第一章 整數(shù)可除性

1、 第一章第一章 整數(shù)的可除性整數(shù)的可除性 初等數(shù)論初等數(shù)論美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 1.1 1.1 整數(shù)的除法整數(shù)的除法 帶余除法定理帶余除法定理 初等數(shù)論初等數(shù)論美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 定義定義1.1.1 設(shè)設(shè)a，b是整數(shù)，是整數(shù)，b 0，如果存在整數(shù)，如果存在整數(shù)c，使得使得a = bc成立，則稱成立，則稱a被被b

2、整除，整除，a是是b的倍數(shù)，的倍數(shù)，b是是a的約數(shù)（因數(shù)或除數(shù)），并且使用記號(hào)的約數(shù)（因數(shù)或除數(shù)），并且使用記號(hào)b a；如果不；如果不存在整數(shù)存在整數(shù)c使得使得a = bc成立，則稱成立，則稱a不被不被b整除，記為整除，記為b a。 顯然每個(gè)非零整數(shù)顯然每個(gè)非零整數(shù)a都有約數(shù)都有約數(shù) 1， a，稱這四個(gè)，稱這四個(gè)數(shù)為數(shù)為a的平凡約數(shù)，的平凡約數(shù)，a的另外的約數(shù)稱為非平凡約數(shù)。的另外的約數(shù)稱為非平凡約數(shù)。被被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不被整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不被2整除的整數(shù)稱為奇整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。數(shù)。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦

3、意淡淡的笑容定理定理1.1.1 下面的結(jié)論成立：下面的結(jié)論成立：() a b ab；() a b，b c a c；() b ai，i = 1, 2, , k b a1x1 a2x2 akxk，此處，此處xi（i = 1, 2, , k）是任意的整數(shù)；）是任意的整數(shù)；() b a bc ac，此處，此處c是任意的非零整數(shù)；是任意的非零整數(shù)；() b a，a 0 |b| |a|；b a且且|a| 1，e2 1，使得，使得d1 = e1e2，因此，因此，e1和和e2也是也是a的正的非平凡約數(shù)。這與的正的非平凡約數(shù)。這與d1的最小性矛盾。所以的最小性矛盾。所以d1是素?cái)?shù)。證畢。是素?cái)?shù)。證畢。 美麗有兩

4、種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 推論推論 任何大于任何大于1的合數(shù)的合數(shù)a必有一個(gè)不超過(guò)的素約數(shù)。必有一個(gè)不超過(guò)的素約數(shù)。 證明證明 使用定理使用定理2中的記號(hào)，有中的記號(hào)，有a = d1d2，其中，其中d1 1是最小的是最小的素約數(shù)，所以素約數(shù)，所以d12 a。證畢。證畢。 例例1.1.1 設(shè)設(shè)r是正奇數(shù)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)是正奇數(shù)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，有，有n 21r 2 r n r。 解解 對(duì)于任意的正整數(shù)對(duì)于任意的正整數(shù)a，b以及正奇數(shù)以及正奇數(shù)k，有，有ak bk = (a b)(ak 1 ak 2b ak

5、3b2 bk 1) = (a b)q，其中其中q是整數(shù)。記是整數(shù)。記s = 1r 2 r n r，則，則2s = 2 (2 r n r) (3 r (n 1)r) (n r 2 r) = 2 (n 2)Q，其中其中Q是整數(shù)。若是整數(shù)。若n 2 s，由上式知，由上式知n 2 2，因?yàn)?，因?yàn)閚 2 2，這是不可能的，所以這是不可能的，所以n 2s。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.1.3 以以d(n)表示表示n的正約數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：的正約數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：d(1) = 1，d(2) = 2，d(3) = 2，d(4

