材料力學第5章彎曲內(nèi)力ppt課件

1、出版社 理工分社材料力學頁第5章 彎曲內(nèi)力出版社 理工分社材料力學頁5.1彎曲的概念和實例工程中經(jīng)常遇到受彎構(gòu)件，如橋式起重機大梁(見圖5.1(a)、火車輪軸(見圖5.2(a)、房屋建筑中的樓板梁(見圖5.3(a)、受氣流沖擊的汽輪機葉片(見圖5.4(a)等。這些桿件的受力特征是作用于桿件上的外力(橫向力或力偶矢)垂直于桿件的軸線，變形特征是桿件的軸線由原來的直線變成曲線。這種形式的變形稱為彎曲變形。習慣上把以彎曲變形為主的桿件稱為梁。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.1 圖5.2出版社 理工分社材料力學頁 圖5.3 圖5.4出版社 理工分社材料力學頁工程問題中，絕大部分受彎桿件的橫截面一般至

2、少有一根對稱軸，如圖5.5(a)所示。此對稱軸與梁的軸線共同確定了梁的一個縱向?qū)ΨQ平面，如圖5.5(b)所示。上面提到的橋式起重機大梁、火車輪軸、房屋建筑中的樓板梁、受氣流沖擊的汽輪機葉片等都屬于這種情況。當作用于桿件上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，桿件彎曲變形后的軸線也將是位于這個面內(nèi)的一條曲線。也就是說，載荷的作用平面、梁的彎曲平面與梁的縱向?qū)ΨQ面重合，這種彎曲稱為對稱彎曲，也稱為平面彎曲。若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或者梁雖然具有縱向?qū)ΨQ面但外力并非作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則這種彎曲統(tǒng)稱為非對稱彎曲。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.5出版社 理工分社材料力學頁平面彎曲是最基本的彎曲問題。本章主要

3、討論受彎桿件發(fā)生平面彎曲時橫截面上的內(nèi)力，它是彎曲強度和剛度計算的重要基礎(chǔ)。5.2受彎桿件的簡化工程中，受彎構(gòu)件的幾何形狀、支承條件和載荷情況通常都比較復雜。為了便于分析計算，需要作一些必要的簡化，得到實際構(gòu)件的計算簡圖，即力學模型。下面就構(gòu)件、載荷、支座的簡化分別進行討論。出版社 理工分社材料力學頁5.2.1構(gòu)件的簡化由于所研究的大多為等截面直梁，且外力作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而，在計算簡圖中就用梁的軸線代表實際的梁。5.2.2載荷的簡化梁上的載荷按其作用方式可簡化為以下種類型：(1)集中力指分布面積遠小于物體的表面尺寸，或者沿桿件軸線分布范圍遠小于軸線長度的載荷。例如，起重機的車輪對橫梁

4、的壓力(見圖5.1(b)、火車車廂對輪軸的壓力(見圖5.2(b)等都可簡化為集中力。出版社 理工分社材料力學頁(2)集中力偶指作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶。(3)分布載荷指連續(xù)作用在梁的全長或部分長度內(nèi)的載荷。分布載荷的大小用載荷集度表示。設梁段x上分布載荷的合力為P，當x趨于零時，P/x的極限即稱為分布載荷的載荷集度，用q表示，即出版社 理工分社材料力學頁顯然，梁上任一點處的載荷集度是該點坐標x的函數(shù)，即q=q(x)。若q(x)為常數(shù)，則這種分布載荷稱為均布載荷。例如，樓板傳給大梁的載荷(見圖5.3(b)，作用在汽輪機葉片上的氣體壓力(見圖5.4(b)等都可簡化為均布載荷。此外，橋式起重機大

5、梁的自重、火車輪軸的自重等也是均布載荷。若q(x)按線性規(guī)律變化，則這種分布載荷稱為線分布載荷。例如，水壓力對壩體的荷載(見圖5.6)可簡化為線分布載荷。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.6出版社 理工分社材料力學頁5.2.3支座的幾種基本形式工程中常見的梁的支座，按其對梁的約束情況可簡化為以下種形式：(1)可動鉸支座可動鉸支座也稱滾動支座或輥軸支座，其構(gòu)成如圖5.7(a)所示，簡圖如圖5.7(b)所示。它限制支座處的梁截面沿垂直于支承面方向的移動，但允許截面繞鉸鏈中心的轉(zhuǎn)動以及沿支承面內(nèi)的移動。因而，其約束力F必然垂直于支承面(見圖5.7(c)，且通過鉸鏈中心。橋梁、屋架等結(jié)構(gòu)中經(jīng)常采用這種

