同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系81

1、graduate engineering mathematics同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系 2009-3-222009-3-22工科研究生數(shù)學(xué)工科研究生數(shù)學(xué) -矩陣論矩陣論第第 4 章章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間吳吳 群群同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系g e mg e m4.1 實內(nèi)積空間實內(nèi)積空間定義定義. .設(shè)設(shè)v 是一個實線性空間，是一個實線性空間，r為實數(shù)域，為實數(shù)域，2若若 a a, , b b v, 存在唯一的存在唯一的 r r與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，記作記作(a a, , b b ) = r, 并且滿足并且滿足(1) (a a, , b b ) = (b b, , a a ) (2) (a

2、a + +b b, , g g ) = (a a, , g g ) + (b b, , g g )(3) (ka a, , b b ) = k(a a, , b b )(4) (a a, , a a )00, (a a, , a a ) = 0 0 a a = 0 0則稱則稱 (a a, , b b ) 為為a a 與與b b 的內(nèi)積，的內(nèi)積，v 為為實實內(nèi)積空間。內(nèi)積空間。實實內(nèi)積空間也稱歐幾里得內(nèi)積空間也稱歐幾里得( (euclid) )空間?？臻g。對稱性對稱性線性性線性性非負性非負性g e mg e m3定義內(nèi)積定義內(nèi)積b ba ab ba at2211),( + + + + nnyxy

3、xyx,),(t21nxxx a at21),(nyyy b b,|),(trxxxxxxrnnn 2121例例. 線性線性空間空間稱為內(nèi)積稱為內(nèi)積空間空間 的標準內(nèi)積。的標準內(nèi)積。nrg e mg e m4定義內(nèi)積定義內(nèi)積b ba ab ba aat),( ,),(t21nxxx a at21),(nxxx b ba為為 n 階實正定矩陣，階實正定矩陣，,|),(trxxxxxxrnnn 2121例例. 線性線性空間空間g e mg e m5定義內(nèi)積定義內(nèi)積 aadxxgxfgf)()(),(例例. 線性線性空間空間ca, b，f , gca, bg e mg e m6由定義知由定義知(5)

4、 (a a , , b b + +g g ) = (a a, , b b ) + (a a, , g g )(6) (a a, , kb b ) = k(a a, , b b )g e mg e m向量長度向量長度, cauchy-schwarz不等式不等式),(a aa a定義定義. 設(shè)設(shè)v 為為實實內(nèi)積空間，稱內(nèi)積空間，稱 為向量為向量a a 的長度，的長度，記作記作 | |a a | |。定理定理. 設(shè)設(shè)v 是是實實內(nèi)積空間，內(nèi)積空間，a a , , b b v , k r ，則，則；當且僅當當且僅當且且00|, 0|)1( a aa aa a；| |)2(a aa akk |,| ),

5、( |)3(b ba ab ba a 等號成立當且僅當?shù)忍柍闪斍覂H當a a , , b b 線性相關(guān)；線性相關(guān)；。|)4(b ba ab ba a+ + + +cauchy-schwarz不等式不等式三角不等式三角不等式正定性正定性齊次性齊次性g e mg e m8 niiniiniiiyxyx12121)1(例：利用例：利用cauchy-schwaz不等式證明不等式證明 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()()2(22g e mg e m向量的夾角向量的夾角由由cauchy-schwaz不等式可知不等式可知,1| ),( |1 b ba ab ba a可用可用，中的結(jié)論中

6、的結(jié)論對比對比nr| ),( |,cosb ba ab ba ab ba a .,b ba ab ba a在內(nèi)積空間中的夾角在內(nèi)積空間中的夾角與與定義定義g e mg e m向量的正交向量的正交定義定義. 設(shè)設(shè)v 是是實實內(nèi)積空間，內(nèi)積空間，a a , , b b v , 若若 ( (a a , , b b ) 0 0 , 則稱則稱 a a 與與b b 正交，記作正交，記作 a a b b 。),(|2b ba ab ba ab ba a+ + + + +由由知知22|),(2|b bb ba aa a+ + + a a 與與b b 正交正交222|b ba ab ba a+ + + +這就是