6、) = 3， 。問(wèn)：。問(wèn)：d(1) d(2) d(1997)是否為偶數(shù)？是否為偶數(shù)？ 解解 對(duì)于對(duì)于n的每個(gè)約數(shù)的每個(gè)約數(shù)d，都有，都有n = d ，因此，因此，n的正的正約數(shù)約數(shù)d與是成對(duì)地出現(xiàn)的。只有當(dāng)與是成對(duì)地出現(xiàn)的。只有當(dāng)d =，即，即n = d2時(shí)，時(shí)，d和才是同一個(gè)數(shù)。故當(dāng)且僅當(dāng)和才是同一個(gè)數(shù)。故當(dāng)且僅當(dāng)n是完全平方數(shù)時(shí)，是完全平方數(shù)時(shí)，d(n)是奇數(shù)。是奇數(shù)。因?yàn)橐驗(yàn)?42 1997 452，所以在，所以在d(1), d(2), , d(1997)中恰有中恰有44個(gè)奇數(shù)，故個(gè)奇數(shù)，故d(1) d(2) d(1997)是偶是偶數(shù)。數(shù)。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深

7、刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.1.4 設(shè)整數(shù)設(shè)整數(shù)k 1，證明：，證明：() 若若2k n 2k 1，1 a n，a 2k，則，則2ka；() 若若3k 2n 1 3k + 1，1 b n，2b 1 3k，則則3k2b 1。 解解 () 若若2k|a，則存在整數(shù)則存在整數(shù)q，使得，使得a= q2k。顯然。顯然q只可能是只可能是0或或1。此時(shí)。此時(shí)a= 0或或2k ，這都是不可能的，這都是不可能的，所以所以2ka；() 若若 3k|2b-1，則存在整數(shù)，則存在整數(shù)q，使得，使得2b-1= q3k，顯，顯然然q只可能是只可能是0，1, 或或2。此時(shí)。此時(shí)2

8、b-1= 0，3k，或，這都，或，這都是不可能的，所以是不可能的，所以3k 2b 1。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.1.7 證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)a，使得，使得n4 a（n = 1, 2, 3, ）都是合數(shù)。都是合數(shù)。 解解 取取a = 4k4，對(duì)于任意的，對(duì)于任意的n N，有，有 n4 4k4 = (n2 2k2)2 4n2k2 = (n2 2k2 2nk)(n2 2k2 2nk)。因?yàn)橐驗(yàn)閚2 2k2 2nk = (n k)2 k2 k2，所以，對(duì)于任意的所以，對(duì)于任意的k

9、= 2, 3, 以及任意的以及任意的n N，n4 a是合數(shù)。是合數(shù)。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.1.8 設(shè)設(shè)a1, a2, , an是整數(shù)，且是整數(shù)，且a1 a2 an = 0，a1a2an = n，則則4 n。 解解 如果如果2n，則，則n, a1, a2, , an都是奇數(shù)。于是都是奇數(shù)。于是a1 a2 an是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和，不可能等于零，這與題設(shè)矛盾，所以是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和，不可能等于零，這與題設(shè)矛盾，所以2 n，即在，即在a1, a2, , an中至少有一個(gè)偶數(shù)。如果只有一個(gè)偶數(shù)，中至少有一個(gè)偶數(shù)

10、。如果只有一個(gè)偶數(shù)，不妨設(shè)為不妨設(shè)為a1，那么，那么2ai（2 i n）。此時(shí)有等式）。此時(shí)有等式a2 an = a1，在上式中，左端是在上式中，左端是(n 1)個(gè)奇數(shù)之和，右端是偶數(shù)，這是不可個(gè)奇數(shù)之和，右端是偶數(shù)，這是不可能的，因此，在能的，因此，在a1, a2, , an中至少有兩個(gè)偶數(shù)，即中至少有兩個(gè)偶數(shù)，即4 n。 初等數(shù)論初等數(shù)論 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.1.9 若若n是奇數(shù)，則是奇數(shù)，則8 n2 1。 解解 設(shè)設(shè)n = 2k 1，則，則 n2 1= (2k 1)2 1 = 4k(k 1)