6、支座。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.7出版社 理工分社材料力學頁(2)固定鉸支座固定鉸支座是光滑鉸鏈約束的一種形式，即用聯(lián)接件(如銷釘?shù)?連接的兩個鉆有同樣大小孔的構(gòu)件中有一個是固定在地面或機架上的，如圖5.8(a)所示，其簡圖如圖5.8(b)所示。它限制支座處的梁截面沿徑向的相對移動，但允許截面繞鉸鏈中心轉(zhuǎn)動。因而，其約束力包含水平反力Fx和垂直反力Fy兩個分量(見圖5.8(c)，且通過鉸鏈中心。徑向軸承、平面止推軸承等都可簡化為固定鉸支座。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.8出版社 理工分社材料力學頁(3)固定端固定端約束中，構(gòu)件的一端完全固定在另一物體上(見圖5.9(a)，其等效力系

7、及其簡化分別如圖5.9(b)、(c)所示。它同時限制支座處梁截面的移動和轉(zhuǎn)動。因而，其約束力包含水平反力FAx、垂直反力FAy和約束力偶MA(見圖5.9(d)。水壩的下端支座(見圖5.6)、三爪卡盤等都可簡化為固定端。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.9出版社 理工分社材料力學頁需要指出的是，支座的簡化往往與計算的精度要求有關(guān)，或與所有支座對整個梁的約束情況有關(guān)。例如，如圖5.10(a)所示的插入磚墻內(nèi)的梁，由于插入端較短，因而梁端在墻內(nèi)有微小轉(zhuǎn)動的可能。此外，當梁有可能發(fā)生水平移動時，其一端與磚墻接觸后，磚墻就限制了梁的水平移動。所以，兩端約束一個簡化為固定鉸支座，另一個簡化為可動鉸支座，如

8、圖5.10(b)所示。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.10出版社 理工分社材料力學頁5.2.4靜定梁的基本形式有了對構(gòu)件、載荷、支座的簡化，就可以確定梁的計算簡圖。前面所提及的橋式起重機大梁、火車輪軸、房屋建筑中的樓板梁、受氣流沖擊的汽輪機葉片等的計算簡圖分別如圖5.1至圖5.4(b)中所示。在這些簡圖中，忽略了構(gòu)件的自重，并且只畫出了引起彎曲變形的載荷。出版社 理工分社材料力學頁根據(jù)支座的類型和位置，工程中梁的基本形式主要有以下種：(1)簡支梁 梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座。如圖5.1(b)、圖5.3(b)所示的梁。(2)外伸梁簡支梁的一端或兩端伸出支座之外。如圖5.2(b)所

9、示的梁。(3)懸臂梁梁的一端為固定端，另一端為自由端。如圖5.4(b)所示的梁。簡支梁或外伸梁的兩個鉸支座之間的距離稱為跨度，通常用l表示。懸臂梁的跨度是固定端到自由端的距離。出版社 理工分社材料力學頁5.3剪力和彎矩根據(jù)平衡方程，可以求得靜定梁在載荷作用下的支座反力，于是作用于梁上的外力均為已知量，進一步就可以研究梁橫截面上的內(nèi)力。以如圖5.11(a)所示的簡支梁為例，F(xiàn)1，F(xiàn)2為作用于梁上的載荷，F(xiàn)Ay和FBy為兩端的支座反力。為了顯示出梁橫截面上的內(nèi)力，沿截面mm假想地把梁分成兩部分，并以左段為研究對象(見圖5.11(b)。由于原來的梁處于平衡狀態(tài)，所以左段梁仍應處于平衡狀態(tài)。作用于左段

