第2章 隨機變量及其分布

1、隨機變量及其分布隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量的方差與標準差常用離散分布常用連續(xù)分布隨機變量函數(shù)的分布分布的其他特征數(shù) (1) 擲一顆骰子， 出現(xiàn)的點數(shù) X1，2，6. (2) n個產(chǎn)品中的不合格品個數(shù) Y 0，1，2，n (3) 某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù) Z 0，1，2， (4) 某種型號電視機的壽命 T : 0, +)定義2.1.1 設(shè) =為某隨機現(xiàn)象的樣本空間， 稱定義在上的實值函數(shù)實值函數(shù)X=X()為隨機變量.(1) 隨機變量X()是樣本點的函數(shù)， 其定義域為 ，其值域為R=(，) 若 X 表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)， 則 X=1.5 是不可能事件. (2) 若 X 為隨機變量，則 X = k

2、 、 a X b 、 均為隨機事件.即 a X b =；a X() b (3) 注意以下一些表達式： X = k= X kX k； a b = X b.(4) 同一樣本空間可以定義不同的隨機變量. 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示 若隨機變量 X 可能取值的個數(shù)為有限個或 可列個，則稱 X 為離散隨機變量. 若隨機變量 X 的可能取值充滿某個區(qū)間 a, b，則稱 X 為連續(xù)隨機變量. 前例中的 X, Y, Z 為離散隨機變量； 而 T 為連續(xù)

3、隨機變量.定義2.1.2 設(shè)X為一個隨機變量，對任意實數(shù) x， 稱 F(x)=P( X x) 為 X 的分布函數(shù).基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不降； (2) 有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+)=1； (3) 右連續(xù).x|RXx 1.若將若將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那(, x 的概率；的概率；么么分布分布函數(shù)函數(shù) F (x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間注注2.分布函數(shù)的定義域為分布函數(shù)的定義域為 ,分布函數(shù)的分布函數(shù)的(,) 值域為值域為0，1；3.在在 中，中，X是隨機變量是隨機變量, x是自變量，是自變量， F(x) 是隨機變量是隨機

4、變量X( )(),F xP Xxx 取值不大于取值不大于 x 的概率；的概率； 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)， 正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分 析的工具來研究析的工具來研究 隨機變量隨機變量.P(x1X x2 ) = F(x2)-F(x1) 4. 對任意實數(shù)對任意實數(shù) x1x2，隨機點落在區(qū)間，隨機點落在區(qū)間( x1 , x2 的概率為：的概率為： 設(shè)離散隨機變量 X 的可能取值為：x1，x2，xn， 稱 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 為 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn (1) p

5、i 0， (2)1.iip (正則性)(非負性)例例的分布律為設(shè)隨機變量XXkp-1 0 1 10 XPX的分布函數(shù)，并求求由概率的有限可加性分布函數(shù)為：0 11 104( )3 0141 1xxF xxx 01010(1)(0)0311423.4PXPXP XFFP X 解解的圖形如下圖所示)(xF 1011 1 11014 2 4F xXX分布函數(shù)的圖形是一條階梯曲線，它在 , ,處有跳躍其跳躍值分別為 取 , ,的概率, , .111xF(x)一般地隨機變量一般地隨機變量X概率分布為概率分布為 1x2x3x1p2p 3p P X則它的分布函數(shù)為：則它的分布函數(shù)為： 11121223111

6、0( )ikiikxxpxxxppxxxF xpxxx 例2.1.1已知 X 的分布列如下：X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函數(shù).0, 01/3, 01( )1/2, 121, 2xxF xxx 解：X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：0, 00.4, 01( )0.8, 121, 2xxF xxx 例2.1.2已知 X 的分布函數(shù)如下,求 X 的分布列.求離散隨機變量的分布列應(yīng)注意： (1) 確定隨機變量的所有可能取值; (2) 計算每個取值點的概率. 對離散隨機變量的分布函數(shù)應(yīng)注意： (1) F(x)是遞增的階梯函數(shù); (2) 其間斷點均為右連續(xù)的; (3)

7、其間斷點即為X的可能取值點; (4) 其間斷點的跳躍高度是對應(yīng)的概率值. 連續(xù)隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間 (a, b). 因為對連續(xù)隨機變量X，有P(X=x)=0， 所以無法仿離散隨機變量用 P(X=x) 來描述連續(xù)隨機變量X的分布. 注意離散隨機變量與連續(xù)隨機變量的差別.定義2.1.4設(shè)隨機變量X 的分布函數(shù)為F(x),則稱 X 為連續(xù)隨機變量，( )( )xp t dtF x若存在非負可積函數(shù) p(x) ，滿足：稱 p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù). 具有以下性質(zhì)由定義知道，概率密度xf (1)0fx (2)1fx dx1212(3),x xxx對于任意實數(shù)有 dxxfxFxFx

