數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、數(shù)列求和的根本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底.在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占 有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外, 大局部數(shù)列的求和都需要一定的技巧 .一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式:Snn(& an)na1n(n 1)d2、等比數(shù)列求和公式:Snna1 a1(1(q 1)3、nSnkk 11n(n 2i)a anq1 q、Sn(qnk2k 11)1-n(n 1)(2n 1)65、nSnk3k 1121n(n 1)Sn(n 32)Sn 1解：由等差數(shù)列求和公式

2、得Snin(nf (n)Sn(n 32)&1*設(shè) $= 1+2+3+n, nCN,求 f(n)2 50150n 1 z=n 34n 64 n 34 64( ,nn-8 一 . . .1一當(dāng) n n 7,即 n = 8 時(shí),f (n) max 一. 850二、錯(cuò)位相減法求和n項(xiàng)和,常用錯(cuò)項(xiàng)相減法.對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前an bn cn ,其bn是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,Snb1C1b2 c2bn 1cn 1bnCn ,那么 qSn bbn 1CnbnCn 1 ,例3求和：Sn3x 5x27x3(2n 1)xn解：由題可知, (2n 1)xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通

3、項(xiàng)與等比數(shù)列 xn通項(xiàng)之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x37x4(2n 1)xn設(shè)制錯(cuò)位得(1 x)Sn2x2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn錯(cuò)位相減再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1x)Sn 12x 11- (2n 1)xnS (2nSnn 11)x(2n(1 x)21)xn (1 x)十將切2462n求數(shù)歹U_一, 2 , 3 , , n , 2222前n項(xiàng)的和.三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列反序,再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n 個(gè)a1an ).例5求證：C：3C： 5C；(2n1)Cnn(n 1)2n證實(shí)：設(shè)SnC0

4、 3C：5C2(2n1)C：把式右邊倒轉(zhuǎn)過來(lái)得Sn(2n1).(2n1)C：13cnC0反序又由cnmC； m可得加Sn(2n1)C0(2n1)cn3C；c：喳得2Sn(2n2)(C：C：Cnn) 2(n 1) 2n(反序相Sn(n1) 2n求 sin21 sin2 2sin2 32 2sin 88 sin 89的值四、分組分項(xiàng)法求和有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列, 也不是等比數(shù)列,假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開, 可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可11例7求數(shù)列的刖n項(xiàng)和：1 1, 4, 7, a a11解：設(shè) Sn (1 1) (4) ( 2 7)aa將其每一項(xiàng)拆開再重新組

5、合得(分組)3n 2,1(3n 2) ac 111Sn(1 -2-)(1 4 7 3n 2)a a a當(dāng)a=1時(shí),Sn當(dāng)a 1時(shí),Snn (3n 1)n(3n 1)n221工an(3n 1)n a a1 n1 12 a 1I a(分組求和)(3n 1)n2求數(shù)列n(n+1)(2n+1) 的前n項(xiàng)和.解：設(shè) ak k(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 k五、裂項(xiàng)相消法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終到達(dá)求和的目的通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如:(1) an f (n 1) f (n)an(5 ) an(6)(2)

6、sin 1cosn cos(n 1)tan(n 1) tan n1-1n(n 1) n n 11n(n 1)(n 2)n 21n(n 1) 2n(4 ) an-人2(n 1) n 1 n(n 1)2n(2n)2(2n 1)(2n 1)1 1,2 2n 1 2n 11(n 1)(n-2)n 2n 1 (n 1)2n,那么& 1 (n 1)2一 111例9 求數(shù)列 -,-, 的刖n項(xiàng)和.1.2 .2.3. n % n 1f ann 1. n(裂項(xiàng))那么Sn1,2,2.3裂項(xiàng)求和(.3.2)(-.n 1、.n)例10在數(shù)列an中,anbn2一,求數(shù)列b n的前n項(xiàng)的和.解:anbn1 8L n裂項(xiàng)數(shù)

7、列bn的前n項(xiàng)和Sn8(1= 8(1112) (2J .n 13)8nn 1(3六、并項(xiàng)法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列,將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),和時(shí),可將這些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求$.)裂項(xiàng)求和因此,在求數(shù)列的例 12求 cos1解：設(shè) Sn= cos1+ cos2 + cos3 + + cos178+ cos179+ cos2 + cos3 + + cos178 + cos179的值.cosnSn=( cos1cos(180 n找特殊性質(zhì)項(xiàng)+ cos179 )+ ( cos2+ cos178)+ (cos3 + cos177 )+ (cos89 =0+ cos91)+ cos9

8、0合并求和例 13數(shù)列an： a11,a23, a32, an 2anan,求S002.解：設(shè) S2002= a1 a2a3a2002由 a11, a23,a32,a n 2 anan可得a41, a53,a62,a71, a83, a92, ai01, ai13,配 2,a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41 , a6k 53, a6k 62a6k 1a6k 2a6k 3 a6k 4a6k 5a6k 6找特殊性質(zhì)項(xiàng)S2002= a1 a2 a382002(合并求和)(a1 a2a3a6 ) (a7a8a12 )(a6k 1 a6k 2a6k 6)(a1993a1994a

9、1998 )a1999820008200182002a1999a2000a200182002=a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4=5七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析,找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征,然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是一個(gè)重要的方法找通項(xiàng)及特征11(10 n 1)(分組求和)911)n個(gè)1例 15求 1 11 111解：由于1111k個(gè)1 1 11 11111(101 1)9112=(101 1029111 1之和.n個(gè)11 9999 1(10k 1)9 k 個(gè) 19111 1n個(gè)112131(102 1) -(103 1)99110310n)(1 19-10(10n 1) n910 191=(108110 9n)例16數(shù)列an： an8,求