10、梁上的力，除外力F1和FAy外，在mm截面上還有右段梁作用于它的內(nèi)力。顯然，為了保持左段梁的平衡，mm截面的內(nèi)力必然存在兩個分量：平行于截面的力Q和位于載荷作用平面內(nèi)的力偶矩M。其中，Q稱為橫截面mm上的剪力，M稱為橫截面mm上的彎矩。剪力和彎矩統(tǒng)稱為彎曲內(nèi)力。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.11出版社 理工分社材料力學頁mm截面的內(nèi)力可以根據(jù)平衡方程求得。對于左段梁，由 Y= 0，得到可見，剪力Q是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力，它在數(shù)值上等于截面mm以左所有外力在梁軸線的垂線(y軸)上投影的代數(shù)和。由 得到可見，彎矩M 是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩，它在數(shù)值上等于截面mm以左所有

11、外力對截面形心力矩的代數(shù)和。出版社 理工分社材料力學頁mm截面的內(nèi)力也可由右段梁的平衡方程求得(見圖5.11(c)，且在數(shù)值上，剪力Q等于截面mm以右所有外力在梁軸線垂線上投影的代數(shù)和，彎矩M等于截面mm以右所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。但是，這時所求得的右段梁mm截面的剪力Q和彎矩M將與左段梁mm截面內(nèi)力的討論結(jié)果等值反向。這是因為剪力和彎矩是左段與右段在截面mm上相互作用的內(nèi)力，所以，右段作用于左段的剪力和彎矩，必然在數(shù)值上等于左段作用于右段的剪力和彎矩，但方向相反。亦即，無論用截面mm左側(cè)的外力，或截面mm右側(cè)的外力來計算剪力Q和彎矩M，其數(shù)值是相等的，但方向是相反的。出版社 理工分社

12、材料力學頁為使上述兩種算法所得到的同一截面上的彎曲內(nèi)力數(shù)值相等且符號一致，對剪力和彎矩的符號作如下規(guī)定：在所截截面的內(nèi)側(cè)取微段，使微段產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正(見圖5.12(a)，反之為負(見圖5.12(b)；使微段彎曲變形后凹面朝上的彎矩為正(見圖5.12(c)，反之為負(見圖5.12(d)。換言之，“左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正”。按照此規(guī)定，同一截面上的剪力和彎矩，無論用截面左側(cè)或右側(cè)梁段來計算，所得到的剪力和彎矩的數(shù)值及符號都是一致的。如圖5.11(b)、(c)所示中剪力和彎矩的符號均為正。同時，根據(jù)上述規(guī)定，對水平梁的某一指定截面，其左側(cè)的向上外力，或右側(cè)的向下外力，將

13、產(chǎn)生正的剪力，反之將引起負的剪力。而對于彎矩，則無論在指定截面的左側(cè)或右側(cè)，向上的外力產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力產(chǎn)生負的彎矩。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.12出版社 理工分社材料力學頁根據(jù)上述分析，可將計算剪力和彎矩的方法概括如下：求支座反力。在需求內(nèi)力的橫截面處，假想地將梁切開，并選切開后的任一段為研究對象。對所選梁段進行受力分析，圖中剪力Q和彎矩M可假設為正。根據(jù)平衡方程計算剪力Q和彎矩M。出版社 理工分社材料力學頁例5.1外伸梁受力如圖5.13(a)所示。已知集中力F，集中力偶Me=Fl。試求橫截面E上的內(nèi)力。 圖5.13出版社 理工分社材料力學頁解(1)求支座反力由梁的平衡方程 和

14、 可求得支座反力 (2)求指定截面的內(nèi)力沿截面E處假想地把梁切開，并以左段為研究對象，受力分析如圖5.13(b)所示。由左段梁的平衡方程 和 (C為截面E的形心)，可求得截面E的剪力和彎矩。即出版社 理工分社材料力學頁例5.2簡支梁受力如圖5.14(a)所示。已知a=2 m，載荷集度q=20 kN/m，集中力偶M0=150 kNm。試求梁中央截面上的內(nèi)力。 圖5.14出版社 理工分社材料力學頁解(1)求支座反力由梁的平衡方程 和 ，可求得支座反力(2)求指定截面的內(nèi)力沿梁中央截面假想地把梁切開，并以左段為研究對象，受力分析如圖5.14(b)所示。由左段梁的平衡方程 和 (D為梁中央截面的形心)