7、實這就是實內(nèi)積空間中的勾股定理。內(nèi)積空間中的勾股定理。g e mg e m11向量向量a a 與與b b 在該基下的坐標為在該基下的坐標為的一個基，的一個基，維實內(nèi)積空間維實內(nèi)積空間是是，設(shè)設(shè)vnna aa aa a,21,),(t21nxxxx t21),(nxxxy ,2211nnxxxa aa aa aa a+ + + + nnyyya aa aa ab b+ + + + 2211g e mg e m12),(),(22112211nnnnyyyxxxa aa aa aa aa aa ab ba a+ + + + + + + ninjjiiiyx11),(a aa a nnnnnnnny

8、yyxxx2121222121211121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aayxt g e mg e m度量矩陣度量矩陣矩陣矩陣 a 稱為基的度量矩陣。稱為基的度量矩陣。aat ),(),(1221a aa aa aa a ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnaa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a即即 a 為實對稱矩陣。為實對稱矩陣。0

9、),( a aa aaxxt即即 a 為實正定矩陣。為實正定矩陣。g e mg e m,;,2121nnb bb bb ba aa aa a定理：設(shè)內(nèi)積空間定理：設(shè)內(nèi)積空間v 的兩個基是：的兩個基是：bappt 它們的度量矩陣它們的度量矩陣分別分別為為a與與b，則，則a與與b是合同的，是合同的，即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣p ，使得，使得其中可逆矩陣其中可逆矩陣p 是由前組基到后組基的過渡矩陣。是由前組基到后組基的過渡矩陣。g e mg e m4.2 標準正交基標準正交基的一組非零向量，的一組非零向量，是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間，定義：設(shè)定義：設(shè)vsa aa aa a,21若它們兩兩正交，則稱其

10、為一個正交向量組。若它們兩兩正交，則稱其為一個正交向量組。定理：正交向量組必是線性無關(guān)的。定理：正交向量組必是線性無關(guān)的。的一個正交向量組，的一個正交向量組，維內(nèi)積空間維內(nèi)積空間是是，若若vnna aa aa a,21的一個正交基。的一個正交基。則稱其為則稱其為vg e mg e m16的一正交基，的一正交基，是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間，定義：設(shè)定義：設(shè)vna aa aa a,21的一個標準正交基。的一個標準正交基。則稱其為則稱其為v且其中每個向量的長度都是且其中每個向量的長度都是 1，注意：注意：(1) 標準正交基的度量矩陣是單位矩陣，即標準正交基的度量矩陣是單位矩陣，即(2) 向量在標準正交

11、基下的坐標是該向量在對應(yīng)的向量在標準正交基下的坐標是該向量在對應(yīng)的基向量上的正投影，即基向量上的正投影，即),(),(2211inniixxxxa aa aa aa aa aa a+ + + + yxt ),(b ba ag e mg e mgram-schmidt 正交化過程正交化過程gram-schmidt 正交化過程：正交化過程：設(shè)設(shè)是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間v 中線性無關(guān)中線性無關(guān)的向量組的向量組，na aa aa a,21，使得，使得則則v 中存在正交向量組中存在正交向量組nb bb bb b,21 nnb bb bb ba aa aa a,2121g e mg e mgram-schmi

12、dt 正交化過程正交化過程 圖解圖解2222|a aaaaaa a 1212121(,)|b abb aba ababbab 12111(,)(,)b ab ab bbbbb 11a ab b 222a aa ab b 1b b 2b b 2a a2a a 1112122),(),(b bb bb ba ab ba ab b 222a aa aa a + + 2a a 1a a上的投影向量上的投影向量在在12a aa ag e mg e m19令令111222111121121112211;(,);(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrrbabab ab ababbabbb

13、bbb ab abab ab abababbbbabbbbbbbbbbbbbbb nnb bb bb ba aa aa a,212112,rbbbbbb是是正交向量組，并且正交向量組，并且則則g e mg e m112121211221,1rrrrrrrkkkkabababbabbabbbbabbbb + + (,)(,)ijijiiikb ab ab bb bb b 記記g e mg e m或或 100101),(),(21122121rrrrkkkb bb bb ba aa aa a注意到注意到k是可逆矩陣，因此是可逆矩陣，因此 nnb bb bb ba aa aa a,2121kg e