11、。在在k和和k 1中有一個(gè)是偶數(shù)，所以中有一個(gè)是偶數(shù)，所以8 n2 1。 例例9的結(jié)論雖然簡(jiǎn)單，卻是很有用的。例如，使用的結(jié)論雖然簡(jiǎn)單，卻是很有用的。例如，使用例例3中的記號(hào)，我們可以提出下面的問(wèn)題：中的記號(hào)，我們可以提出下面的問(wèn)題： 問(wèn)題問(wèn)題 d(1)2 d(2)2 d(1997)2被被4除的余數(shù)是除的余數(shù)是多少？多少？ 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 下面，我們要介紹帶余數(shù)除法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。下面，我們要介紹帶余數(shù)除法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。 定理定理1.1.3(帶余數(shù)除法帶余數(shù)除法) 設(shè)設(shè)a與與b是兩個(gè)整數(shù)，是兩個(gè)整數(shù)，b

12、 0，則存在唯一的兩，則存在唯一的兩個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù)q和和r，使得，使得 a = bq r，0 r |b|。 (1) 證明證明 存在性存在性 若若b a，a = bq，q Z，可取，可取r = 0。若。若ba，考慮集合，考慮集合A = a kb；k Z ,其中其中Z表示所有整數(shù)的集合，以后，仍使用此記號(hào)，并以表示所有整數(shù)的集合，以后，仍使用此記號(hào)，并以N表示所有表示所有正整數(shù)的集合。正整數(shù)的集合。 在集合在集合A中有無(wú)限多個(gè)正整數(shù)，設(shè)最小的正整數(shù)是中有無(wú)限多個(gè)正整數(shù)，設(shè)最小的正整數(shù)是r = a k0b，則必，則必有有 0 r |b|，即，即a k0b |b|，a k0b |b| 0，這樣，在集合，

13、這樣，在集合A中，又有正整數(shù)中，又有正整數(shù)a k0b |b| r，這與，這與r的最小性矛盾。所以式的最小性矛盾。所以式(2)必定成立。取必定成立。取q = k0知式知式(1)成立。存在性成立。存在性得證。得證。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 唯一性唯一性 假設(shè)有兩對(duì)整數(shù)假設(shè)有兩對(duì)整數(shù)q ，r 與與q ，r 都使得式都使得式(1)成立，成立，即即a = q b r = q b r ，0 r , r |b|，則則(q q )b = r r ，|r r | |b|， (3)因此因此r r = 0，r = r ，再由式，再

14、由式(3)得出得出q = q ，唯一性得證。，唯一性得證。 證畢。證畢。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 定義定義1.1.3 稱式稱式(1)中的中的q是是a被被b除的商，除的商，r是是a被被b除的余數(shù)。除的余數(shù)。 由定理由定理1可知，對(duì)于給定的整數(shù)可知，對(duì)于給定的整數(shù)b，可以按照被，可以按照被b除除的余數(shù)將所有的整數(shù)分成的余數(shù)將所有的整數(shù)分成b類。在同一類中的數(shù)被類。在同一類中的數(shù)被b除的余數(shù)相同。這就使得許多關(guān)于全體整數(shù)的問(wèn)題除的余數(shù)相同。這就使得許多關(guān)于全體整數(shù)的問(wèn)題可以歸化為對(duì)有限個(gè)整數(shù)類的研究?？梢詺w化為對(duì)有

15、限個(gè)整數(shù)類的研究。 以后在本書中，除特別聲明外，在談到帶余數(shù)除以后在本書中，除特別聲明外，在談到帶余數(shù)除法時(shí)總是假定法時(shí)總是假定b是正整數(shù)。是正整數(shù)。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.1.14 設(shè)設(shè)a0, a1, , an Z，f(x) = anxn a1x a0 ，已知，已知f(0)與與f(1)都不是都不是3的倍數(shù)，證明：若方程的倍數(shù)，證明：若方程f(x) = 0有整數(shù)解，則有整數(shù)解，則3 f( 1) = a0 a1 a2 ( 1)nan 。 解解 對(duì)任何整數(shù)對(duì)任何整數(shù)x，都有，都有x = 3q r，r =