15、，可求得梁中央截面的剪力和彎矩。即出版社 理工分社材料力學頁5.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖前述分析表明，梁橫截面上的剪力和彎矩不僅與梁上的外力有關(guān)，而且隨截面位置不同而變化。若以橫坐標x表示橫截面在梁軸線上的位置，則剪力和彎矩隨截面位置的變化可表示為x的函數(shù)，即上述函數(shù)表達式分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程，統(tǒng)稱為彎曲內(nèi)力方程。出版社 理工分社材料力學頁與繪制軸力圖或扭矩圖一樣，也可用圖線來表示梁的各橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置的變化情況。繪圖時以平行于梁軸線的橫坐標x表示橫截面的位置，通常取向右為正；以縱坐標表示相應截面的剪力或彎矩，通常取向上為正。所畫出的剪力和彎矩隨截面位置的變化

16、圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，統(tǒng)稱為彎曲內(nèi)力圖。需要說明的是，工程領(lǐng)域不同，彎矩圖的畫法習慣有所不同。在機械、航空等領(lǐng)域，通常取彎矩軸向上為正，把正彎矩畫在x軸的上側(cè)；在土木工程領(lǐng)域，通常取彎矩軸向下為正，把正彎矩畫在x軸的下側(cè)。這種差別僅僅是表面上的不同，彎矩的符號規(guī)定并無改變。彎曲內(nèi)力圖可以直觀地反映出最大剪力和最大彎矩所在截面的位置及其對應的內(nèi)力數(shù)值。對于等截面梁，這些截面往往就是危險截面所在。下面通過例題說明彎曲內(nèi)力方程的列出以及彎曲內(nèi)力圖的繪制。出版社 理工分社材料力學頁例5.3簡支梁受力如圖5.15(a)所示。已知集中力F，集中力偶M0=Fa。試列出內(nèi)力方程，并繪制內(nèi)力圖。 圖5.1

17、5出版社 理工分社材料力學頁解(1)求支座反力由梁的平衡方程 和 ，可求得支座反力(2)分段列內(nèi)力方程以梁的左端點A為坐標原點，建立如圖5.15所示坐標系。由于集中力F、集中力偶M0的作用，梁各段內(nèi)的剪力或彎矩不能用同一方程式來表示，需要分段考慮。取距原點為x的任意截面，在AC段內(nèi)出版社 理工分社材料力學頁在CD段內(nèi)在DB段內(nèi)出版社 理工分社材料力學頁(3)繪制內(nèi)力圖由式(a)可知，AC段內(nèi)梁的任意截面上的剪力為常數(shù)，且符號為正，所以在AC段內(nèi)剪力圖是在x軸上方且平行于x軸的直線(見圖5.15(b)。同理，可以根據(jù)式(c)和式(e)分別繪制CD段、DB段的剪力圖。從剪力圖可以看出，最大剪力 。

18、事實上，由于梁CB段內(nèi)沒有集中力作用，所以CD段、DB段的剪力方程是相同的，可以不分段。出版社 理工分社材料力學頁由式(b)可知，AC段內(nèi)彎矩是x的一次函數(shù)，所以彎矩圖是一條斜直線。只要確定線上的兩個點，就可以確定這條直線。例如，x=0處，M=0；x=a處， 。連 接這兩點就得到AC段的彎矩圖(見圖5.15(c)。同理，可以根據(jù)式(d)和式(f)分別繪制CD段、DB段的彎矩圖。從彎矩圖可以看出，最大彎矩發(fā)生在截面D處，且 。出版社 理工分社材料力學頁同時，從內(nèi)力圖可以發(fā)現(xiàn)，在集中力作用截面C處，其左、右兩側(cè)橫截面的彎矩相同，而剪力有一突變，突變的數(shù)值就等于集中力。在集中力偶作用截面D處，其左、