8、XxPxx211221(4)( )( )( )f xxF xf x若在點 連續(xù)，則有121212(,(,( )()Xx xP xXxx xf x落在區(qū)間上的概率等于區(qū)間上曲線之下的曲邊梯形的面積 如圖性質(zhì)(1),(2)是兩個最基本的性質(zhì)有的連續(xù)點對于知由性質(zhì)xxf)(,)4( xxxXxPxxFxxFxfxx00limlim直觀述它的分布比分布函數(shù)機變量，用概率密度描因此對于連續(xù)型隨附近的值的概率大小取映出的大小能反的概率分布的密集程度在點而是的概率取值不是隨機變量上式表明概率密度xXxfxXxXxf)(,)(連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.即：即：()

9、0,P Xa a為任一指定值為任一指定值,這說明：對于連續(xù)型隨機變量這說明：對于連續(xù)型隨機變量X，有，有 但對于離散型隨機變量但對于離散型隨機變量X，在各種區(qū)間（如開，在各種區(qū)間（如開區(qū)間或閉區(qū)間）上取值的概率一般地是不相同的區(qū)間或閉區(qū)間）上取值的概率一般地是不相同的.()()()()Pa X bPaX bPa XbPaXb 注注: 由由P(X=a)=0 可推知可推知 ()( )()1P XRaf x dxP Xa 而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件 XRa 稱稱A為為幾乎幾乎不可能事件，不可能事件，B為為幾乎幾乎必然事件必然事件.可見，可見，由由P(A)=0,

10、 不能推出不能推出A 由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B= p(x)xo 由于連續(xù)型隨機變量唯一被它的密度函數(shù)所確定由于連續(xù)型隨機變量唯一被它的密度函數(shù)所確定. 所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型隨機變量的概率規(guī)所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型隨機變量的概率規(guī)律就得到了全面描述律就得到了全面描述.xF (x).()( )baP aXbp x dx注意點(1) (1) (2) F(x) 是 (, +) 上的連續(xù)函數(shù); (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0; (4) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b)F(a).注意點(2)(5) 當F(x) 在x點可導(dǎo)

11、時, p(x) =( )F x當F(x) 在x點不可導(dǎo)時, 可令p(x) =0.連續(xù)型1. 密度函數(shù) X p(x) ( 不唯一不唯一 )( )( )xF xp t dt2.4. P(X=a) = 0離散型1. 分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) =()iixxP Xx 3. F(a+0) = F(a); P(a a 和 B = Y a 獨立，解: 因為 P(A) = P(B), P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)2238ax dx318a 從中解得34a 且 P(AB)=3/4, 求常數(shù) a .且由A、B 獨立，得= 2P(A) P(A)2 = 3

12、/4從中解得: P(A)=1/2, 由此得 0a a )例2.1.5 設(shè) X p(x)，且 p(x) = p(x)，F(xiàn)(x)是 X 的分布函數(shù)， 則對任意實數(shù) a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 10( )ap x dx01()2apx dx 分賭本問題(17世紀) 甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元. 無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注. 當甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博. 問如何分賭本? 1. 按已賭局數(shù)分： 則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/3 2. 按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望” 分： 因為再賭兩局必分勝負，共四種情況：甲甲

13、、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4 若按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望” 分， 則甲的所得 X 是一個可能取值為0 或100 的隨機變量，其分布列為： X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.定義2.2.1 設(shè)離散隨機變量X的分布列為P(X=xn) = pn, n = 1, 2, . 若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)為X 的1iiix p數(shù)學(xué)期望，記為1()iiiE Xx p 關(guān)于定義的幾點說明 (3) 隨機變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算術(shù)平均值不同. (1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同

14、, 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量X 取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.21( 1),1,2,2kkkP Xkk 例 設(shè)隨機變量X的概率分布為則EX 不存在.例2.2.1則E(X) = 10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3定義2.2.2 設(shè)連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x), 若積分絕對收斂，則稱該積分為X 的( )xp x dx數(shù)學(xué)期望，記為()( )E Xx