16、 0，1或或2，q Z。() 若若r = 0，即，即x = 3q，q Z，則，則f(x) = f(3q) = an(3q)n a1(3q) a0 = 3Q1 a0 = 3Q1 f(0)，其中其中Q1 Z，由于，由于f(0)不是不是3的倍數(shù)，所以的倍數(shù)，所以f(x) 0；() 若若r = 1，即，即x = 3q 1，q Z，則，則f(x) = f(3q 1) = an(3q 1)n a1(3q 1) a0= 3Q2 an a1 a0 = 3Q2 f(1)，其中其中Q2 Z。由于。由于f(1)不是不是3的倍數(shù)，所以的倍數(shù)，所以f(x) 0。因此若因此若f(x) = 0有整數(shù)解有整數(shù)解x，則必是，則

17、必是x = 3q 2 = 3q 1，q Z，于是，于是0 = f(x) = f(3q 1) = an(3q 1)n a1(3q 1) a0= 3Q3 a0 a1 a2 ( 1)nan = 3Q3 f( 1)，其中其中Q3 Z。所以。所以3 f( 1) = a0 a1 a2 ( 1)nan 。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.1.15 證明：對(duì)于任意的整數(shù)證明：對(duì)于任意的整數(shù)n，f(n) = 3n5 5n3 7n被被15整除。整除。 解解 對(duì)于任意的正整數(shù)對(duì)于任意的正整數(shù)n，記，記n = 15q r，0 r 0

18、是整數(shù)，是整數(shù)，p為素?cái)?shù)）的形式。為素?cái)?shù)）的形式。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 6. 證明：證明：12 n4 2n3 11n2 10n，n Z。 7. 設(shè)設(shè)3 a2 b2，證明：，證明：3 a且且3 b。 8. 設(shè)設(shè)n，k是正整數(shù)，證明：是正整數(shù)，證明：nk與與nk + 4的個(gè)位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同。字相同。 9. 證明：對(duì)于任何整數(shù)證明：對(duì)于任何整數(shù)n，m，等式，等式n2 (n 1)2 = m2 2不可能成立。不可能成立。 10. 設(shè)設(shè)a是自然數(shù)，問(wèn)是自然數(shù)，問(wèn)a4 3a2 9是素?cái)?shù)還是合數(shù)？是素?cái)?shù)還是合數(shù)？ 1.

19、2 1.2 最大公約數(shù)與最大公約數(shù)與 輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法 初等數(shù)論初等數(shù)論美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 定義定義1.2.1 整數(shù)整數(shù)a1, a2, , ak的公共約數(shù)稱為的公共約數(shù)稱為a1, a2, , ak的的公約數(shù)。不全為零的整數(shù)公約數(shù)。不全為零的整數(shù)a1, a2, , ak的公約數(shù)中最大的一個(gè)的公約數(shù)中最大的一個(gè)叫做叫做a1, a2, , ak的最大公約數(shù)（或最大公因數(shù)），記為的最大公約數(shù)（或最大公

20、因數(shù)），記為(a1, a2, , ak)。 由于每個(gè)非零整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，所以最大公約數(shù)由于每個(gè)非零整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，所以最大公約數(shù)是存在的，并且是正整數(shù)。是存在的，并且是正整數(shù)。 如果如果(a1, a2, , ak) = 1，則稱，則稱a1, a2, , ak是互素的（或互質(zhì)是互素的（或互質(zhì)的）；如果的）；如果(ai, a j) = 1，1 i, j k，i j，則稱則稱a1, a2, , ak是兩兩互素的（或兩兩互質(zhì)的）。是兩兩互素的（或兩兩互質(zhì)的）。 顯然，顯然，a1, a2, , ak兩兩互素可以推出兩兩互素可以推出(a1, a2, , ak) = 1，反，反之則不然，

