高考高中數(shù)學常用公式及結(jié)論理科

1、1 元素與集合的關(guān)系：xAxCUA,xCUAxA.? A A2集合aa2,L ,an的子集個數(shù)共有2n個；真子集有2n 1個；非空子集有2n 1個；非空 的真子集有2n 2個.3二次函數(shù)的解析式的三種形式：(1) 一般式 f(x) ax2 bx c(a 0);(2)頂點式f(x) a(x h)2 k(a 0);(當已知拋物線的頂點坐標(h,k)時，設為此式)(3)零點式f(x) a(x x1)(x x2)(a 0);(當已知拋物線與x軸的交點坐標為 (x1,0),( x2,0)時，設為此式)4真值表：同真且真，同假或假5常見結(jié)論的否定形式；(2)、p q,且qw> p ,則P是q的充分不

2、必要條件;原結(jié)論反設詞原結(jié)論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少后兩個不大r至少有n個至多有(n 1)個小于不小于至多有n個至少有(n 1)個對所有x ,成立存在某x ,不成立p或qp且q對任何x ,不成 立存在某X ,成立p且qp或q6四種命題的相互關(guān)系(下圖)：(原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.)(3)、p w> p，且q p,則P是q的必要不充分條件；4、pw> p，且qw> p ,則P是q的既不充分又不必要條件7函數(shù)單調(diào)性：增函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而增大。(2)、數(shù)學符號表述是：設f (x)在x D上有定義，若對任

3、意的Xi，X2 D，且x1 x2 ,f (Xi) f (X2)都有成立，則就叫f (x)在x D上是增函數(shù)。D則就是f (x)的遞增區(qū)間。減函數(shù):(1)、文字描述是：y隨x的增大而減小。(2)、數(shù)學符號表述是：設f(x)在x D上有定義，若對任意的Xl,x2 D,且x1 x2 , 都有f(X1) f(X2)成立， 則就叫f (x)在x D上是減函數(shù)。D則就是f (x)的遞減 區(qū)間。單調(diào)性性質(zhì)：(1)、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；(2)、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；(3)、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；(4)、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交

4、集。復合函數(shù)的單調(diào)性：-函數(shù)單調(diào) j一單調(diào)性內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復合函數(shù)等價關(guān)系：(1)設xi,x2 a,b,x1 x2那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)乳上)0f (x)在 a,b 上是增函數(shù);x x2(x1x2)f(x1)f (x2)0fx)-f(應0f (x)在 a,b 上是減函數(shù).0,則f(x)為增函數(shù);如果f (x) 0 ,設函數(shù)y f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f (x)則f (x)為減函數(shù).8函數(shù)的奇偶性：(注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點對稱)奇函數(shù)：定義：在前提條件下，若有f( x) "*)或£( x) f(x) 0,則f (x)就是

5、奇函數(shù)。性質(zhì)：(1)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；(2)、奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào) 區(qū)間；(3)、定義在R上的奇函數(shù)，有f (0) =0 .偶函數(shù)：定義：在前提條件下，若有f ( x) f (x),則f (x)就是偶函數(shù)。性質(zhì)：(1)、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；(2)、偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào) 區(qū)間；奇偶函數(shù)間的關(guān)系：(1)、奇函數(shù)偶函數(shù)=#函數(shù)；(2)、奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)；(3)、偶奇函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；(4)、奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)(也有例外得偶函數(shù)I(5)、偶函數(shù)士偶函數(shù)=偶函數(shù)；(6)、奇函數(shù)±偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)

6、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱；反過來，如果一個函數(shù)的圖象 關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，那么這個函 數(shù)是偶函數(shù).9函數(shù)的周期性：定義:對函數(shù)f (x),若存在T 0,使得f (x+T) =f (x),則就叫f (x) 是周期函數(shù)，其中，T是f (x)的一個周期。周期函數(shù)幾種常見的表述形式：(1)、f (x+T) = - f (x),此時周期為 2T ; (2)、f (x+m) =f (x+n),此時周期_1、f(x m) ,此時周期為2mf(x)10常見函數(shù)的圖像：11 對于函數(shù) y f(x) ( x R ), f (x a bx

7、 ;兩個函數(shù)y f (x a)與y212分數(shù)指數(shù)幕與根式的性質(zhì)： m(1) an n/a-m (a 0, m, n N ,且nn 1).(3) 函)a. (4)當n為奇數(shù)時，a) f (b x)包成立，則函數(shù)f (x)的對稱軸是baf(b x)的圖象關(guān)于直線x U對稱.2m1) . (2) a不a 0, m,n N ,且an a；當n為偶數(shù)時，an |a|a, a 0a,a 013指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：logaN b ab N (a 0,a 1,N 0).指數(shù)性質(zhì)：(1) 1、a p ；;(2)、a0 1 (a 0);(3)、amn (am)nam (4)、ar as ar s(a 0, r

