23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(-)

1、復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：(1)什么叫等差數(shù)列什么叫等差數(shù)列?(2) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?an=a1+(n-1)d)2,(1nddaann為常數(shù)(3)在等差數(shù)列在等差數(shù)列 a an n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q（m，n，p，q是正整數(shù)是正整數(shù)），則則am+an= ap+ aq(4)(4)如果如果a, A, b 成等差數(shù)列成等差數(shù)列,那么那么A叫做叫做a與與b的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng).2baA 高斯出生于一個(gè)工高斯出生于一個(gè)工匠家庭，幼時(shí)家境貧困，匠家庭，幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常。上小學(xué)四但聰敏異常。上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次老師布置年級(jí)時(shí)，一次老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：了一

2、道數(shù)學(xué)習(xí)題：“把把從從1 1到到100100的自然數(shù)加起的自然數(shù)加起來(lái)，和是多少？來(lái)，和是多少？”年僅年僅1010歲的小高斯略一思索歲的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，這使，這使老師非常吃驚。那么高老師非常吃驚。那么高斯是采用了什么方法來(lái)斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢？巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢？ 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。他和牛頓、阿基米德，被家。他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來(lái)的三大數(shù)學(xué)家。譽(yù)為有史以來(lái)的三大數(shù)學(xué)家。有有“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”之稱。之稱。 高斯高斯“神速求和神速求

3、和”的故事的故事: :首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和： 1100101，第第2項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：項(xiàng)的和： 299 =101， 第第3項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：項(xiàng)的和： 398 101， 第第50項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：項(xiàng)的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么計(jì)算的嗎？高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？.mnpqmnpqaaaa10099321. 1計(jì)算：nn) 1(321. 2計(jì)算：50502)1001 (100100993212)

4、 1() 1(321nnnn100 9998 2 1n(n-1) (n-2) 2 1問(wèn)題問(wèn)題1倒序相加法倒序相加法數(shù)列前數(shù)列前n項(xiàng)和的意義項(xiàng)和的意義數(shù)列數(shù)列an：a1，a2，a3，an，我們把我們把 a1a2 a3 an 叫做叫做怎樣求一般等差數(shù)列的前怎樣求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？項(xiàng)和呢？ 12,.nnnnanSSaaa 設(shè)設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和為為即即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1().2nnn aaS 二、探究：二、探究：)常數(shù)列(0,特別地d等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1(1)na

5、and1nnaad n S等等差差數(shù)數(shù)列列中中五五個(gè)個(gè)基基本本量量： 、 、 之之間間有有幾幾個(gè)個(gè)等等量量關(guān)關(guān)系系？2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （公式1公式21nnaadnS、 、 、五五個(gè)個(gè)量量中中“知知三三求求二二”. （. （方方程程的的思思想想）例例:等差數(shù)列等差數(shù)列10,6,2,的前多少項(xiàng)的和為的前多少項(xiàng)的和為54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列是解：設(shè)題中的等差數(shù)列是an，前，前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn.則則a110，d6（10）4，Sn54.由等差數(shù)列前由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得項(xiàng)和公式，得5442) 1(10nnn解得解得 n19，n23（舍去）（舍去）.因此，等差數(shù)列的前因

6、此，等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是項(xiàng)和是54.舉舉 例例1.an？an = 4n-14Sn = 2n2-12n2. Sn呢？11)21)2nnnn aaSn nSnad（ 123891012,75,.naaaaaaaS10數(shù)列為等差數(shù)列，若求 例2、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，10110 910145.2Sad又解：1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即5 29145. 1102938aaaaaa，整體代整體代換的思換的思想想! !11)21

7、)2nnnn aaSn nSnad（練習(xí)、練習(xí)、 2512151636,.naaaaaS 在在等等差差數(shù)數(shù)列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 11)21)2nnnn aaSn nSnad（ 61120,.naaS 中中 ，求求變式：已知等差數(shù)列變式：已知等差數(shù)列練習(xí)練習(xí)拓展練習(xí)拓展練習(xí)1、 an、 bn都是等差數(shù)列，且a1=5，b1= 15，a100+b100=100，則數(shù)列an+bn的前100項(xiàng)之和等于 （ ）B、 6000 A、 600 C、 60000 D、 5050 3、在等差數(shù)列an中，a5=14，a2+a9=31，求an前5項(xiàng)之和2、在等差數(shù)列an中，已知a6+a9+a12+a15=34，S20= B170404