21、例如之則不然，例如(2, 6, 15) = 1，但，但(2, 6) = 2。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 定理定理1.2.1 下面的等式成立：下面的等式成立：() (a1, a2, , ak) = (|a1|, |a2|, , |ak|)；() (a, 1) = 1，(a, 0) = |a|，(a, a) = |a|；() (a, b) = (b, a)；() 若若p是素?cái)?shù)，是素?cái)?shù)，a是整數(shù)，則是整數(shù)，則(p, a) = 1或或p a；() 若若a = bq r，則，則(a, b) = (b, r)。 證明證明

22、()()留作習(xí)題。留作習(xí)題。 () 由第一節(jié)定理由第一節(jié)定理1可知，如果可知，如果d a，d b，則有，則有d r = a bq，反之，若反之，若d b，d r，則，則d a = bq r。因此。因此a與與b的全體公約數(shù)的的全體公約數(shù)的集合就是集合就是b與與r的全體公約數(shù)的集合，這兩個(gè)集合中的最大正數(shù)的全體公約數(shù)的集合，這兩個(gè)集合中的最大正數(shù)當(dāng)然相等，即當(dāng)然相等，即(a, b) = (b, r)。證畢。證畢。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 定理定理1.2.2 設(shè)設(shè)a1, a2, , ak Z，記，記 A = y；y

23、 =，xi Z， i k 。如果如果y0是集合是集合A中最小的正數(shù)，則中最小的正數(shù)，則y0 = (a1, a2, , ak)。 證明證明 設(shè)設(shè)d是是a1, a2, , ak的一個(gè)公約數(shù)，則的一個(gè)公約數(shù)，則d y0，所以所以d y0。另一方面，由第二節(jié)例。另一方面，由第二節(jié)例2知，知，y0也是也是a1, a2, , ak的公約數(shù)。因此的公約數(shù)。因此y0是是a1, a2, , ak的公約數(shù)的公約數(shù)中的最大者，即中的最大者，即y0 = ( a1, a2, , ak)。證畢。證畢。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 定理定理1

24、.2.3 (a1, a2, , ak) = 1的充要條件是存在整的充要條件是存在整數(shù)數(shù)x1, x2, , xk，使得，使得 a1x1 a2x2 akxk = 1。 (1) 證明證明 必要性必要性 由定理由定理2得到。得到。充分性充分性 若式若式(1)成立，如果成立，如果 (a1, a2, , ak) = d 1，那么由那么由d ai（1 i k）推出）推出d a1x1 a2x2 akxk = 1，這是不可能的。所以有，這是不可能的。所以有(a1, a2, , ak) = 1。 證畢。證畢。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的

25、笑容 定理定理1.2.4 對(duì)于任意的整數(shù)對(duì)于任意的整數(shù)a，b，c，下面的結(jié)論成立：，下面的結(jié)論成立：() 由由b ac及及(a, b) = 1可以推出可以推出b c；() 由由b c，a c及及(a, b) = 1可以推出可以推出ab c。 證明證明 () 若若(a, b) = 1，由定理，由定理2，存在整數(shù)，存在整數(shù)x與與y，使得，使得ax by = 1。因此因此acx bcy = c。 (2)由上式及由上式及b ac得到得到b c。結(jié)論。結(jié)論()得證；得證；() 若若(a, b) = 1，則存在整數(shù)，則存在整數(shù)x，y使得式使得式(2)成立。由成立。由b c與與a c得到得到ab ac，ab

26、 bc，再由式，再由式(2)得到得到ab c。結(jié)論。結(jié)論()得證。證畢。得證。證畢。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 推論推論1.2.4 若若p是素?cái)?shù)，則下述結(jié)論成立：是素?cái)?shù)，則下述結(jié)論成立：() p ab p a或或p b；() p a2 p a。 證明證明 留作習(xí)題。留作習(xí)題。 推論推論1.2.5 若若 (a, b) = 1，則，則(a, bc) = (a, c)。 證明證明 設(shè)設(shè)d是是a與與bc的一個(gè)公約數(shù)，則的一個(gè)公約數(shù)，則d a，d bc，由式（，由式（2）得到，得到，d|c, 即即d是是a與與c的公約數(shù)。