15、p x dx例 求柯西分布的數(shù)學(xué)期望21( )(1)f xxx 柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在。 數(shù)學(xué)期望簡稱為期望. 數(shù)學(xué)期望又稱為均值. 數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.定理2.2.1 設(shè) Y=g(X) 是隨機變量X的函數(shù)， 若 E(g(X) 存在，則1( ) ()( ()( ) ( )iiig x P XxE g Xg x p x dx例2.2.2 設(shè)隨機變量 X 的概率分布為求 E(X2+2).= (02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4= 1+3/4+6/4 = 13/4解: E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4例,), 0(內(nèi)服從均勻分布在區(qū)間設(shè)隨機變量X的數(shù)

16、學(xué)期望求隨機變量函數(shù)XYsin解的概率密度為依題意X1,0( )0,xf x 其他012( )sindE Yxx 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X) 數(shù)學(xué)期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的離散程度.定義2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，則稱 E(XE(X)2 為 X 的方差，記為Var(X)=D(X)= E(XE(X)2 (2) 稱X = (X)=Var()X(1) 方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度. 方差越大, 則隨機變量的取值越分散.為X 的標準差.標準差的

17、量綱與隨機變量的量綱相同.(1) Var(c)=0. 性質(zhì) 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性質(zhì) 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性質(zhì) 2.3.1例2.3.1 設(shè) X 01( )2120 xxp xxx其 它, 求 E(X), Var(X).解: (1) E(X)=3231211()0133xxx= 1(2) E(X2) = 7/6所以,Var(X) = E(X2)E(X)2 = 7/6 1 = 1/6( )dxp xx1201d(2)dx x xxxx2( )dx p xx123201d(2)dxxxxx 設(shè)1,10 ( )1,010,

18、xxXp xxx其他 則方差 Var(X)=( )。問題：Var(X) = 1/6, 為什么？例)(),(XDbaUX求設(shè)解的概率密度為X1,( )0,axbf xba 其他()2abE X 222211()d()3baE Xxxaabbba 2222221()()() ()()()3212abbaD XE XE Xaabb 設(shè) Var(X)0, 令則有 E(Y)=0, Var(Y)=1.()Var()XE XXY稱 Y 為 X 的標準化. 設(shè)隨機變量X的方差存在(這時均值也存在), 則 對任意正數(shù)，有下面不等式成立Var()|() |2XPXE X2Var()|() |1XPXE X 例2.

19、3.2設(shè) X0( )!00nxxexp xnx證明(02(1)1nPXnn證明:E(X) =0d!nxxxexn= n+1E(X2) =20d!nxxxexn= (n+1)(n+2)所以, Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(02(1)(|1)PXnPXEXn211(1)nn 1nn(這里, = n+1)1(2)!nn1(3)!nn由此得 2.4.1 二項分布 記為 X b(n, p).X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù), 0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk當n=1時，稱 b(1, p) 為 0-1分布. 試驗次數(shù)為 n=4, “成功”即取得合格品的概率為

20、p=0.8, 所以, X b(4, 0.8)思考： 若 Y 為不合格品件數(shù)，Y ？Y b(4, 0.2) 一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 則取得合格品件數(shù) X 服從二項分布. 例2.4.2 設(shè)X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，從而解得: p = 2/3.= 1- (1p)4 = 80/81.二項分布的圖形特點： XB(n,p)n=13,p=0.5Pkn.

21、0 對于固定n及p，當k增隨后單調(diào)減少.之增加直至 達到最大值, 加時 ,概率P(X=k) 先是隨 當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1處達到最大值.稱k為二項分布的最可能值。 不是整數(shù)不是整數(shù)當當為整數(shù)為整數(shù)當當或或pnpnpnpnpnk)1()1()1(1)1()1(其中x表示不超過x的最大整數(shù)部分。若隨機變量 X 的概率分布為(),0,1, 2,!kP Xkekk則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布, 記為 X P().泊松分布注 1）1()1kP Xk 2）泊松分布可以用來描述一些在大量試驗中偶然出現(xiàn)的事件的概率分布模型。且有顯然，, 2

22、 , 1, 0kkXP 000eeee1kkkkkP Xkkk ！滿足分布律的兩個條件即kXP都服從泊松分布.某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù)；到某機場降落的飛機數(shù);一個售貨員接待的顧客數(shù);一臺紡紗機的斷頭數(shù); 一放射性源放射出的 粒子數(shù)； 例如泊松分布的最可能值泊松分布的最可能值:),(PX如 不為整數(shù)時。當為整數(shù)時；當其中達到最大時概率則1,*kkXPkX例2.4.5 商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為 10的泊松分布為了以95%以上的概率保證該商品不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進該商品多少件？ 解按題意要求為件，件，月底的進貨量為種商品設(shè)商店每月銷售nX該95. 0 nXP的

