【KS5U解析】吉林省長春市東北師大附中等六校2020屆高三聯(lián)合模擬數(shù)學(xué)理科試題 Word版含解析

1、2020屆高三聯(lián)合模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一選擇題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】求出集合，再利用交集的定義可求出集合.【詳解】，因此，.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，利用共軛復(fù)數(shù)的概念可求出與的值，即可得出的值.【詳解】，解得，因此，.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，同時(shí)也考查了共軛復(fù)數(shù)的概念以及利用復(fù)數(shù)相等

2、求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)命題有的平行四邊行是菱形，則為（ ）a. 所有平行四邊形都不是菱形b. 有的菱形不是平行四邊形c. 有的平行四邊形不是菱形d. 不是菱形的四邊形不是平行四邊形【答案】a【解析】【分析】將命題改寫為特稱命題的形式，然后利用特稱命題的否定可得出命題.【詳解】命題存在平行四邊形為菱形，則命題所有平行四邊形都不是菱形.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題否定，解題的關(guān)鍵就是將原命題表示成特稱命題的形式，屬于基礎(chǔ)題.4.雙曲線的漸近線方程為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，

3、雙曲線的漸近線方程為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程，要熟悉漸近線方程與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用條件求出的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中相關(guān)項(xiàng)的計(jì)算，一般利用方程思想求出首項(xiàng)和公差的值，同時(shí)也涉及了等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約）在他的著作數(shù)書九章中提出了多項(xiàng)式求值的秦九韶算法.如圖所示的框

4、圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值一個(gè)實(shí)例.若輸入的，則該程序框圖計(jì)算的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的、的值，當(dāng)時(shí)，不滿足條件，跳出循環(huán)，即可得解【詳解】輸入，則第一次：，；第二次：，；第三次：，；第四次：，；跳出循環(huán)，輸出.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到的、的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題7.在中，、分別是角、的對(duì)邊，若，則的面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用余弦定理求出、的值，然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【詳解】由余弦定理可得，即

5、，解得，則，因此，的面積為.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知直線、與平面、滿足，則下列命題中正確的是（ ）a. 是的充分不必要條件b. 是的充要條件c. 設(shè)，則是的必要不充分條件d. 設(shè)，則是的既不充分也不必要條件【答案】c【解析】【分析】利用線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件和必要條件的定義可判斷出各選項(xiàng)中命題的正誤.【詳解】對(duì)于a選項(xiàng)，如下圖所示：在正方體中，設(shè)平面，平面，平面平面，平面，平面，易知為正三角形，則，則；設(shè)，平面，平面，但平面與平面不垂直，則.所以，是的既不充分也不必要條件，a選項(xiàng)錯(cuò)

6、誤；對(duì)于b選項(xiàng)，如下圖所示：在正方體中，設(shè)平面，平面，但平面與平面不垂直，即；設(shè)平面，平面，則，平面平面，但與不垂直，即，所以，是的既不充分也不必要條件，b選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于c、d選項(xiàng)，如下圖所示：在正方體中，設(shè)平面，平面，但與不垂直，所以，若，；若，則.所以，若，則是的必要不充分條件，c選項(xiàng)正確，d選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：c.【點(diǎn)睛】本題以立體幾何為載體，考查充分條件和必要條件的判斷，要熟悉空間中垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理，結(jié)合幾何體模型進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.9.在正方形中，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)正方形的邊長

7、為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得出圓的方程為，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將用的三角函數(shù)表示，利用輔助角公式和正弦函數(shù)的有界性可求出的最大值.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，則以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，所以，因此，的最大值為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的基本定理求參數(shù)和的最小值，利用圓的有界性結(jié)合圓的參數(shù)方程來求解是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10.已知函數(shù)，若存在，使得為奇函數(shù)，則的值可能為（

8、）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，由奇函數(shù)的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，則，據(jù)此分析選項(xiàng)可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，若存在，使得為奇函數(shù)，令，則.若，則，得，此時(shí)，所以或?yàn)槠婧瘮?shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，由可得對(duì)任意的恒成立，得，對(duì)任意的不恒成立.同理，不可能為奇函數(shù)；由上可知，則為奇函數(shù)，則，得，可得，由兩角和與差的余弦公式可得，則等式對(duì)任意的恒成立，則，則，得，當(dāng)時(shí)，a、c、d都不滿足.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的恒等變形，屬于中等題11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（ ）a. b.

