2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)理科數(shù)學(xué)試題及解答

1、2006 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)試題（理科）第I卷（共 50分）一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（ 1）設(shè)集合 A x | 1 x 2 ， B x | 0x 4 ，則 AB（A ） 0，2（B）1，2（C） 0， 4（D）1，4（2）已知 m1ni ，其中 m ， n 是實數(shù)， i 是虛數(shù)單位，則 mni =1i（A ） 1 2i（ B） 1 2i（C） 2 i（ D） 2 i（3）已知 0a 1,log a m log a n0，則（A ） 1 nm（ B） 1 m n（C） m n 1

2、（ D） n m 1xy20,（4）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組xy20, 表示的平面區(qū)域的面積是x2（A）4 2（B）4（C）2 2（D）2（5） 若雙曲線 x2y21上的點到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點距離的1，則 m=m3（A） 1（B） 3（C） 1（D） 921 sin2x288（6）函數(shù) ysin2 x, xR 的值域是2（A ）1 , 3（B ）22（C）2121（D ）22,22（7）“ a>b>c”是 ”ab< a2b2”的23 , 12 2212122,22（A ）充分而不必要條件（ B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D ）既不充分也不必要條件（8）若多項

3、式 x2x10a0a1 (x 1)a9 ( x 1)9a10 (x1)10 ，則 a9 =（A ）9（B） 10（C） 9（ D） 10（ 9）如圖， O 是半徑為1 的球心，點 A 、 B 、C 在球面上， OA 、OB 、 OC 兩兩垂直，E、 F 分別是大圓弧AB 與 AC 的中點，則點E、 F 在該球面上的球面距離是（A ）（B ）43（C）2（D ）24（10）函數(shù) f ：1 ， 2， 3|1 ， 2， 3| 滿足 f （ f（ x） f（ x），則這樣的函數(shù)個數(shù)共有（A ）1 個（B）4 個（C）8 個（D）10 個第卷 （共 100 分）二. 填空題：本大題共4 小題，每小題4

4、分，共 16 分。（ 11）設(shè) Sn 為等差數(shù)列 a n 的前 n 項和，若 S5 = 10，S10 = -5 ，則公差為 _（用數(shù)字作答）.a, ab，|x-2|（x R）（ 12）對 a，b R, 記 max|a，b|=，函數(shù) f （ x）=max|x+1|b, ab的最小值是 _.（ 13）設(shè)向量 a，b，c 滿足 a+b+c=0，（ a-b ） c，a b，若 |a|=1 ，則 |a| 2+|b| 2+|c| 2的值是 _.（ 14）正四面體ABCD的棱長為l ，棱 AB平面，則正四面體上的所有點在平面 內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是_.三、解答題：本大題共 6 小題，每小題 14

5、 分，共 84 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（15）如圖，函數(shù) y 2sin( x), x R（其中0）的圖像與y0 1軸交于點 （ ， ）。2（）求的值；（）設(shè) P 是圖像上的最高點，M、N 是圖像與x 軸的交點，求PM 與 PN 的夾角。（16）設(shè) f ( x)3ax22bxc ，若 abc0, f (0)0, f (1)0 ，求證：（） a 0 且b1 ；2a（）方程f ( x)0 在（ 0， 1）內(nèi)有兩個實根。（ 17）如圖，在四棱錐PABCD 中，底面為直角梯形，AD / BC，BAD90，PA底面 ABCD ，且（）求證：PBDM ；PAADAB2BC ， M 、N

6、 分別為PC 、 PB 的中點。（）求 CD 與平面 ADMN 所成的角。（ 18）甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2 個紅球，有 2 個紅球， n 個白球，現(xiàn)從甲、乙兩袋中各任取2 個球。2 個白球；乙袋裝（I ）若 n 3，求取到的4 個球全是紅球的概率；（II ）若取到的4 個球中至少有2 個紅球的概率為3 ，求 n。4（ 19）如圖，橢圓 x2y 2 1（ a>b>0）與過點A （ 2， 0）、 B（ 0， 1）的直線有且只a2b2有一個公共點T，且橢圓的離心率 e3.2（I ）求橢圓方程；（II ）設(shè) F 1、 F2 分別為橢圓的左、右焦點，M 為線段 AF2

7、的中點，求證：ATM=AF 1T.（ 20）已知函數(shù)f (x) x3+x 2，數(shù)列 x n （ xn > 0）的第一項x11，以后各項按如下方式取定：曲線y f ( x) 在 ( xn 1 ,f ( xn 1) 處的切線與經(jīng)過（0， 0）和（ xn， f （ xn）兩點的直線平行（如圖）。求證：當(dāng)nN * 時：（I ） xn2xn3xn 122xn 1 ；（II ） ( 1)n 1xn( 1 )n 222數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5 分，滿分50 分。（1） A（2） C（ 3）A（4） B（5）C（6）C（7） A（8） D（ 9）B（10）

