高中數(shù)學(xué)圓錐曲線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用

1、圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，則稱(chēng)此弦為焦點(diǎn)弦。圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題涉及到離 心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長(zhǎng)等有關(guān)知識(shí)。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線 的“動(dòng)脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻 亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有 關(guān)焦點(diǎn)弦問(wèn)題的幾個(gè)重要公式及應(yīng)用，與大家交流。定理1?已知點(diǎn)F是離心率為目的圓錐曲線C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的弦45與C*的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為日，且婚=之1）日8團(tuán)歸（1）當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦時(shí)，有2十1 ; （2

2、）當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦Z5時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有證明？設(shè)直線1是焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn) 乩8在直線/上的射影分別為 4，點(diǎn)B在直線且&上的射影為M o由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得,相BF期咯，又”=育3（比之1）,所以明二二AF ABF(1)?當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦上B時(shí)。如圖ABF BF日一而 AMT_cos 6 = cos XMAS = - - -1,二 一，EF 1所以(2)?當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)外分弦上m時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）如圖ABF BF 人心再AM 一+8/一丁.二 cos 6 cos -二 - - -2一-5 £5''' -：,留匚口 S所以圖2評(píng)注？特別要注意焦

3、點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，這一點(diǎn)很容 易不加區(qū)別而出錯(cuò)。-彳二 1（八。八0）例1 （ 2009年高考全國(guó)卷n理科題）已知雙曲線 建 b的右焦點(diǎn)為F ,過(guò)F且斜率為 內(nèi)的直線交C于43兩點(diǎn)。若AF = AFE ,則C的離心率為（） 4-1廠?coe60- = e解？這里上=tane= J3，所以日= 6CT ,又q=4 ,代入公式得4十1 ,所以 故選上I。C F 十馬 - 1（3 > 小:0）例2 （2010年高考全國(guó)卷n理科第 12題）已知橢圓a 3的離心率為過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為二。）的直線于C相交于乩石兩點(diǎn)，若 商=3詬，則上二（？）解？這里工=S ,2

4、 ,設(shè)直線AB的傾斜角為g ,代入公式得 2cos 8 -3 ,所以依二8二也,故選8。例3 （08高考江西卷理科第15題）過(guò)拋物線天三2期（尹>0）的焦點(diǎn)甘作傾斜角為孑。11的直線,與拋物線交于更1 =4/兩點(diǎn)（點(diǎn),在尸軸左側(cè)），則有怛明解 如圖3,由題意知直線 AB與拋物線的地稱(chēng)軸的夾角 目二6。"，當(dāng)點(diǎn)工在J軸左側(cè)時(shí)，設(shè)竺!=3CO 5 601=,又4?二】，代入公式得鼻一1例4 （2010年高考全國(guó)卷I理科第16題）已知F是橢圓口的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn), 線段BF的延長(zhǎng)線交口于點(diǎn)。，且B9二2FD，則C的離心率為cos 6 二 二一二3解？設(shè)直線與焦點(diǎn)所在的軸的

5、夾角為 日，則a，又；1 = 2 ,代入公式得W = W =3 ,所以 3。匚三工二電>0/>0） 出例5 （自編題）已知雙曲線a b的離心率為 3 ,過(guò)左焦點(diǎn)F且斜率為上,口的直線交的兩支于A3兩點(diǎn)。若出 = 3 FE ,則"4J3值解？這里 3 ，九三3 ,因直線AB與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式3+1. #、皿器8£& 二 cos =Jc- tail 30 二 式得33-1,所以2所以日=列°,所以3 。定理2?已知點(diǎn)F和直線上是離心率為白的圓錐曲線 C的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為已過(guò)點(diǎn)F的弦AB與曲線C的焦點(diǎn)所在的軸

6、的夾角為 冬86。3?。瑒t有陽(yáng)二方仆1 -e cos3 G證明？設(shè)點(diǎn)上，£，F(xiàn)在準(zhǔn)線?上的射影分別為 4%再，過(guò)點(diǎn)F作軸FH的垂線交直線 式均于點(diǎn)AFBF放，交直線竭于點(diǎn)州。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，回1四當(dāng)I,所以網(wǎng)/4碼網(wǎng)二刎外圖4（1）當(dāng)焦點(diǎn)尸內(nèi)分弦劉B時(shí)。如圖4, PM|=|4M + |m| = P + Mf|seH ,網(wǎng)=內(nèi)斗網(wǎng)=p-網(wǎng)3日。網(wǎng)二心+|盟|g同,幽=儀尸一網(wǎng)8刈、所以較長(zhǎng)焦半徑明二段1 -,較短焦半徑AB所以二|第+ |明二叩中叩二手工1-Id國(guó)匕。£白 1一/匚。/日（2）當(dāng)焦點(diǎn)尸外分弦AB時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。圖5如圖5, H4bMMH4M=

