常微分方程與差分方程知識點

1、常微分方程與差分方程知識點考試綱要常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程微分方程的簡單應(yīng)用差分與差分方程的概念差分方程的通解與特解一階常系數(shù)線性差分方程考試要求1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念2、掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法3、會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程4、了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程5、了解差分與差分方程及其通解與特解等概念6

2、、了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法7、會用微分方程求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題重要知識點1、微分方程通解中任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同2、變量可分離微分方程解法g(y)dyf(x)dx一g(y)dyf(x)dx-G(y)F(x)C3、齊次微分方程解法dy(y)一設(shè)u一-再用2代替udxxx(u)uxx附：可化為齊次的方程dy ax by cdx &x b1y g c或 Ga ba th0 a bai bicg0,可化為齊次微分方程xXh0,設(shè)h,帶入原方程解出h,k,可化為齊次微分方程yYk”abdyaxbyc收,，令axbyv,0abdx(axby)g則可化為變的變量可分離微分方

3、程dx4、一階線性微分方程解法,齊次方程通解：曳P(x)y0yCedyP(x)yQ(x)dxdx特解(常數(shù)變異法):yu(x)eP(x)”代入原方程解出u(x)Q(x)e"x'dxdxCP(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxC個人總結(jié)：對于dyP(x)yQ(x),首先計算ue""dx,通解為yuQ為dxCdxu5、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理定理1：如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的兩個解，那么yC1yl(x)C2y2(x)也是該方程的解，其中Ci,C2是任意常數(shù)(不一定是通解)定理2：如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是

4、方程yP(x)yQ(x)y0的兩個線性無關(guān)的特解，那么yCiyi(x)C2y2(x)(C1C2是任意常數(shù))是該方程的通解定理3：設(shè)y(x)是二階非齊次線性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個特解，Y(x)是該方程對應(yīng)的齊次萬程的通解，那么y(x)Y(x)y(x)是該二階非齊次線性方程的通解定理4(疊加原理)：設(shè)齊次線性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的f(x)可以分解為兩個函數(shù)的和，即f(x)fi(x)f2(x),而yi(x)與y2(x)分別是方程yP(x)yQ(x)yfi(x)與一一一一一一一一*.*.yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解，那么yi(x)y2(x)就是原方程的特解6、

5、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy0的求解步驟：第f：寫出特征方程r2pxq0；第二步：求特征方程的兩根r,r2;第三步：根據(jù)根的情況，按卜表寫出通解根的情況通解兩個不相等實根r1,r2yCierixC2er2x兩個相等實根r1r2y(CiC2x)erix一對共軻復(fù)根ri,2iyeax(C1cosxC2sinx)7、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(x)待定系數(shù)法求特解(1)f(x)exPm(x)特解形式：y齊次方程yt 1 ayt 0的通解為y C a ,，其中C是一個任意常數(shù)。若給定初始條件 y Co，則y0 C0

6、 at即為滿足該初始條件的特解。 * .一對于非齊次萬程 yt 1 aytf (t),其通解也是非齊次方程的一個特解yt與對應(yīng)齊次方程通解之和。即:tytytc a 。xkQm(x)ex不是特征方程的根，k0是特征方程的單根，k1是特征方程的重根，k2(2)f(x)exP(x)cosxPn(x)sinx*kx將斛形式：yxeQm(x)cosxRm(x)sinx,mmaxl,ni不是特征方程的根，k0i是特征方程的單根，k1個人總結(jié)：自由項為多項式f(x)exPm(x),0自由項為指數(shù)函數(shù)f(x)exPm(x),Pm(x)1自由項為正弦函數(shù)f(x)exP(x)cosxR(x)sinx,0,P(x

7、)0,Pn(x)1k將斛設(shè)為yxacosxbsinx自由項為余弦函數(shù)f(x)exP(x)cosxPn(x)sinx,0,P(x)1,E(x)0*k將斛設(shè)為yxacosxbsinx8、一階常系數(shù)差分方程的概念及一般形式含有自變量、自變量的未知函數(shù)及其差分的方程，稱為差分方程。一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為：yt1aytf(t),其中常數(shù)a0。對應(yīng)的齊次方程為yt1ayt09、一階常系數(shù)差分方程的通解與特解10、幾種常見情形下非齊次方程特解所具有的形式f(t)的形式方程中系數(shù)a的取值特解y的形式Pm(t)其中Pm(t)是m次多項式a10Qm(t)a10tQm(t)Mbt其中常數(shù)M0,b1ab0Ab