23、泊松分布，則有服從10Xnkkk01095. 0e10！由附錄的泊松分布表知 141001510010e0.91660.9510e0.95130.95 .kkkkkk ，！只要在月底進貨15件(假定上個月沒有存貨)，就可以95%的概率保證這種商品在下個月內(nèi)不會脫銷泊松定理定理2.4.1(1) !kkn knnnppekk (二項分布的泊松近似)在n重伯努里試驗中，記 pn 為一次試驗中成功的概率.若 npn ，則 1,0,1,2,.!kn kknpnnpppekkk 10.2100.21110.9820.018.!kkP Xek 30.9200.93110.9870.013.!kkP Xek

24、此種情況下，不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名維修工負責90臺設(shè)備相當于每個維修工負責30臺設(shè)備，工作效率是（1）中的1.5倍. 10530510110.9860.014.!kkP Xek 注意注意 此種情況下所求概率與(2)中基本上一樣，而10名維修工負責500臺設(shè)備相當于每個維修工負責50臺設(shè)備，工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.由此可知由此可知, ,若干維修工共同負責大量設(shè)備的維修，將提高工作的效率.超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型 ： N 個產(chǎn)品中有 M 個不合格品， 從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X .2.4.3 超幾何分布(1)組合的性質(zhì)組合的性質(zhì) 0nkn

25、knMNMNkC CC （2） 00()1kn knnnMNMNnnkkNNC CCP XkCC 注注1()(1),1, 2,kP Xkppk記為 X Ge(p) X 為獨立重復(fù)的伯努里試驗中， “首次成功”時的試驗次數(shù). 幾何分布具有無記憶性，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )2.4.4 幾何分布負二項分布(巴斯卡分布)1()(1),1,1kk r rP Xkppkr rr記為X Nb(r, p). X 為獨立重復(fù)的伯努里試驗中， “第 r 次成功”時的試驗次數(shù). (1) 二項隨機變量是獨立 0-1 隨機變量之和. (2) 負二項隨機變量是獨立幾何隨機變量之和. 幾

26、何分布Ge(p) 的數(shù)學(xué)期望 = 1/p 0-1 分布的數(shù)學(xué)期望 = p 二項分布 b(n, p)的數(shù)學(xué)期望 = np 泊松分布 P() 的數(shù)學(xué)期望 = 0-1 分布的方差 = p(1p) 二項分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 幾何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、貝塔分布。正態(tài)分布 正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布. 正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛 德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.高斯記為X N(, 2),2()1( )e

27、xp,222xp xx其中 0， 是任意實數(shù). 是位置參數(shù). 是尺度參數(shù).2.5.1 正態(tài)分布 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰決定了圖形中峰的陡峭程度的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點2(,)N 如圖所示)(xf.)()(,.)(,)(的圖形就越平的值越大，反之，當?shù)膱D形越尖。的值越小固定時當達到最大處在對稱的圖形關(guān)于直線函數(shù)xfxfxxfxxf 正態(tài)分布的性質(zhì)(1) p(x) 關(guān)于是對稱的.p(x)x0在點 p(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改變, (3) 若 固定, 改變,小大p(x)左右移動, 形狀保持不變. 越大曲線越平坦;

28、越小曲線越陡峭.的分布函數(shù)為X22()21( )ed2txF xt如下圖所示)(xF,xt 令得222()2211eded22xtxt20ed,2利用有xx22ed2tt于是22()21ed12xxp(x)x01(1) (0),2xx)( x1( ) x標準正態(tài)分布N(0, 1)密度函數(shù)記為 (x),分布函數(shù)記為 (x).(2)()1( )xx )(x 注注 的圖形特點：的圖形特點：( )x 11)max ( );2x 軸對稱；軸對稱；關(guān)于關(guān)于yx)()2 .)x(x)的的拐拐點點為為 13 (x) 的計算(1) x 0 時, 查標準正態(tài)分布函數(shù)表.(2) x a) =1(a); (3) P(

29、aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96)P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 1/2,所以 a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65例2.5.2一般正態(tài)分布的標準化定理2.5.1 設(shè) X N(, 2),XY則 Y N(0, 1).推論: 若 X N(, 2), 則( )xF x若 X N(, 2), 則 P(Xa) = a1a 設(shè) X N(10, 4), 求 P

