陜西高考 )如圖 6

3、2 1，在矩形區(qū)域ABCD的 A，C兩點處各有一個通信基戰(zhàn)，假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源，基站工作正常) 若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是()圖 6 21A1 4B. 21C2 2D.421圖形 DEBF2× 1× 1×4×2 2 2【解析】取面積為測度，則所求概率為PS 12× 12S矩形 ABCD .4【答案】A4 ( 正態(tài)分布 ) 已知隨機變量 (，2) ，且(<1) 1， (>2) ，則(0<N uP PpP2<1) _.1【解析】由

4、P( <1) 2可知， 此正態(tài)分布密度曲線關于直線x1對稱， 故 P( 0)1P( 2) P( >2) p，易得 P(0< <1) P( <1) P( 0) p.21【答案】2 p5 ( 隨機變量的方差 )(2013 ·上海高考 ) 設非零常數(shù) d 是等差數(shù)列 x1， x2，x3， ， x19 的公差，隨機變量 等可能地取值 x1， x2，x3， ， x19，則方差 D _.標準實用文案S19x1x19【解析】由等差數(shù)列的性質，x 192 x10. D 1 ( x1 x ) 2 ( x2 x ) 2 ( x19 x ) 2 19 2 d2(1 222 3

5、2 92) 30d2. 19【答案】30d2古典概型與幾何概型(1)(2013 ·廣州質檢 ) 從個位數(shù)與十位數(shù)的數(shù)字之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是 ()4121A. 9B. 3C. 9D. 9(2)(2013·湖南高考 ) 已知事件 “在矩形 ABCD的邊 CD上隨機取一點P，使 APB的最大邊是 AB”發(fā)生的概率為1，則AD)2 (AB113D.7A.B.C.2424【思路點撥】(1)按個位數(shù)為偶數(shù)或奇數(shù)分兩類，求基本事件總數(shù)，找出個位數(shù)為0的基本事件數(shù)，利用古典概型求其概率(2) 由幾何圖形的對稱性，要使中的邊AB是PAB最大邊，則點P 在線段 P

6、1P3 上 ( 其中 AB BP1或 AB AP3) ，如圖所示，由已知概率定點P1 的位置，進而求AD的值AB【自主解答】(1) 個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)中必一個奇數(shù)一個偶數(shù)，所以可以分兩類當個位為奇數(shù)時，有5× 4 20( 個) 符合條件的兩位數(shù)當個位為偶數(shù)時，有5× 5 25( 個) 符合條件的兩位數(shù)因此共有20 25 45( 個 ) 符合條件的兩位數(shù)，其中個位數(shù)為0 的兩位數(shù)有5 個，所以5 1所求概率為 P 45 9.(2) 當 PAB中邊 AB最大，則點 P 在線段 P1P3 上 ( 其中 ABBP1 或 AB AP3) ，如圖所示標準實用文案

7、又事件發(fā)生的概率P1P3 11 31 ，則，PCD2P P2CD133根據對稱性知， DP1 4CD，PC1 4CD 4AB，此時 1，則22 3AB 2，AB BPABAD4272AD7 ADAB，則 .16AB4【答案】(1)D(2)D1(1) 本題 (1) 在計數(shù)時用了分類討論的思想，其分類標準是個位數(shù)字是否為奇數(shù)(2)有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關知識2(1) 第 (2) 小題求解的關鍵：點 P1、P3 位置的探求； 等量關系ABBP1 的確定 (2)幾何概型中的基本事件是無限的，但其構成的區(qū)域卻是有限的

8、，因此可用“比例解法”求概率在利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的大小確定變式訓練 1(1)(2013 ·上海高考 ) 盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個小球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是_( 結果用最簡分數(shù)表示) (2)(2013 ·四川高考 ) 節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4 秒內任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4 秒為間隔閃亮那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2 秒的概率是()標準實用文案1137A. 4B.

9、 2C. 4D. 8【解析】(1)從 9 個小球中任取兩個，有n C92 36 種取法設“兩個球的編號之積為偶數(shù)”為事件A，則 A 表示“兩球的編號之積為奇數(shù)”，且 A發(fā)生時，從編號為1,3,5,7,9中取出兩個不同小球，有2種取法m C 10510 13 P( A) 1P( A) 13618.(2) 設兩串彩燈同時通電后，第一次閃亮的時刻分別為x， y，則 0 x4,0 y4，而事件 “它們第一次閃亮的時刻相差不超過2 秒”，即 |x| 2，可行域如圖陰影部分所示Ay214 2× 2×2× 23由幾何概型概率公式得P(A)42 4.13【答案】(1) 18(2)

10、C互斥事件與相互獨立事件的概率某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)( 簡稱系統(tǒng) )A和，系統(tǒng)AB和系統(tǒng) B 在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為1 和 p.1049(1) 若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為50，求 p 的值(2) 求系統(tǒng) A 在 3 次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率【思路點撥】(1) 利用對立事件的概率求p 的值；(2) 轉化為兩個互斥事件的概率和：3 次檢測中僅發(fā)生一次故障，3 次檢測中均沒發(fā)生故障【自主解答】(1) 設“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，標準實用文案1491那么 1P( C ) 110· p50，解得 p5.(2