8、 D二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4 分，滿分16 分。（11） -1（12） 3（ 13）4（14） 2 ,1242三、解答題（ 15）本題主要考查三角函數(shù)的圖像，已知三角函數(shù)求角，向量夾角的計算等基礎(chǔ)知識和基本的運算能力。滿分14 分。解：（ I ）因為函數(shù)圖像過點(0,1)，所以 2sin1, 即 sin1.2因為 0，所以.26（II ）由函數(shù) y2sin(x) 及其圖像，得6M ( 1 ,0), P(1,2), N ( 5 ,0),636所以 PM(1 ,2), PN(1 ,2), 從而22cosPM,PNPMPN|PM | |PN |15，1715故PM , PNa

9、rccos.17（16）本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識。滿分14 分。證明：（ I ）因為 f (0)0, f (1)0 ，所以 c0,3a2bc0 .由條件abc0，消去 b ，得ac0 ；由條件abc0，消去 c ，得ab0， 2ab0.故2b1.a（II ）拋物線 f ( x)3ax 22bxc的頂點坐標(biāo)為 (b, 3ac b2) ，3a3a在 2b1，得a1的兩邊乘以31b233a.3又因為f (0)0, f (1)0,而 f (b )a2c2ac0,3a3a所以方程 f ( x)0 在區(qū)間 (0,b ) 與 (b ,1) 內(nèi)分別有一實根。3a3a故方程 f (

10、 x)0 在 (0,1) 內(nèi)有兩個實根 .（ 17）本題主要考查空間線線、 線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力。滿分14 分。解：方法一：（I）因為 N 是 PB 的中點， PA PB ，所以 ANPB .因為 AD平面 PAB ，所以ADPB ，從而 PB平面 ADMN .因為 DM平面 ADMN ，所以 PBDM .（ II）取 AD的中點 G，連結(jié) BG、 NG，則 BG/CD ，所以 BG 與平面 ADMN 所成的角和 CD 與平面 ADMN 所成的角相等 .因為 PB 平面 ADMN ，所以BGN 是 BG 與平面 ADMN 所成的角 .在 Rt BGN

11、中，BN10sin BNG.BG5故 CD 與平面 ADMN 所成的角是 arcsin10.5方法二：如圖，以 A 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz ，設(shè) BC1，則1A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), C (2,1,0), M (1, ,1), D(0,2,0) .（I ）因為PBDM (2,0, 2) (1, 3,1)20 ，所以 PBDM.（II ）因為PB AD(2,0,2) (0, 2,0)0 ，所以 PBAD，又因為 PBDM ，所以 PB平面 ADMN .因此PB, DC的余角即是CD 與平面 ADMN 所成的角 .因為cosPB, DCPB DC|

12、PB| | DC |10，5所以CD 與平面ADMN 所成的角為arcsin10.5（ 18）本題主要考察排列組合、 概率等基本知識， 同時考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。滿分 14 分。解：（ I ）記“取到的4 個球全是紅球”為事件A .P( A)C22 C221 11 .C 2 C26 106045（ II ）記“取到的4 個球至多有1 個紅球”為事件B ，“取到的4 個球只有1 個紅球”為事件 B1 ，“取到的 4 個球全是白球”為事件B2 .由題意，得P(B)1 31 .44P(B1)C21 C21Cn2C22 C21 Cn1C42Cn2 2C42Cn2 22n2;3(n2)( n1

13、)C22Cn2P(B2)Cn2C422n(n1);6(n2)( n1)所以P( B)P( B1)P(B2)2n2n(n 1)3(n 2)( n 1)6(n 2)( n 1)1，4化簡，得7n211n60,解得 n2 ，或 n3（舍去），7故 n 2 .（ 19）本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)， 同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14 分。解：（ I ）過點 A 、 B 的直線方程為 xy1.2x2y21,a2b2因為由題意得有惟一解，y11x2即 (b21 a2 )x2a2 x2a2a2 b20 有惟一解，4所以a2b2 (a24b24)0（ ab0 ），故a

14、24b240.又因為e3 , 即a2b23 ,2a24所以a24b2 .從而得a22,b21 ,2故所求的橢圓方程為x22y21.2（II ）由（ I）得c6 ,2故 F1(6 ,0), F2( 6 ,0),22從而 M(16 ,0).4x22 y21,2由1y x 12解得 x1x21,1所以T (1, ).6因為 tanAFT1,12又 tanTAM1 , tan TMF 22 ,得2621tanATM6211661,2因此ATMAFT .1（ 20）本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。滿分14 分。證明：（ I ）因為f ' (x)3x22x,所以曲線 yf ( x) 在 ( xn 1 , f ( xn 1 ) 處的切線斜率 kn 13x22 xn 1.n1因為過 (0,0) 和 ( xn , f ( xn ) 兩點的直線斜率是xn2xn ,222xn 1 .所以 xnxn 3xn 1（II ）因為函數(shù) h( x)x2x 當(dāng) x0 時單調(diào)遞增，2xn