8、,s Q) ;(5)、anVam;指數(shù)函數(shù)：(1)、 y ax(a 1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)、 y ax(0 a 1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點.(0,.1.).對數(shù)性質(zhì)：(1)、lOga MlOgaN lOga(MN)； ( 2)、 loga M loga N loga M ；N(3)、loga bmm logab ； (4)、log m bn logab ；(5)、 log a 10a m(6)、 loga a 1;(7)、alogab b對數(shù)函數(shù)：(1)、 y logax(a 1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)； (2)、y log a x(0 a 1)在定

9、義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對數(shù)周數(shù)圖一象都恒過點.(1, 0)、lOgaX 0a, x(0,1)或 a,x(1,)、lOgaX 0 a (0,1)則 X (1,)或 a (1,加心(0,1)14對數(shù)的換底公式：loga N logmN ( a log ma對數(shù)恒等式：alOgaN N (a 0,且a推論 logam bn logab( a 0,且a 1, N m0,且a1,1, N 0).0).m 0,且 m 1, N 0).15對數(shù)的四則運算法則：若a>0, aw1, g0, N>0,lOg a M lOga N ； lOga(MN) lOgaM log a N ； logaMn

10、 nlogaM (n R);lOgam Nloga N(n,m mR)。16平均增長率的問題（負增長時如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為y n（i p）x.P 0）：N,平均增長率為P,則對于時間17等差數(shù)列：通項公式：（1）ana1(n 1)d ,其中為為首項,d為公差，n為項數(shù),an為末項(2)推廣:anak(nk)d(3)anS Sn 1(n2)（注：該公式對任意數(shù)列都適用）前n項和:(1)Snn(a1 an);其中a1為首項，n為項數(shù)，an為末項。常用性質(zhì):(2)(3)(4)SnSnSnna1Sn1a1n(n 1)d2an(n 2)a2 Lan(1)、若 m+n=p+q,貝U有 am（注：該公式對

11、任意數(shù)列都適用）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）an apaq ;注：若am是an, ap的等差中項，則有2am an ap n、m p成等差。（2）、若an、 bn為等差數(shù)列，則an 0為等差數(shù)列。（3）、 an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，則Sm,S2m Sm,S3m S2m也成等差數(shù)列等比數(shù)列：通項公式:(1)anaqn 1曳qn(n N*),其中a1為首項，n為項數(shù),qq為公比。(注：該公式對任意(2)推廣：an ak qn k an Sn Sn i(n 2)數(shù)列都適用)nai(q 1)前 n 項和：Sn a1(i qn) (q i)i q常用性質(zhì)：(i)、若 m+n=p+q,則有 am

12、 an ap aq ；注：若am是an，ap的等比中項，則有am2 an apn、m p成等比。i9三角不等式：(i)若 x (0,)，貝 Usinx x tanx .(2) 若 x (0,)，貝 U i sin x cosx 叵.22(3) |sin x | | cosx | i.20同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin周期T ;函數(shù)y tan( x ), | |cos21 , tan = sn ,cos21正弦、余弦的誘導公式(奇變偶不變，符號看象限)2322和角與差角公式sin()sin cos) tan tan1 mtan tancos sin;cos()coscosmsin sintan

13、(.asinbcos= a2b2sin()(輔助角所在象限由點(a,b)的象限決定,tanba).J二倍角公式及降幕公式26余弦定理：sin 2sin cos - 12 tan tan2cos222cos sin2cos21 2sin2tan 22 tan1 tan2tansin 21 cos21 tan21 tan21 cos2sin 224三角函數(shù)的周期公式函數(shù) y sin( x ),x R及函數(shù)ycos( x ),x R(A, 為常數(shù)，且 Aw 0)的Z (A,，為常數(shù)，且Aw 0)的周期T . | | 三角函數(shù)的圖像：25正弦定理？： -a- -b-2R (R為 ABC外接圓的半徑)s

14、in A sin B sin C2,2a b27面積定理:(1) S(2) S absinC bcsin A -casinB.(3) S OAB221 uuuuuu.(|OA| |OB|)222 uuu uiu- (OA OB)2 .28三角形內(nèi)角和定理：在 ABCt,有 A B CC AB” 2C2222(A B).(A B)29實數(shù)與向量的積的運算律：設入、叱為實數(shù),那么:rr(1)結(jié)合律：入(a a)=(r 入 a ) a；(2)(3)r®二分配律：入(a + b)=入+入b .30a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)：a ,第一分配律:入 a+n a；b =| a | b | cos 0