7、必叫孫9一9，忸閡=固阿卜1成班12日所以網(wǎng)=“|圖8團(tuán)改網(wǎng)=9一網(wǎng)8g陽(yáng)二即而二一所以較長(zhǎng)焦半徑,較短焦半徑3 c。£日十1AB所以S COS 0 1 曰。心 £白十1i：0Sk 0- 1,較短焦半徑1十4C熨白O焦點(diǎn)弦的弦網(wǎng)=L綜合（1） （2）知，較長(zhǎng)焦半徑一長(zhǎng)公式為AB 二2駕？-e cos 8特別地，當(dāng)曲線為無(wú)心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距尹就是徑之半，較長(zhǎng)焦半徑較短焦半徑1十cqeH,焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為AB =2尸£力？白O當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲P 線時(shí)，焦準(zhǔn)距為注？由上可得，當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦AB時(shí)，有11211_ _畫(huà)畫(huà)網(wǎng)一Fj_2cos &

8、;尸O當(dāng)焦點(diǎn)甘11211 2cos 日外分弦上8時(shí)，有AF例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過(guò)拋物線=2>°）的焦點(diǎn)F作傾斜角為4亨的直線，交拋物線于 金,£兩點(diǎn)，若線段 AE的長(zhǎng)為8,則尸二解？由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為卜sir?白得，sin2 45F += 1（15 > B>0）例7 （2010年高考遼寧卷理科第 20題）已知橢圓。 b”的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)F且傾斜角為6Q"的直線,與橢圓相交于不同兩點(diǎn) 4B ,已知 麗二2詬。網(wǎng)當(dāng)（1）求橢圓的離心率；（2）若 4 ,求橢圓方程。m 2-12口? cos 60 = e =解？ （1）這

9、里日= 60",丸=2 ,由定理1的公式得2+1 ,解得 m o15白二 2白二 60"且其="1- (cos3 60 ，P(2)將3I 4 ,代入焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式得，3,解得 2 ,_ 5_£_2即戶一丁 士一萬(wàn)，所以，又白一0一石，設(shè)u=2k謔二共，代人得丘二，所j 、二土+，1以療=2,3=3 ,所以啟二次'一二5 ,故所求橢圓方程為 9 5 o-ij例8 (2007年重慶卷第16題)過(guò)雙曲線 算一衛(wèi)二口的右焦點(diǎn)F作傾斜角為1Q竽的直線，交雙曲線于尸,Q兩點(diǎn)，則 網(wǎng)鬧的值為*6解？易知F,O均在右支上，因?yàn)?quot;三辦三2,已士丫2 ,

10、離心率占=/2，點(diǎn)準(zhǔn)距c ,因傾斜角為10竽，所以日二75、由焦半徑公式得， M'IfG| =ep/產(chǎn)"44g 琳1+挈 gsS 1-/。" l-2x75" l-Q+gPb) 3 o例9 (由2007年重慶卷第16題改編)過(guò)雙曲線X > 口的右焦點(diǎn)交雙曲線于巴Q兩點(diǎn)，則卜同用的值為p_± _ 顯解？因?yàn)楂E三$三2/三加，離心率總=0 ,點(diǎn)準(zhǔn)距c日=3。注意到FQ分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得，網(wǎng)忸Q| = _藝_ =:?= = 8cos-1 白白。£841 白日-1 2cos3 30' -1(3 、口 xyi+=1例10? (2007年高考全國(guó)卷I)如圖 6,已知橢圓32的左、的直線交橢圓于旦二兩點(diǎn)，過(guò)鳥(niǎo)的直線交橢圓于&C兩點(diǎn)，且圖611Fnr-r-t; = l,e = = 2F作傾斜角為150,的直線,因傾斜角為15T ,所以)右焦點(diǎn)分別為緣與，過(guò)耳D O求四邊形面積的最小值。設(shè)直線S口與北軸的夾角為日,因?yàn)锳C±£D ,所以直線1C與黑軸的夾角為 紳日。代入弦長(zhǎng)公式得,BD =1-JcoJ白3 -匚。/日，AC =3-sisic9 o故四邊形的面積為,24249625 一8廣功(3- sin* 63-