關于功定義的討論

1、關 于 功 定 義 的 討 論華師大 王世濤 彭德應 晉元高級中學 沈亞輝機械運動中，功的概念由力和位移二個概念組合構成。在中學物理中，當常力F作用于物體，使物體發(fā)生位移S時，力F對物體作的功A定義為A = FS = FScos (1)(1) 式中為力F與位移S方向的夾角。A簡稱為力的功。功的定義要求力作用于物體上和位移是物體的位移。時下關于功的定義存在一種看法，認為：”當物體不能當作質點看待且其位移與力的作用點的位移有區(qū)別時，S應為的力的作用點的位移”。就是說在質點模型條件下，力直接作用于質點上時，質點位移與力的位移相等，功定義中的質點位移就是力作用點的位移；若力并不直接作用于質點上時，質點

2、位移與力的位移不一致，或者物體不能視作質點模型時，則功定義中的位移實際是力的作用點位移。也就是說，物體位移與力作用點位移是主體歸屬不同的二個位移概念，功定義式中的位移實際上是力作用點的位移。持這種看法的人認為，在中學物理中存在較多的物理題例能支持這種看法。較典型的物理問題如題例1：例1，如圖示，輕繩的B端固定于墻上，另一端通過輕滑輪施一恒力F。力的方向與水平成角。在力F作用下，木塊向右滑動了距離S。求這一過程中力F對木塊作的功。題例中力的作用點位移與木塊的位移不相同。力的作用點位移為2Scos (/2) ，力F與力作用點位移的夾角為 (/2) ，用力作用點位移定義的功計算力F的功得，A = 2

3、FSCos2(/2) ?？梢则炞C：力F作用于輕繩，相當于木塊直接受力F和水平繩子拉力T二個力作用。用物體位移定義的功，計算這二個力功的和，計算結果一致。盡管如此，我們認為在中學物理教學中，將功定義中的力作用點位移與物體位移混為一談，甚至用力的作用點位移替代物體位移的看法，容易引起功概念屬性模糊。用力的作用點位移替代物體位移，實際是用力的作用點位移定義功，具有不合理性。從某種角度上講，用力的作用點位移定義功或者用物體位移定義功是一種人為的約定行為。只要某種定義能獲得大家的認可，該定義就有可能存在。然而象其他物理概念一樣，功的定義在物理理論中能夠存在，還需要在客觀上滿足一些合理性條件。也就是說，需

4、要滿足功定義的普適性和功概念在物理理論中可應用性。一、功定義的普適性大家知道，中學物理僅是內(nèi)容層次相對較低的普通物理。中學物理中概念和規(guī)律的表述相對普通物理簡單一些，但是中學物理中概念和規(guī)律的內(nèi)涵則與普通物理是一致的。功的概念也不例外。功的概念是基于考察力的空間累積效應而建立，因而決定了功是一個過程物理量，且以元功的基本形式定義。力的元功定義為dA = Fdr (2)一些物理編著把元功表述為：元功dA等于作用力F與質點元位移dr的標積。明確指出力是作用于質點之力，元位移是質點的元位移2345。在有限的路徑上，質點從位矢r1至位矢r2的過程中，力F的功為過程中各元功累加，即線積分 A = dA

5、= Fdr （3）上述功的定義在經(jīng)典力學中能體現(xiàn)定義的普適性，具體表現(xiàn)如下幾點：（1）功定義中的力F除了要求作用于質點外，對力的大小，力的方問，力的性質，力隨時間或者空間變化的規(guī)律均無要求。即使力F并不直接作用于質點上，由力的傳遞性及力作用的等效原理，可以將力F轉換成直接作用于質點的力F。力F對質點的元功可以等效地表示成力F對質點的元功，元功表示式中位移仍然是質點的元位移。上述題例一中，非直接作用于木塊的力F，可以等效地換算成直接作用于木塊的力F .該力是力F和拉力T的合力，即 F = F + T。F大小為F = 2Fcoc(/2) ，與木塊的位移S夾角為(/2) ，故F 作功 A = 2Fc

6、os(/2)Scos(/2) = 2FSCos2(/2) 。也就是說，任何力都有功的定義。功定義中的元位移dr對質點的運動軌跡也無任何要求。質點的運動軌跡可以是直線也可以是曲線，在有限路徑上功均可以用（3）式表示。中學物理中計算水平面內(nèi)物體作園弧運動時摩擦力做的功，實際上用到了（3）式表述的物理思想。（2）在經(jīng)典力學中質點是最簡單的理想模型，其他物理模型都可以看成是若干質點模型的一種組合。例如質點系是n個相互作用的質點的集合；又例如剛體是質點之間相對位矢不變的質點等等。作用于這些理想模型上力的功具體表達形式，都可以運用質點位移定義的元功表示式邏輯地推導出。這些推導可以見諸于一些普通物理的編著中