15、31平面向量的坐標運算r設 a=(x1, y)，b =(X2, y2),(2)設 a=(x1, y)，b =(X2, y2),r ,r貝Ua+b=(x1 X2, y1 r r貝Ua-b=(x1 X2, y1 uuu uuu uuu 設 A(x1,y1), B(x2,y2),則 AB OB OA (x2y2).y2).X1,y2 y1).設 a = (x, y),r ,則 a=( x,r(5)設 a = (x1, y)，b =(X2, y2),則y). rb =(x1X2 y1y2).32兩向量的夾角公耳： a bcosTr-1a 11b |.X；X1X2y1 y22y1rr2 ( a = (x

16、1, y1) , b =(X2, y2). y233平面兩點間的距離公式:uuudA,B 二| AB |uur uuuAB ABV(x2 x1)(y2 y1 ) (A (x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ).34r-同型的平仃與不宜：設a = (x1,y)，b =(x2,y2) , H baii ba b ( a 0)36三角形的重心坐標公式：x1y2 X2%r ra - b =00.(交叉相乘差為零)XiX2y1y20.(對應相乘和為零)ABC三個頂點的坐標分別為 A(xy 1)、B(x2,y 2)、C1y 3),222222,2c 2bc cos A; b c a 2ca c

17、os B ; cab 2abcosC .1 .1 一1 .-aha -bhb -chc ( ha、hb、hc 分別表小 a、b、c 邊上的局). 222Viy2y3)3(D(2)(3)(4)(5)則 ABC勺重心的坐標是G(x1 x2 x3337三角形五“心”向量形式的充要條件:設O為ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,則uuu2 uur2 uuur2O為ABC的外心 OA OB OC . uuu uuu uuu rO為ABC的重心 OA OB OC 0. uuu uuu uuu uiur uuur uuuO 為 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA. u

18、uu uuruuu rO為 ABC 的內(nèi)心 aOA bOB cOC 0. uuu uur uuurO為ABC的 A的旁心 aOA bOB cOC .38常用不等式:(1) a,b Ra22(Xa)(yb)r.22,_2_2_、xyDxEyF0(DE4F>0). b2 2ab (當且僅當 a= b 時取“二”號).(2) a,b Rab面(當且僅當a=b時取“二”號).2333(3) abc3abc(a0,b0, c 0).(4) abab ab .(5) 型 每 ab ，世bl (當且僅當a= b時取“二”號) a b2.239極值定理：已知x,y都是正數(shù)，則有(1)若積xy是定值p ,

19、則當x y時和x y有最小值2jp ;(2)若和x y是定值s ,則當1 cx y時積xy有取大值4s .(3)已知 a,b,X, y R，、，1(ax by)(- x(4)已知 a,b,x, y,若ax1) a ya,若 xby 1則有by axx y1則有40三等式ax2bx c 0(或0) (a 0,號，則其解集在兩根之外；如果 a與ax2 bx 同號兩根之外，異號兩根之間.即：X1XX1,X2或X(X x)(x X2)0(X1 X2)；x2(x x1)(x x2) 0(x1X2).41含有絕對值的不等式：當a> 0時,b 2Vab (Va Tb)2。b2 4ac 0),如果 a

20、與 ax2 bx c 同 c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：22a x a a x a. x42斜率公式：(P( X1, y1)、P2( X2 , y2 )k -X2 X143直線的五種方程：(1)點斜式y(tǒng)火k(x X1)(直線l過點以不，乂),且斜率為k).(2)斜截式y(tǒng) kx b (b為直線l在y軸上的截距).y yx x .(3) 兩點式 (y1y2)(R(x1,y1)、P2(x2,y2)(X1X2,yy2).y2 y1X2 X1兩點式的推廣：(X2 Xi)( y y1)(y2 y1)(x x1)0 (無任何限制條件！) 截距式 -y 1( a、b分別為直線的橫、縱截距，a 0 b 0

21、) a b(5) 一般式 Ax By C 0(其中A、B不同時為0).rr直線Ax By C 0的法向量：l (A, B),方向向量：l (B, A)46點到直線的距離| Ax0=By0=C |、A2 B2(點 P(Xo, y°),直線 lAx By C0).47圓的四種方程：(1)圓的標準方程(2)圓的一般方程(3)圓的參數(shù)方程x a r cos(4)圓的直徑式方程48點與圓的位置關(guān)系：點y b rsin(x x)(x")(y y)(y 2 0(圓的直徑的端點是 A(為,y)、蛻”,y2).P(x0, y0)與圓(x a)2 (y b)2r2的位置關(guān)系有三種：若 d .