30、(10X13), P(|X10|2).解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X 10|2) = P(8Xk = PXk, 則 k = ( ).3課堂練習(xí)(1) 設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則( ) 對任意的 ，都有 p1 = p2 對任意的 ，都有 p1 p2課堂練習(xí)(2) 設(shè) X N( , 2), 則隨 的增大， 概率 P| X | ( ) 單調(diào)增大 單調(diào)減少 保持不變 增減不定課堂練習(xí)(3)正態(tài)分布的 3 原則設(shè) X N(, 2), 則 P( | X | ) = 0.6828. P( |

31、 X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 , 則 P(A) = P( X 3) = 2/3設(shè) Y 表示三次獨立觀測中 A 出現(xiàn)的次數(shù),則 Y b(3, 2/3)，所求概率為 P(Y2) = P(Y=2)+P(Y=3)230233321213333CC =20/27例2.5.5例)(),(XDbaUX求設(shè)解的概率密度為X其他, 0,1)(bxaabxf2)(baXEbababaxabxXE)(31d1)(222212)()2()(31)()()(222222abbababaXEXEXD2.5.3 指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度及分布函數(shù)分別如圖所示 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，

32、如元件的壽命.指數(shù)分布的性質(zhì)0,sto 對于，則有()()P Xst XtP Xs 如果將X 看成壽命，在已知壽命長于t 年的條件下，再活s 年的概率與年齡t 無關(guān). 因此有時又將指數(shù)分布風趣地稱為“永遠年輕”.tXPtXPtFeeeesFtsFsXPtsXPsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPttsts1)(11 11 11 1)(1)(111)( 例 一種電子元件的使用壽命X（單位：小時）求（1）該元件使用的壽命在2000小時沒有 損壞的概率； （2）該元件使用的壽命在2000到3000小 時之間的概率； （3）如果該元件使用了1000小時沒有壞， 問它可以繼續(xù)再使用2000小時的

33、概率。服從參數(shù)為的指數(shù)分布，0.00052.5.4 伽瑪分布記為 X Ga(, ),1( ), 0( )xp xxex其中 0， 0.為伽瑪函數(shù).10( )dxxex稱注意點 (1)(1) = 1, (1/2) =(n+1) = n! (2)Ga(1, ) = Exp()Ga(n/2, 1/2) = 2(n)2.5.5 貝塔分布記為 X Be(a, b), 111( )(1), 01( , )abp xxxxB a b其中a 0，b 0.稱1110( , )(1)dabB a bxxx為貝塔函數(shù).注意點 (1) (2) B(a, b) =B(b, a)B(a, b) =(a)(b) /(a+b

34、) (3) Be(1, 1) = U(0, 1) 均勻分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指數(shù)分布 Exp() : E(X) = 1/ 正態(tài)分布 N(, 2) : E(X) = 伽瑪分布 Ga(, ) : E(X) = / 貝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b) 均勻分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指數(shù)分布 Exp() 的方差= 1/2 正態(tài)分布 N(, 2) 的方差= 2例2.5.6 已知隨機變量 X 服從二項分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 則參數(shù) n, p 的值為多少？例2.5.7 設(shè) X 表示 10

35、 次獨立重復(fù)射擊命中目標 的次數(shù),每 次射中目標的概率為0.4, 則 E(X2)的值為多少？解：從 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得解：因為 E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以n=6, p=0.4. E(X2) = Var(X)+(E(X)2= 2.4+16=18.4 設(shè) E(X)=，Var(X)=2，則對任意常 數(shù) C， 必有（ ）.222222222(1) () ()(2) () () (3) () () (4) () () EXCE XCEXCEXEXCEXEXCEX課堂練習(xí)2.6 隨機變量函數(shù)的分布問題：已知 X 的分布，求 Y = g(X

36、) 的分布。例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 . 當 X 為離散隨機變量時， Y = g(X) 為離散隨機變量. 將g(xi) 一一列出, 再將相等的值合并即可. 2.6.1 離散隨機變量函數(shù)的分布一般地，若一般地，若X是離散型是離散型 隨機變量，其概率函數(shù)為隨機變量，其概率函數(shù)為X P X12nxxx12npppY=g(X) P Y12()()()ng xg xg x12nppp則則 如果如果 中有一些是相同的，把它們作適中有一些是相同的，把它們作適當并項即可當并項即可.()kg x例例設(shè)設(shè)X 0.2 0.1 0.5 0.2 P - -1 0 1 2 X求求 的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù).21YX例例 已知隨機變量已知隨機變量X 的分布律為：的分布律為：1(),1,2,3.2nP Xnn 求求s