19、右兩側(cè)橫截面的剪力相同，而彎矩圖有一突變，突變的數(shù)值就等于集中力偶矩。出版社 理工分社材料力學頁例5.4簡支梁受力如圖5.16(a)所示。試列出內(nèi)力方程，并繪制內(nèi)力圖。 圖5.16出版社 理工分社材料力學頁解(1)求支座反力由梁的平衡方程 和 ， 可求得支座反力(2)分段列內(nèi)力方程以梁的左端點A為坐標原點，建立如圖5.16所示坐標系。因在C處分布載荷的集度發(fā)生變化，所以分AC，CB二段建立內(nèi)力方程。取距原點為x的任意截面，在AC段內(nèi)在CD段內(nèi)出版社 理工分社材料力學頁(3)繪制內(nèi)力圖由式(g)可知，AC段內(nèi)，剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，故求出兩個端截面的剪力值 ， 連接該兩點的直線

20、即為AC段的剪力圖。由式(i)可知，CB段內(nèi)任意截面上的剪力為常數(shù)，且符號為負，所以CB段剪力圖是在x軸下方且平行于x軸的直線。梁AB的剪力圖如圖5.16(b)所示，最大剪力出版社 理工分社材料力學頁由式(h)可知，AC段內(nèi)，彎矩方程是x的二次函數(shù)，所以彎矩圖為二次曲線。先求出兩個端截面的彎矩 再由剪力圖5.16(b)可知，d截面處Q=0，彎矩取得極值。令式(g)等于零，確定d截面位置，即 所以d截面彎矩 。據(jù)此可繪出AC段彎矩圖。由式(j)可知，CB段內(nèi)，彎矩方程是x的一次函數(shù)，分別求出兩端截面的彎矩，連接該兩點的直線即為CB段的彎矩圖。梁AB的彎矩圖如圖5.16(c)所示，最大彎矩 。出版

21、社 理工分社材料力學頁例5.5外伸梁受力如圖5.17(a)所示。已知載荷集度q=3 kN/m，集中力偶m=3 kNm。試列出內(nèi)力方程，并繪制內(nèi)力圖。 圖5.17出版社 理工分社材料力學頁解(1)求支座反力由梁的平衡方程 和 ， 可求得支座反力(2)分段列內(nèi)力方程以梁的左端點C為坐標原點，建立如圖5.17所示的坐標系。在梁的CA，AD，DB這3段內(nèi)，剪力和彎矩都不能由同一個方程式來表示，所以應分三段考慮。取距原點為x的任意截面，在CA段內(nèi)出版社 理工分社材料力學頁在AD段內(nèi)M(x)是x的二次函數(shù)，根據(jù)極值條件 ，得由此解出x=4.83 m，也即在這一截面上，彎矩為極值。代入式(n)得AD段內(nèi)的最

22、大彎矩為當截面取在DB段內(nèi)時，用截面右側(cè)的外力計算剪力和彎矩比較方便，所以出版社 理工分社材料力學頁(3)繪制內(nèi)力圖依據(jù)剪力方程和彎矩方程，分別繪制剪力圖和彎矩圖(見圖5.17(b)和(c)。從圖中可以看出，最大剪力Qmax=8.5 kN，最大彎矩發(fā)生在截面D處，Mmax=7 kNm。同時，在集中力作用截面(如A截面)的兩側(cè)，剪力有一突變，突變的數(shù)值就等于集中力。在集中力偶作用截面D的兩側(cè)，彎矩圖有一突變，突變的數(shù)值就等于集中力偶矩。在以上例題中，凡是集中力(包括支座反力及集中載荷)作用的截面上，剪力似乎沒有確定的數(shù)值。事實上，所謂集中力不可能完全“集中作用于一點，它是分布于一個微段x內(nèi)的分布

23、力經(jīng)簡化后得出的結(jié)果(見圖5.18(a)。若在x范圍內(nèi)把載荷看成是均勻分布的，則剪力將連續(xù)地從Q1 變到Q2(見圖5.18(b)。同樣，對集中力偶作用的截面，也可作類似的解釋。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.18出版社 理工分社材料力學頁5.5剪力、彎矩與載荷集度間的關(guān)系軸線為直線的梁如圖5.19(a)所示。取梁的左端點為坐標原點，以軸線為x軸，y軸向上為正。梁上分布載荷的集度q(x) 是x的連續(xù)函數(shù)，并規(guī)定q(x)向上(與y軸方向一致)為正。用相距為dx的兩個橫截面從梁中取出微段，并放大為圖5.19(b)。設mm截面上的剪力和彎矩分別為Q(x)，M(x)。當坐標x有一增量dx時，Q(x)，