22、(a x。)2 (b y。)2，則 d rd r 點P在圓上；49直線與圓的位置關(guān)系：直線 Axd By點P在圓外；點P在圓內(nèi).0與圓(x a)2(y b)2的位置關(guān)系有三種(dAa Bb C、A2 B2相離)：相切50兩圓位置關(guān)系的判定方法：設兩圓圓心分別為0; dO, Q,相交0.半徑分別為O1O2則：dr1r1r2r2d外離r14條公切線；dr1 r2相交2條公切線；外切3條公切線；r1251橢圓與 a2 y b2內(nèi)切1(a b1條公切線；0 d0)的參數(shù)方程是54橢圓的切線方程：橢圓2 y_ b21(a1內(nèi)含 F«O d -r2內(nèi)含相離.1d n+12 dd無公切線.acos

23、bsin0)離心率eca與直線AxBy0相切的條件是A 2 22, 22A a B b c .2255雙曲線x741(a 0,ba b0)的離心率ec12 xb256雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系：2(1)若雙曲線方程為與 a(2)若漸近線方程為2 y b2bx a漸近線方程:2 y_ b2b 一x.a2若雙曲線與三a2 y b20,焦點在x軸上,y 0雙曲線可設為b1有公共漸近線,0,焦點在2可設為ay軸上).2 y b2(4)焦點到漸近線的距離總是bo57雙曲線的切線方程：雙曲線2 y b22 x 2 a2 y b21與直線Ax By相切的條件是A 2 22, 22A a B b c .5

24、8拋物線y2 2 px的焦半徑公式:拋物線y2 2 px( p 0)焦半徑CF x0 ：.過焦點弦長CDx1 x2 x1 x2 p.2260直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB ，(Xi X2)2 (yy2r或 AB Rk2)(x2X1P4x2x1|x1x21 Jitan2|y1y21T1cot2(弦端點A(x1, y1), B(x2, y2),由方程y八0消去 得到ax2 bx c 0 F(x,y) 00,為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率，|xi x2| 7(xi x2)2 4x1x2. 61證明直線與平面的平行的思考途徑：(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；(3)轉(zhuǎn)化為面面

25、平行.62證明直線與平面垂直的思考途徑：(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。63證明平面與平面的垂直的思考途徑：(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；(3)轉(zhuǎn)化為兩平面的法 向量平行。64向量的直角坐標運算：、rr設a =(現(xiàn)包0)，b = (bb, 3)則：r . ,rr J(1) a + b = (a1 bi,a2 b2,a3 bs) ； (2) a b = (a1白但 b2,a3 bs)；(3)入 5 = ( a1, a2, a3)(入 C R)

26、； (4) a , b65夾角公式：r . .rr .r設 a = (ai,a2,53), b = (bib, b) , WJ cos a,b66異面直線間的距離：uuir ur rd LC"(|1,|2是兩異面直線，其公垂向量為n, C、D是l1,l2上任一點，d為l1,l2問 |n|的距離).67點B到平面的距離：uuu urd 1AB n| (1為平面 的法向量，A , AB是 的一條斜線段).|n|68球的半徑是R,則其體積V - R3,其表面積S 4 R2.369球的組合體：(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體：正方體

27、的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為 ，|a(正四面體高 夸a的1)，外接球的半徑為 手a(正四面體高2fa的').70分類計數(shù)原理(加法原理)：N m1 m2 Lmn.分步計數(shù)原理(乘法原理)：N mi m2 L mn.=aq.a2a2b2a3b3 ;aQa2b2 a3t32a2n71 排列數(shù)公式：An =n(n 1) (n m 1) =.( n , m C N ,且 m n).規(guī)止 0 1.(n m)!72 組合數(shù)公式：Cm = A=n(n 1

28、)(n-m 1) =-( neN m N, 且 m n).Am1 2 m m! (n m：組合數(shù)的兩個性質(zhì)：(1) Cm=Cn m ;(2)C:+Cm1=C;1.規(guī)定C0 1.73 二項式定理(a b)nC：anC：an1bC：an2b2CnranrbrC；bn;二項展開式的通項公式Tr 1 C；an,br(r 0,1,2 , n).f(x) (ax b)naoax a2x2Lanxn的展開式的系數(shù)關(guān)系：ao a a2 Lanf(1); aoa1a2L ( 1)nan f( 1);a。f(0)。74互斥事件A, B分別發(fā)生的概率的和：P(A+ B)=P(A) + P(B).n個互斥事件分別發(fā)生

29、的概率的和：P(A1 +A2+-+生尸P(A1) + P(A2) + +p(A-) .75獨立事件A, B同時發(fā)生的概率：P(A - B)= P(A) - P(B).P(A n) .n個獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A1 - A2 An)=P(A1) - P(A2) 76 n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率：Pn(k) C：Pk(1 P)n k.77數(shù)學期望：E數(shù)學期望的性質(zhì)x1R x2P2 L4Pn L(1)E(ab) aE( ) b.(2)若B(n, p),則 E78方差:服從幾何分布，且P(k) g(k, p) qk 1p ，則np .1x1x2E 2 p2 Lxn EPPn L標準差:方差的性質(zhì)：D a ba2D；(2)B(n, p),則 D np(1P).若服從幾何分布,且P(k)g(k,