11、) 設“系統(tǒng) A 在 3 次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件 D. “系統(tǒng) A在3 次相互獨立的檢測中發(fā)生k 次故障”為事件 Dk .則 DDD，且 D、D 互斥0101依題意，(01311120) C31，( 1) C3·1，P D10P D101001729243243所以 P( D) P( D) P( D) 1 000 1 000 250.所以系統(tǒng) A在 3 次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障次數(shù)的概率為243.2501一個復雜事件若正面情況較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進行求解尤其是涉及到“至多” 、“至少”等問題常常用這種方法求

12、解( 如本題第 (1) 問 ) 2求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，看復雜事件能轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解( 如本題第 (2) 問) 變式訓練 2(2013 ·陜西高考改編 ) 在一場娛樂晚會上，有5 位民間歌手 (1 至 5號 ) 登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1 號歌手的歌迷，他必選1 號，不選2 號，另在3至5號中隨機選 2名觀眾乙和丙對5 位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1 至 5 號中隨機選3 名歌手(1) 求觀眾甲選中3 號歌手且

13、觀眾乙未選中3 號歌手的概率；(2) X表示 3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求P( X 2) 的值【解】 (1)設 A 表示事件 “觀眾甲選中 3號歌手”，B 表示事件 “觀眾乙選中 3 號歌手”，122C2C4 3則 P(A) 2 ，P(B) 3 .C33C55事件 A 與 B 相互獨立， A 與 B 相互獨立則 A· B 表示“甲選中3 號歌手，且乙沒選中3 號歌手”224 P( A B ) P( A) ·P( B ) P( A) ·1 P( B) 3×5 15.(2) 設 C表示事件“觀眾丙選中3 號歌手”，2C43則 P(C) 3 ，C5

14、 5標準實用文案依題意， A， B，C相互獨立，A ， B ， C 相互獨立且 AB C ， A B C， A BC， ABC彼此互斥又 P( X2) P(ABC ) P( A B C) P( A BC)23222313333 3×5× 5 3× 5×5 3× 5× 5 75，23318P( X 3) P( ABC) 3× 5× 5 75， P( X 2) P( X 2) P( X 3) 33 18 17. 75 75 25獨立重復試驗與二項分布(2013 ·山東高考 ) 甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先

15、勝3 局者獲得比1賽的勝利，比賽隨即結束除第五局甲隊獲勝的概率是2外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率2都是 3，假設各局比賽結果相互獨立(1) 分別求甲隊以 3 0,3 1,3 2 勝利的概率；(2) 若比賽結果為 3 0或 3 1，則勝利方得3 分，對方得 0 分；若比賽結果為 3 2，則勝利方得 2 分，對方得 1分求乙隊得分 X 的分布列及數(shù)學期望(1) 甲隊 3 0 獲勝，相當于成功概率為2【思路點撥】3的三次獨立重復試驗三次成功，3 1 獲勝，則前三局甲隊勝兩局且第四局甲隊獲勝；3 2 獲勝，則前四局甲隊勝兩局且第五局甲隊獲勝 (2)乙隊得分 X 0,1 ，根據 (1) 的結果和對立事件

16、概率之間的關系求出其概率分布，根據數(shù)學期望的公式計算其數(shù)學期望【自主解答】(1) 記“甲隊以 3 0 勝利”為事件 A ，“甲隊以 31 勝利”為事件A ，12“甲隊以3 2 勝利”為事件A3 ，由題意，各局比賽結果相互獨立，故 P(A1) 2 3 8 ， 3 27222228( 2) C31×，P A333272222214341× 2 27.P(A)C 33所以甲隊以30 勝利，以843 1 勝利的概率都為，以 3 2 勝利的概率為.2727標準實用文案(2) 設“乙隊以 3 2 勝利”為事件 A4，由題意，各局比賽結果相互獨立，2222 2144413 ×1

17、 27.所以 P(A) C32由題意，隨機變量X 的所有可能的取值為0,1,2,3，根據事件的互斥性得16P( X0) P( A1A2) P( A1) P( A2) 27.4又 P( X1) P(A3) 27，4P( X 2) P( A4) 27，3P( X3) 1 P( X0) P( X 1) P( X2)27，故 X 的分布列為X0123P1644327272727所以 (164437)0× 1× 2× 3× .E X2727279271 (1) 本題最易出現(xiàn)的錯誤是不能理解問題的實際意義，弄錯事件之間的關系(2) 求解的關鍵是理解“五局三勝制”的含

18、義，從而理清事件之間的關系2解決概率分布，應先明確是哪種類型的分布，然后代入公式，若隨機變量X 服從二項分布，可直接代入二項分布的期望公式變式訓練 3(2013 ·福建高考 ) 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為223，中獎可以獲得 2 分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得35分；未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數(shù)兌換獎品(1) 若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求 X 3的概率；(2) 若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得