24、M(x)的相應增量分別是dQ(x)和dM(x)，即nn截面上的剪力和彎矩分別為Q(x)+dQ(x)和M(x)+dM(x)。顯然，圖5.19(b)中畫出的彎曲內(nèi)力都取正值，且dx微段內(nèi)無集中力和集中力偶。同時，由于dx為微量，所以作用在微段上的分布載荷q(x)可視為均勻分布。由微段的平衡方程 和 ， 得出版社 理工分社材料力學頁 圖5.19出版社 理工分社材料力學頁忽略第二式中的高階微量 ， 整理后得這就是直梁微段的平衡方程。如將式(5.2)代入式(5.1)，又可得出版社 理工分社材料力學頁以上3式揭示了直梁的剪力Q(x)、彎矩M(x)和載荷集度q(x)之間的導數(shù)關(guān)系。它表明：剪力圖上某點處的斜

25、率等于該處的載荷集度；彎矩圖上某點處的斜率等于該處的剪力值；彎矩圖上某點處的斜率變化率等于該處的載荷集度。出版社 理工分社材料力學頁根據(jù)上述導數(shù)關(guān)系，容易得出下面一些推論：在梁的某一段內(nèi)，若無分布載荷作用，即q(x)=0。結(jié)合式(5.1)可知，在這一段內(nèi)Q(x)=常數(shù)，剪力圖是平行于x軸的直線，如圖5.15(b)所示。結(jié)合式(5.3)可知，M(x)是x的一次函數(shù)，彎矩圖是斜直線，如圖5.15(c)所示。當然，若該段內(nèi)Q(x)=0，則M(x)=常數(shù)，彎矩圖為平行于x軸的直線。出版社 理工分社材料力學頁在梁的某一段內(nèi)，若作用均布載荷，即q(x)=常數(shù)。結(jié)合式(5.3)可知，在這一段內(nèi)，Q(x)是x

26、的一次函數(shù)，M(x)是x的二次函數(shù)。因而剪力圖是斜直線，彎矩圖是拋物線。例5.4和例5.5則說明了這一點。進一步分析，剪力圖中斜直線的斜率等于載荷集度。因為前述已規(guī)定載荷集度向上為正，y軸向上為正，所以，結(jié)合式(5.3)，若載荷集度向下，即q(x) 0，則彎矩圖應為向上凸的曲線，亦即彎矩圖為開口向下的拋物線中的某一段，如圖5.16(c)和圖5.17(c)所示。反之，若載荷集度向上，則彎矩圖應為向下凸的曲線，亦即彎矩圖為開口向上的拋物線中的某一段。在梁的某截面上，假設 ， 則這一截面上彎矩有一極值，可能為極大值，也可能為極小值。即彎矩的極值可能發(fā)生在剪力為零的截面上。例5.4和例5.5則說明了這

27、一點。出版社 理工分社材料力學頁在集中力作用的截面，剪力圖上有突變，突變的數(shù)值就等于集中力的大小，而突變的方向與集中力的方向有關(guān)。對于直梁段，從左至右繪制剪力圖時，突變的方向與集中力的方向相同。同時，集中力作用的截面處彎矩圖的斜率也會發(fā)生突然變化，成為一個轉(zhuǎn)折點。如例5.3中的截面C和例5.5中的截面A。出版社 理工分社材料力學頁在集中力偶作用的截面，彎矩圖上有突變，突變的數(shù)值就等于集中力偶的大小，而突變的方向與集中力偶的方向有關(guān)。對于直梁段，從左至右繪制彎矩圖時，逆時針轉(zhuǎn)向的集中力偶反映在彎矩圖上是向下突變，順時針轉(zhuǎn)向的集中力偶反映在彎矩圖上是向上突變。而當從右至左繪制彎矩圖時，這一規(guī)律恰恰