7、234。由此可見，用質點位移表示的元功定義式普適于所有作機械運動的研究對象。（3）在中學物理中，力的作用時有涉及需要考慮體積大小作平動的剛體，故在定義功時，統(tǒng)稱質點或剛體為物體，稱功為對物體的功，功中的位移稱物體的位移。當力F為常力且物體位移為S時，由（3）式，可以將力的功表達式簡化成中學物理中功的定義（1）式，即A = FSCos。由此可見，中學物理中功的定義與經(jīng)典力學中功的定義在內(nèi)涵上具有一致性。 力的作用點位移是個并不確切的物理概念。力作用于質點上存在確定的力作用點，因而存在作用點位移；力作用于剛體上，由于作用于剛體的力是個滑移矢量， 力的三要素之一是力的作用線而不是力的作用點。剛體上的

8、力作用點在力的作用線上具有不確定性，因而力的作用點位移同樣具有不確定性 。對質點模型，若力直接作用于質點上，力的作用點位移與質點位移量值相同，用力的作用點位移定義功似可以成立； 若力間接作用于質點上，力作用點位移與質點位移量值雖然不相同，但是用力的作用點位移定義功也可以正確地計算功，如題例一所示。因此從方法論的角度考慮 似用力的作用點位移定義功也可以成立 。但是當力作用于剛體上時，由于力的作用點位移具有不確定性，用力的作用點位移表示功同樣具有不確定性。如題例2：例2，如圖示，木板A處于光滑水平面上，木塊B在木塊上。A和B之間摩擦系數(shù)為。當B受水平作用力F而相對A前進距離d時，求摩擦力對木板A功

9、。本題中，設木塊B相對水平面(慣性系)位移為S，則木板A位移為 (S - d) ，而木塊B對木板A摩擦力 f 作用點位移為S。故摩擦力對木板A功，若用木板位移計算為 f (S d ) ，若以摩擦力作用點位移計算為 f S 。顯然前者正確。因此，在經(jīng)典力學的框架內(nèi)，若堅持對某些運動對象用力作用點位移定義的功而某些運動對象用物體的位移定義功，則功定義的普適程度降低了。在中學物理教學中，不涉及剛體上力的性質討論。用二義的功定義討論力的功 ，學生不可能把握不同功定義的前提條件，容易造成概念混淆。不利于發(fā)展學生的物理學習能力。 二、功概念和動能定理 物理理論中， 物理規(guī)律可以用物理概念之間關系而得到表述

10、 。物理概念能夠表述物理規(guī)律體現(xiàn)了物理概念存在的價值。 功體現(xiàn)了力在空間的累積效應， 這種效應使得受力物體的動能發(fā)生變化，功和物體動能變化規(guī)律就是動能定理。從質點位移的功定義(1) 式以及體現(xiàn)質點動力學規(guī)律的牛頓第二定律表示式，可以演釋出動能定理的規(guī)律表達式。質點的牛頓定律可以表示成 F = m (dv/dt ) (4)其中v為力F作用于質量為m的質點的速度。設dr為質點的元位移 ，將元位移dr標積于(4)式方程二邊得 Fdr = m (dv/dt )dr (5) 上式左邊Fdr 為質點位移定義的元功dA，對右邊式m (dv/dt )dr，利用矢量導數(shù)運算規(guī)則可以推演得d(mv2/2) ，其中

11、(mv2/2)為質點動能表示式Ek，d(mv2/2) = d(Ek)為動能的元增量。(5)式可以寫成 dA = d(Ek )這就是動能定理的微分表達式。可見，用質點位移定義的功概念可以使牛頓第二定律以另一種形式表達。 能否用力的作用點位移定義的功來構建質點的動能定理呢？設dr為力作用點元位移，用同樣方法將dr標積于牛頓第二定律(4)式方程二邊，并利用矢量導數(shù)運算規(guī)則推演可以得 Fdr = mdvv上式左邊Fdr為力的作用點位移定義的元功dA，右邊為 mdvv ，其中v = dr /dt 為力作用點的速度，mdv與v分別屬于二個不同主體的物理矢量。這二個物理矢量的標積不可能歸屬于質點一個主體。更

12、不可能等于質點動能的增量。可見用力的作用點位移定義的元功無法構建動能定理。 這是反映用力的作用點位移定義功不合理性的最關鍵點。 中學物理中，經(jīng)常要討論子彈射擊物體一類的物理問題。比較典型的題例如： 質量為m的子彈以速度v0水平射向質量為M的木塊。木塊原來靜止在水平光滑的平面上。設子彈在木塊中受到的平均阻力為f，并且子彈留在木塊中。當木塊最后速率為v時，求(1)子彈留在木塊中深度d；(2)木塊開始作勻速運動前已經(jīng)運動的路程S。 本題中木塊顯然不能當作質點模型處理。木塊位移與木塊受子彈作用力的作用點位移不等。題解過程中，若都用物體的位移定義的功分別計算木塊和子彈相互作用力的功，再運用動能定理和動量守恒定律，將能正確地解得物理結果。若都用力作用點位移定義的功分別計算木塊和子彈相互作用力的功，會得到子彈和木塊相互作用力的功的和為零，系統(tǒng)總動能守垣的錯誤結果。綜上分析可以看出，中學物理用物體位移定義功是合理的。當前，素質教育要求中學物理教學應當重視