2017-2018學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1課時提升作業(yè) 十五 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1 精講優(yōu)練課型 Word版含答案

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè) 十五雙曲線的簡單幾何性質(zhì)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015·安徽高考)下列雙曲線中,焦點在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是()a.x2-y24=1b.x24-y2=1c.y24-x2=1d.y2-x24=1【解析】選c.由題意知,選項a,b的焦點在x軸上,故排除a,b,c項的漸近線方程為y=±2x.2.(2016·合肥高二檢測)點p為雙曲線c1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)和圓c

2、2:x2+y2=a2+b2的一個交點,且2pf1f2=pf2f1,其中f1,f2為雙曲線c1的兩個焦點,則雙曲線c1的離心率為()a.3b.1+2c.3+1d.2【解題指南】由題意:pf1pf2,且2pf1f2=pf2f1,故pf1f2=30°,pf2f1=60°.設(shè)|pf2|=m,則|pf1|=3m,|f1f2|=2m.由e=2c2a=|f1f2|pf1|-|pf2|,能求出雙曲線的離心率.【解析】選c.由題意:pf1pf2,且2pf1f2=pf2f1,所以pf1f2=30°,pf2f1=60°.設(shè)|pf2|=m,則|pf1|=3m,|f1f2|=2m

3、.e=2c2a=|f1f2|pf1|-|pf2|=2m3m-m=3+1.【補償訓(xùn)練】雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率為()a.2b.3c.2d.32【解析】選c.依題意ba·-ba=-1,所以a2=b2.則e2=c2a2=a2+b2a2=2,所以e=2.3.(2016·寧波高二檢測)與雙曲線x29-y216=1有共同的漸近線,且經(jīng)過點(-3,23)的雙曲線方程為()a.x24-4y29=1b.y24-4x29=1c.4y29-x24=1d.4x29-y24=1【解析】選d.設(shè)所求雙曲線方程為x29-y216

4、=(0),把(-3,23)代入方程得99-1216=,所以=14.故雙曲線方程為x29-y216=14,即4x29-y24=1.4.設(shè)a>1,則雙曲線x2a2-y2(a+1)2=1的離心率e的取值范圍是()a.(2,2)b.(2,5)c.(2,5)d.(2,5)【解析】選b.e2=a2+(a+1)2a2=1a2+2a+2=1a+12+1,因為a>1,所以0<1a<1,1<1a+1<2,所以2<e2<5.又e>1,所以2<e<5.5.(2016·沈陽高二檢測)已知雙曲線x2-y28=1的左頂點為a1,右焦點為f2,p為雙

5、曲線右支上一點,則pa1·pf2的最小值為()a.-4b.-8116c.1d.0【解題指南】根據(jù)題意,設(shè)p(x,y)(x1),根據(jù)雙曲線的方程,易得a1,f2的坐標(biāo),將其代入pa1·pf2中,可得關(guān)于x,y的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線的方程,可得pa1·pf2的二次函數(shù),由x的范圍,可得答案.【解析】選a.根據(jù)題意雙曲線x2-y28=1,設(shè)p(x,y)(x1),易得a1(-1,0),f2(3,0),pa1·pf2=(-1-x,-y)·(3-x,-y)=x2-2x-3+y2,又x2-y28=1,故y2=8(x2-1),于是pa1·pf2=9x2

6、-2x-11=9x-192-1009.當(dāng)x=1時,取到最小值-4.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·山東高考)已知雙曲線e:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形abcd的四個頂點在e上,ab,cd的中點為e的兩個焦點,且2|ab|=3|bc|,則e的離心率是.【解題指南】充分利用圖象的幾何性質(zhì),找出矩形一個頂點的坐標(biāo),代入曲線方程,便可求得離心率.【解析】假設(shè)點a在左支位于第二象限內(nèi),由雙曲線和矩形的性質(zhì),可得a-c,3c2,代入雙曲線方程x2a2-y2b2=1,可得c2a2-94c2c2-a2=1,所以e2-1=94e2e2-1,又e>

7、1,所以可求得e=2.答案:27.(2016·菏澤高二檢測)設(shè)f1,f2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,以線段f1f2為直徑的圓交雙曲線左支于a,b兩點,且af1b=120°,若雙曲線的離心率介于整數(shù)k與k+1之間,則k=.【解析】因為以線段f1f2為直徑的圓交雙曲線左支于a,b兩點,且af1b=120°,所以of1a是等邊三角形,所以|af1|=c,|af2|=3c,所以2a=|af2|-|af1|=(3-1)c,所以e=ca=23-1=3+1,因為雙曲線的離心率介于整數(shù)k與k+1之間,所以k=2.答案:28.(20

8、16·廈門高二檢測)設(shè)橢圓c1的離心率為513,焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線c2上的點到橢圓c1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】設(shè)橢圓c1的方程為x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),由已知得2a1=26,e=c1a1=513,所以a1=13,c1=5.所以焦距為2c1=10.又因為8<10,所以曲線c2是雙曲線.設(shè)其方程為x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0),則a2=4,c2=5,所以b22=52-42=32=9,所以曲線c2的方程為x216-y29=1.答案:x216-y29=1三、解答題