19、分的數(shù)學期望較大？【解】(1) 由已知得，小明中獎的概率為22，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互35不影響記“這 2 人的累計得分X 3”的事件為 A，標準實用文案則事件 A 的對立事件為“X 5”224因為 P( X 5) 3× 5 15，411所以 P( A) 1P( X 5) 1，11即這 2 人的累計得分X3 的概率為 15.(2) 設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2 X1) ，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為 (3 2)E X22由已知可得，1 (2 ， )， 2 (2， )，X

20、B3X B52424所以 E( X1) 2× 33， E( X2) 2× 5 5，812從而 E(2 X1) 2E( X1) 3， E(3 X2) 3E( X2) 5 .因為 E(2 X1) E(3 X2) ，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大.離散型隨機變量的均值與方差(2013 ·遼寧高考 ) 現(xiàn)有 10 道題，其中 6 道甲類題， 4 道乙類題，張同學從中任取 3 道題解答(1) 求張同學至少取到 1 道乙類題的概率；(2) 已知所取的 3 道題中有 2 道甲類題， 1 道乙類題設張同學答對每道甲類題的概率34用 X 表示張同學答對題的都

21、是 5，答對每道乙類題的概率都是5，且各題答對與否相互獨立個數(shù)，求 X的分布列和數(shù)學期望【思路點撥】(1) 先求“張同學所取的3 道題都是甲類題”的概率，利用對立事件求解 (2) 易知隨機變量 X 取值為 0,1,2,3 ，由相互獨立事件的概率公式求X i ( i 0,1,2,3)的概率【自主解答】(1)設事件 A“張同學所取的3 道題至少有1 道乙類題”，則有 A “張同學所取的3 道題都是甲類題” 315C因為 P( A)63 ，所以 P(A)1P( A) .C1066(2) X所有的可能取值為0,1,2,3.P( X03 02 2140) C2· 5· 5·

22、 5 125；P( X13 12 1103 02 24281) C2· 5· 5·5 C25·5 ·5125；標準實用文案23 22 0113 12 1457P( X2) C2·5·5·5 C25·5 ·5 125；23220436P( X3) C2·5·5·5 125.所以 X的分布列為：X0123P42857361251251251254285736所以 E( X) 0× 125 1×125 2×125 3×125 2.1

23、解題要注意兩點：(1) 隨機變量X 取每一個值表示的具體事件的含義，(2) 正確利用獨立事件、互斥事件進行概率的正確計算2求隨機變量的期望和方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解變式訓練 4某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有 3 個紅球與4 個白球的袋中任意摸出3 個球，再從裝有1 個藍球與2 個白球的袋中任意摸出 1 個球根據摸出4 個球中紅球與藍球的個數(shù)，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅 1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1

24、) 求一次摸獎恰好摸到 1 個紅球的概率；(2) 求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X 的分布列與期望 E( X) 【解】設i (i0,1,2,3)表示摸到i個紅球，j (j 0,1) 表示摸到j個藍球，則iABA與 Bj 相互獨立(1) 恰好摸到 1 個紅球的概率為標準實用文案12C3C418P( A1) C37 35.(2)X的所有可能值為： 0,10,50,200，且(200) ( 3 1) (3) (31，1) C3· 1P XP A BPA PB3C73105C3322，P( X 50) P( A3B0) P( A3) P( B0) 3· C31057211124(10

25、) ( 2 1) (2) (C3C41) 3· ，P XP ABPA PB310535C71246P( X 0) 1 105 10535 7.綜上可知，獲獎金額X 的分布列為X01050200P64217351051056421從而有 E( X) 0× 7 10× 35 50×105 200× 1054( 元 ) 標準實用文案從近兩年的高考試題看， 離散型隨機變量的分布列、 均值與方差是高考的熱點， 題型齊全，難度中等， 不僅考查學生的理解能力與數(shù)學計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學生運用概率、期望與方差解決實際問題的能力巧用概率公式求解期

26、望問題(12 分 ) 一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取 4 件作檢驗，這 4 件產品中優(yōu)質品的件數(shù)記為n. 如果 n 3，再從這批產品中任取4 件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n4，再從這批產品中任取1 件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的產品是優(yōu)質品的概率都為1，且各件產品是2否為優(yōu)質品相互獨立(1) 求這批產品通過檢驗的概率；(2) 已知每件產品的檢驗費用為100 元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X( 單位：元 ) ，求 X 的分布列及數(shù)

27、學期望【規(guī)范解答】(1) 設第一次取出的4 件產品中恰有3 件優(yōu)質品為事件A1，第一次取出的 4 件產品全是優(yōu)質品為事件A，第二次取出的4 件產品都是優(yōu)質品為事件B ，第二次取出21的 1 件產品是優(yōu)質品為事件2，這批產品通過檢驗為事件，依題意有 1122，且11BAAABABAB與 A2B2 互斥 .2 分31 41 41 P( A1B1) P( A1) · P( B1| A1) C42·264.P( A2B2) P( A2) · P( B2| A2) 14112· ，2321136 分P( A) P( AB) P( AB) 643264.1122(2) X的可能值為 400,500,800.且41 4131 311P( X 500) C4216， P( X800) C42×2 4，313141 411.P( X 400) 1 C2·2 C21644隨機變量X 的分布列為X40