27、另一方面，若的公約數(shù)。另一方面，若d是是a與與c的公約的公約數(shù)，則它也是數(shù)，則它也是a與與bc的公約數(shù)。因此，的公約數(shù)。因此，a與與c的公約數(shù)的集合，的公約數(shù)的集合，就是就是a與與bc的公約數(shù)的集合，所以的公約數(shù)的集合，所以(a, bc) = (a, c)。證畢。證畢。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 定理定理1.2.5 對(duì)于任意的對(duì)于任意的n個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù)a1, a2, , an，記，記(a1, a2) = d2，(d2, a3) = d3，(dn 2, an 1) = dn 1，(dn 1, an) = dn，則則

28、 dn = (a1, a2, , an)。 證明證明 由定理由定理2的推論，我們有的推論，我們有 dn = (dn 1, an) dn an，dn dn 1，dn 1 = (dn 2, an 1) dn 1 an 1，dn 1 dn 2， dn an，dn an 1，dn dn 2，dn 2 = (dn 3, an 2) dn 2 an 2，dn 2 dn 3 dn an，dn an 1，dn an 2，dn dn 3， d2 = (a1, a2) dn an，dn an 1，dn a2，dn a1，即即dn是是a1, a2, , an的一個(gè)公約數(shù)。的一個(gè)公約數(shù)。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻

29、又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 另一方面，對(duì)于另一方面，對(duì)于a1, a2, , an的任何公約數(shù)的任何公約數(shù)d，由定理，由定理2的推的推論及論及d2, , dn的定義，依次得出的定義，依次得出 d a1，d a2 d d2， d d2，d a3 d d3， d dn 1，d an d dn，因此因此dn是是a1, a2, , an的公約數(shù)中的最大者，即的公約數(shù)中的最大者，即dn = (a1, a2, , an)。 證畢。證畢。 美麗有兩種美麗有兩種一是深刻又動(dòng)人的方程一是深刻又動(dòng)人的方程一是你泛著倦意淡淡的笑容一是你泛著倦意淡淡的笑容 例例1.

30、2.1 1.2.1 證明：若證明：若n n是正整數(shù)，則是既約分?jǐn)?shù)。是正整數(shù)，則是既約分?jǐn)?shù)。 解解 由定理由定理1 1得到得到(21n (21n 4, 14n 4, 14n 3) = (7n 3) = (7n 1, 14n 1, 14n 3) = (7n 3) = (7n 1, 1) = 1 1, 1) = 1。注：一般地，若注：一般地，若(x, y) = 1(x, y) = 1，那么，對(duì)于任意的整數(shù)，那么，對(duì)于任意的整數(shù)a a，b b，有，有(x, y) = (x (x, y) = (x ay, y) = (x ay, y) = (x ay, y ay, y b(x b(x ay) = (x

31、ay) = (x ay, (ab ay, (ab 1)y 1)y bx) bx)，因此，是既約分?jǐn)?shù)。因此，是既約分?jǐn)?shù)。 例例1.2.2 1.2.2 證明：證明：121n2 121n2 2n 2n 12 12，n n Z Z。 解解 由于由于121 = 112121 = 112，n2 n2 2n 2n 12 = (n 12 = (n 1)2 1)2 11 11，所以，所以，若若112112 (n (n 1)2 1)2 11 11， (3)(3)則則1111 (n (n 1)2 1)2，因此，由定理，因此，由定理4 4的推論的推論1 1得到得到1111 n n 1 1，112112 (n (n 1)2 1)2。再由式再由式(3)(3)得到得到 112112 1111，這是不可能的。所以式這是