28、相反。如例5.3和例5.5中的截面D。最大彎矩可能發(fā)生在剪力等于零的截面處，也可能發(fā)生在集中力或集中力偶作用截面處(包括固定端截面處)。因而，在求最大彎矩時，應作全面分析。出版社 理工分社材料力學頁利用導數(shù)關(guān)系，式(5.1)和式(5.2)經(jīng)過積分得到式(5.4)和式(5.5)說明，在x=x2和x=x1兩截面上，剪力之差等于兩截面間載荷圖的面積，彎矩之差等于兩截面間剪力圖的面積。上述關(guān)系也可用于剪力圖和彎矩圖的繪制與校核。例如，在圖5.17中，A，D兩截面間載荷圖的面積為：-34 kN=-12 kN，這正是A，D兩截面上剪力之差。同時，A，D兩截面間剪力圖的面積為： 這也就是A，D兩截面上彎矩之

29、差。 出版社 理工分社材料力學頁利用上述這些推論，不僅可以校核剪力圖和彎矩圖的正確性，而且可以不列內(nèi)力方程直接繪制剪力圖和彎矩圖。基本步驟如下：求支座反力；在載荷不連續(xù)處對梁進行分段，并利用剪力Q(x)、彎矩M(x)和載荷集度q(x)之間的關(guān)系判斷各段剪力圖和彎矩圖的線形；用截面法和突變規(guī)律確定各段端點和特征截面的剪力和彎矩值；繪制剪力圖和彎矩圖，確定 和 出版社 理工分社材料力學頁例5.6外伸梁及其所受載荷如圖5.20(a)所示。試繪制梁的內(nèi)力圖。 圖5.20出版社 理工分社材料力學頁解(1)求支座反力由梁CB的平衡方程 和 可求得支座反力(2)分段定線形該梁的剪力、彎矩應分為CA，AD和D

30、B 3段討論。在CA和AD段，q=0，所以剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；在DB段，q=負常數(shù)，所以剪力圖為斜直線，彎矩圖為開口向下的拋物線中的某一段。出版社 理工分社材料力學頁(3)確定端值根據(jù)突變規(guī)律，C，A，B截面處剪力有突變，D截面處彎矩有突變。因而，確定C，A，B截面的剪力，就可繪制剪力圖；確定D截面左右兩側(cè)、A截面及拋物線頂點的彎矩值，就可繪制彎矩圖。容易求得由突變規(guī)律，出版社 理工分社材料力學頁(4)繪制內(nèi)力圖根據(jù)各段Q，M的端值和線形，繪制的剪力圖和彎矩圖分別如圖5.20(b)、(c)所示。其中，剪力圖CD段出現(xiàn)剪力等于零的截面，因此彎矩有極值。由平衡方程可以求得DB段內(nèi)剪力為

31、零的截面E到B端的距離為0.3 m，且可以計算出E截面的彎矩值為顯然，該梁最大剪力和最大彎矩分別為出版社 理工分社材料力學頁例5.7組合梁AB受力如圖5.21(a)所示，B處為中間鉸。已知均布載荷集度q，集中力偶 M0= qa2，試繪制梁的內(nèi)力圖。 圖5.21出版社 理工分社材料力學頁解(1)求支座反力中間鉸允許AB，BD兩段梁有相對轉(zhuǎn)動，所以它只傳遞力而不傳遞力矩。若將梁從鉸鏈B處拆開，則截面上只有剪力FB(見圖5.21(b)。由梁BD的平衡方程 和 可求得再由梁AB的平衡方程 和 ，可以求出出版社 理工分社材料力學頁(2)分段定線形該組合梁的剪力應分為AB和BD兩段討論，而彎矩應分為AB，

32、BC和CD 3段討論。在AB段，q=0，所以剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；在BC和CD段，q =負常數(shù)，所以剪力圖為斜直線，彎矩圖為開口向下的拋物線中的某一段。出版社 理工分社材料力學頁(3)確定端值根據(jù)突變規(guī)律，A，D截面處剪力有突變，A，C截面處彎矩有突變。所以，確定A，D截面的剪力，就可繪制剪力圖；確定C截面左右兩側(cè)、A截面及拋物線頂點的彎矩值，就可繪制彎矩圖。容易求得由突變規(guī)律，出版社 理工分社材料力學頁(4)繪制內(nèi)力圖根據(jù)各段Q，M的端值和線形，繪制的剪力圖和彎矩圖分別如圖5.21(c)、(d)所示。其中，剪力圖BD段出現(xiàn)剪力等于零的截面，因此彎矩有極值。由平衡方程可以求得BD段中