9、 c. d. 【答案】d【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件判斷在上的單調(diào)性，然后將所求不等式分、和三種情況得到不等式的解集【詳解】令，則，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，知，當(dāng)時(shí)，顯然不等式成立.當(dāng)時(shí)，則，所以，整理得，即，所以，得，則；當(dāng)時(shí)，則，所以，整理得，即，所以，得，則.綜上所述，原不等式的解集為.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想和函數(shù)思想，屬中檔題12.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、在上，且的重心為，則的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，設(shè)直

10、線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，用、求出表示出的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的方程，求出的取值范圍，再結(jié)合拋物線的定義可得出結(jié)論【詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，由重心的坐標(biāo)公式得，設(shè)直線的方程為，由，消去得，由韋達(dá)定理得，所以，故，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，得，則，得，則.不在直線上，則，此時(shí)，則.因此，的取值范圍是.故選：a.【點(diǎn)睛】考查拋物線與直線的綜合，求距離的取值范圍，重心坐標(biāo)的計(jì)算，屬于難題二填空題.13.已知函數(shù)、分別是定義在上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，據(jù)此計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，則.又由函

11、數(shù)是奇函數(shù)，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題14.已知x，y滿足，則z2x+y的最大值為_.【答案】3.【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可【詳解】解：，在坐標(biāo)系中畫出圖象，三條線的交點(diǎn)分別是，在中滿足的最大值是點(diǎn)，代入得最大值等于3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題15.在中，是邊上的中線，將沿折起，使二面角等于，則四面體外接球的體積為_.【答案】【解析】【分析】由題意可知

12、折起的三棱錐是一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐，由題意求出高及底面外接圓的半徑，利用公式求出外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的體積【詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，在折起的過程中，所以平面，因?yàn)槎娼堑扔?，所以，且，在中，外接圓半徑為，設(shè)外接球的半徑為，則，因此，所以外接球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐的外接球半徑與三棱錐棱長的關(guān)系及球的體積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】令，根據(jù)遞推關(guān)系即可求得，進(jìn)而得出；令，則可得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均為，進(jìn)而由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得【詳解】令，則，所以；令，

13、則，所以，數(shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)均為.因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)及前項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解及邏輯推理能力，屬于中檔題三解答題:解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.下表給出的是某城市年至年，人均存款（萬元），人均消費(fèi)（萬元）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).年份人均存款（萬元）人均消費(fèi)（萬元）（1）試建立關(guān)于的線性回歸方程；如果該城市年的人均存款為萬元，請(qǐng)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)年該城市的人均消費(fèi)；（2）計(jì)算，并說明線性回歸方程的擬合效果.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】

14、（1），人均存款為萬元；（2），人均存款解釋了的人均消費(fèi)的變化，、具有較好的擬合效果.【解析】【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)求得和的值，則線性回歸方程可求，把代入線性回歸方程，求得值得答案；（2）由回歸方程計(jì)算得、的值，再由公式求得的值，進(jìn)一步說明線性回歸方程的擬合效果【詳解】（1），所求回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，預(yù)計(jì)該國家年的人均存款為萬元；（2）由回歸方程計(jì)算得，所以，說明人均存款解釋了的人均消費(fèi)的變化，、具有較好的擬合效果.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，同時(shí)也考查了相關(guān)指數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題18.如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，. （1）求，（用表示）；（2）求的面積的最小值.

15、【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和即可；（2）由條件知，然后根據(jù)的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出的最小值.【詳解】（1）在中，所以，在中，；（2），因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)最值和三角形的面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中等題19.如圖，已知四棱柱的底面是正方形，側(cè)面是矩形，為的中點(diǎn)，平面平面.（1）證明：平面；（2）判斷二面角是否為直二面角，不用說明理由；（3）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）是；（3）.【解析】【分析】（1）連接、，平面即為平面，推導(dǎo)出，由此能證明平

16、面；（2）二面角是直二面角；（3）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出二面角的大小【詳解】（1）連接，.平面即為平面，底面是正方形，.又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，側(cè)面是矩形，又，平面，平面，平面；（2）二面角為直二面角；（3）由（1）可知，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，為單位長度，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，由（1）知，平面，所以，是平面的一個(gè)法向量，于是，由（2）知二面角平面角為鈍角，所以二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查直二面角的判斷，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面

17、面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題20.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓在左、右頂點(diǎn)分別為、，左焦點(diǎn)為，過的直線與交于、兩點(diǎn)（和均不在坐標(biāo)軸上），直線、分別與軸交于點(diǎn)、，直線、分別與軸交于點(diǎn)、，求證：為定值，并求出該定值.【答案】（1）；（2）證明見解析，定值.【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由離心率及過的點(diǎn)和、之間的關(guān)系求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)，求出兩根之和及兩根之積，寫出、的方程由題意求出、的坐標(biāo)，求出的值，同理由題意求出的值，進(jìn)而求出比值為定值【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，由題意，解得，所以，橢圓的

18、方程為；（2）由（1）知，由題意，直線不與軸垂直，且不過橢圓的上、下頂點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，.由，消去，整理得.，由韋達(dá)定理，.直線的方程為，.同理，.所以，直線的方程為，.同理，.所以，由題意，故.【點(diǎn)睛】考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，以及弦長比值為定值問題的證明，一般將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來求解，考查運(yùn)算求解能力與推理能力，屬于中等題.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析】（1）求出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，分、及解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（

19、2）易知函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合（1）的結(jié)論以及零點(diǎn)存在性定理即可得證【詳解】（1），.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，存在，使得，所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，為減函數(shù)，極小值點(diǎn)，且，所以，函數(shù)在有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，函數(shù)為增函數(shù)，存在，使得，所以函數(shù)在有1個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查分類討論思想及邏輯推理能力，屬于難題22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，直線交曲線于點(diǎn)，求的