9、(每小題10分,共20分)9.(2016·威海高二檢測)已知雙曲線的一條漸近線為x+3y=0,且與橢圓x2+4y2=64有相同的焦距,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】橢圓方程為x264+y216=1,所以橢圓的焦距為83.當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時,設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以a2+b2=48,ba=33,解得a2=36,b2=12.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236-y212=1.當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時,設(shè)雙曲線方程為y2a'2-x2b'2=1(a>0,b>0),所以a'2+b'2=48,a'b

10、'=33,解得a'2=12,b'2=36.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212-x236=1.由可知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236-y212=1或y212-x236=1.10.已知雙曲線的中心在原點,焦點f1,f2在坐標(biāo)軸上,離心率為2,且過點(4,-10).(1)求此雙曲線的方程.(2)若點m(3,m)在此雙曲線上,求證:f1m·f2m=0.【解析】(1)因為離心率e=ca=2,所以a=b.設(shè)雙曲線方程為x2-y2=n(n0),因為點(4,-10)在雙曲線上,所以n=42-(-10)2=6.所以雙曲線方程為x2-y2=6.(2)因為點m(3,m)在雙曲線上,故m2=

11、3.又點f1(-23,0),點f2(23,0),所以kmf1·kmf2=m3+23·m3-23=-m23=-1.所以f1m·f2m=0.一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2014·重慶高考)設(shè)f1,f2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點p使得|pf1|+|pf2|=3b,|pf1|·|pf2|=94ab,則該雙曲線的離心率為()a.43b.53c.94d.3【解析】選b.由雙曲線的定義得|pf1|-|pf2|=2a,又|pf1|+|pf2|=3b,所以(|pf1|+|pf2|)2

12、-(|pf1|-|pf2|)2=9b2-4a2,即4|pf1|·|pf2|=9b2-4a2,又4|pf1|·|pf2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9ba2-9ba-4=0,則3ba+13ba-4=0,解得ba=43ba=-13舍去,則雙曲線的離心率e=1+ba2=53.2.(2016·唐山高二檢測)設(shè)f1,f2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點p滿足|pf2|=|f1f2|,且cospf1f2=45,則雙曲線的漸近線方程為()a.3x±4y=0b.4x±3y=0c.3

13、x±5y=0d.5x±4y=0【解題指南】根據(jù)|pf2|=|f1f2|,結(jié)合雙曲線的定義,可得出|pf1|=2a+2c,再由cospf1f2=45,求出ba的值.【解析】選b.作f2qpf1于點q,因為|f1f2|=|pf2|,所以點q為pf1的中點,由雙曲線的定義知|pf1|-|pf2|=2a,所以|pf1|=2a+2c,故|f1q|=a+c,因為cospf1f2=45,所以|f1q|f1f2|=cospf1f2,即a+c2c=45,得3c=5a,所以3a2+b2=5a,得ba=43,故雙曲線的漸近線方程為y=±43x,即4x±3y=0.二、填空題(每

14、小題5分,共10分)3.(2016·深圳高二檢測)已知雙曲線an-1y2-anx2=an-1an的焦點在y軸上,一條漸近線方程為y=2x,其中an是以4為首項的正數(shù)數(shù)列,則數(shù)列an的通項公式是.【解析】雙曲線即:y2an-x2an-1=1.因為an是以4為首項的正數(shù)數(shù)列,一條漸近線方程為y=2x,所以anan-1=2,anan-1=2,所以an=4·2n-1=2n+1.答案:an=2n+14.(2016·重慶高二檢測)設(shè)f1,f2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點p使得(|pf1|-|pf2|)2=b2-

15、3ab,則該雙曲線的離心率為.【解析】由雙曲線的定義知,(|pf1|-|pf2|)2=4a2,又(|pf1|-|pf2|)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等號兩邊同除以a2,化簡得ba2-3·ba-4=0,解得ba=4或ba=-1(舍去),故離心率e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+ba2=17.答案:17三、解答題(每小題10分,共20分)5.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>1,b>0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(-1,0)到直線l的距離之和s45c,求雙曲線離心率e的取值范圍.【解析】設(shè)直線l的方

16、程為xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.由點到直線的距離公式,且a>1,得點(1,0)到直線l的距離d1=b(a-1)a2+b2,點(-1,0)到直線l的距離d2=b(a+1)a2+b2.所以s=d1+d2=2aba2+b2=2abc.由s45c,得2abc45c,即5ac2-a22c2.因為e=ca,所以5e2-12e2,所以25(e2-1)4e4,即4e4-25e2+250,所以54e25(e>1).所以52e5,即e的取值范圍為52,5.6.(2016·青島高二檢測)已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱,且與圓x2+y2=10相交于點p(3,-1),若此圓過點p的切線與雙

17、曲線的漸近線平行,求此雙曲線的方程.【解析】切點為p(3,-1)的圓的切線方程為3x-y=10,因為雙曲線的一條漸近線平行于此切線,且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱.所以雙曲線的漸近線方程為3x±y=0.當(dāng)焦點在x軸上時,設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則其漸近線方程為y=±bax,即ba=3,則雙曲線方程可化為x2a2-y29a2=1,因為雙曲線過點p(3,-1),所以9a2-19a2=1,所以a2=809,b2=80,所以所求雙曲線方程為x2809-y280=1.當(dāng)焦點在y軸上時,設(shè)雙曲線方程為y2a'2-x2b'2=1(a>0,b>0),則漸近線方程為y=±a'b'x,即a'b'=3,則雙曲線方程可化為y29