33、剪力為零的截面E到B截面的距離為a/2，且可以計算出E截面的彎矩值為顯然，該組合梁最大剪力和最大彎矩分別為出版社 理工分社材料力學頁需要說明的是，式(5.1)、式(5.2)和式(5.3)所揭示的剪力Q(x)、彎矩M(x)和載荷集度q(x)之間的關(guān)系只適用于直梁，且坐標系的選取和q(x)、Q(x)及M(x)的符號必須符合規(guī)定。此外，還可以利用疊加原理繪制梁的內(nèi)力圖。從前面的例題中可以發(fā)現(xiàn)，梁在外載荷作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力(剪力和彎矩)與其所受外力(分布載荷、集中力和集中力偶)是成線性關(guān)系的，即內(nèi)力是載荷的一次函數(shù)。因而，在小變形的前提下，當梁上同時作用幾種載荷時，各個載荷所引起的內(nèi)力是各自獨立、互不

34、影響的。這時，如果要繪制幾種載荷共同作用下梁的內(nèi)力圖，即可先繪制每種載荷單獨作用下梁的內(nèi)力圖，然后將其相應的縱坐標代數(shù)相加，就得到各種載荷共同作用下梁的內(nèi)力圖。這一原理稱為疊加原理。疊加原理在材料力學中應用廣泛，其限制條件是：需要計算的物理量(內(nèi)力、應力、變形等)必須是載荷的線性函數(shù)。出版社 理工分社材料力學頁例5.8懸臂梁受力如圖5.22(a)所示。已知均布載荷集度q，集中力 ，試用疊加原理繪制梁的彎矩圖。 圖5.22出版社 理工分社材料力學頁解首先繪制兩種載荷單獨作用時梁的彎矩圖，分別如圖5.22(b)、(c)所示。再將兩圖在橫坐標軸的下方疊加，因兩圖縱坐標符號不同，故重疊部分表示坐標值相

35、互抵消，保留部分的縱坐標即代表兩種載荷同時作用時梁各對應截面的彎矩值，如圖5.22(d)所示。為便于比較各縱坐標的大小，也可以以圖5.22(b)中的斜直線作為基線，將彎矩圖疊加為圖5.22(e)所示的形式。在這一疊加過程中，雖然圖5.22(c)所示彎矩圖的幾何形狀有所變化，但對應于橫坐標各點處的縱坐標并無變化，不影響疊加結(jié)果。出版社 理工分社材料力學頁5.6平面剛架與曲桿的內(nèi)力某些機器的機身或機架的軸線，是由幾段直線組成的折線，如液壓機機身、鉆床床架、軋鋼機機架等。在載荷作用下，這種結(jié)構(gòu)任意兩部分在連接處(節(jié)點)不會發(fā)生相對轉(zhuǎn)動和相對移動，即變形前后節(jié)點的夾角完全相同。這種變形前后夾角大小保持

36、不變的節(jié)點稱為剛節(jié)點。顯然，剛節(jié)點與鉸節(jié)點不同，它不僅能傳遞力，而且能傳遞力矩。圖5.23(a)中的節(jié)點C即為剛節(jié)點。用剛節(jié)點將若干桿件連接而成的框架結(jié)構(gòu)稱為剛架。剛架受力后，其任意橫截面上的內(nèi)力一般有剪力Q、彎矩M和軸力N。計算剛架橫截面的內(nèi)力仍然采用截面法。內(nèi)力可由靜力平衡方程完全確定的剛架稱為靜定剛架。繪制剛架內(nèi)力圖時，以各桿軸線作為基線，軸力圖和剪力圖可以畫在基線的任何一側(cè)，但要標明正負。出版社 理工分社材料力學頁 圖5.23出版社 理工分社材料力學頁下面通過例題分別說明平面靜定剛架和平面曲桿內(nèi)力圖的繪制。例5.9如圖5.23(a)所示為剛架結(jié)構(gòu)，由豎桿AC和橫桿CB用剛性很大的接頭焊接成一體，在AC段受均布載荷q作用。試繪制剛架的內(nèi)力圖。解(1)求支座反力由平衡