14、mg e m12,rbbbbbb是正交向量組是正交向量組下面用歸納法說明下面用歸納法說明),),(),(),(11jikiiikikjkb bb bb bb ba ab ba ab bb b ),(),(),(),(11jikiiikijkb bb bb bb ba ab bb ba a )1(kj ),1(0),(kjiji b bb b由歸納法假設(shè)可知由歸納法假設(shè)可知0),(),(),( kjjkjka ab bb ba ab bb b12,rbbbbbb是正交向量組。是正交向量組。即即g e mg e m矩陣矩陣a的的qr分解分解推論推論1：n 維實內(nèi)積空間維實內(nèi)積空間v 必存在標準正交

15、基。必存在標準正交基。推論推論2：n 維實內(nèi)積空間維實內(nèi)積空間v 中任一中任一正交向量組都可擴充成正交向量組都可擴充成v 的一個正交基。的一個正交基。推論推論3: 設(shè)設(shè)a為可逆陣，則存在為可逆陣，則存在正交陣正交陣q和可逆上三角陣和可逆上三角陣r使得使得 a = qr ，稱為矩陣，稱為矩陣a的的qr分解。分解。g e mg e m24設(shè)設(shè)a為為 n 階可逆陣，則利用階可逆陣，則利用gram-schmidt正交化過程，正交化過程，),(21naa aa aa a 100101),(211221nnnkkkb bb bb bknnn |)|,|,|(212211b bb bb bb bb bb b

16、b bb bb bg e mg e m25niiii 1,|b bb b 記記 |00|0|),(22211112121nnnnkkkab bb bb bb bb bb b 則則qra qrg e mg e m26例例: : 求求矩陣矩陣a的的qr分解，分解， 101011111ag e mg e m4.3 正交子空間正交子空間定義定義: : 設(shè)設(shè)w, u是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間v 的子空間，的子空間，(1) a a v , 若若 b b w, 都有都有(a, b a, b ) = 0, 則稱則稱a a 與與w 正交，記作正交，記作a a w ;(2) 若若 a a w, b b u, 都有都

17、有(a, b a, b ) = 0, 則稱則稱w 與與u 正交，記作正交，記作w u ;(3) 若若w u，并且，并且w + u = v, 則稱則稱u 為為w 的正交補。的正交補。注意：若注意：若w u，則則 w與與u 的和必是直和。的和必是直和。g e mg e m正交補的存在唯一性正交補的存在唯一性定理定理: : 設(shè)設(shè)w 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間v 的子空間，則的子空間，則w 的正交補的正交補存在且唯一，記該存在且唯一，記該正交補為正交補為 ，并且，并且 w,|vww a aa aa a;,0)1(. wvw證證再擴充再擴充的一個正交基的一個正交基取取,0)2(21reeeww 記記的一個

18、正交基的一個正交基為為,11nrreeeev+ + + +nreeu,1,|vwuwu a aa aa a且且的正交補，的正交補，是是往證，往證，g e mg e m向量的正投影向量的正投影定義定義: : 設(shè)設(shè)w 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間v 的子空間，的子空間，, wwv于是于是，其中其中有有 + + wwvg gb bg gb ba aa a,則稱向量則稱向量b b 為向量為向量a a 在在w上的正投影，上的正投影，稱向量長度稱向量長度| |g g | |為向量為向量a a 到到w 的距離。的距離。w b boa ag gg e mg e m垂線最短定理垂線最短定理定理定理: : 設(shè)設(shè)w 是

19、實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間v 的子空間，的子空間，a a v , b b 為為a a 在在w| a ab ba a 上的正投影，則上的正投影，則 w, 有有并且等號成立當且僅當并且等號成立當且僅當 b b = 。，ww b bb ba a,， b bb ba a ， a a b bb ba a + + （勾勾股股定定理理），222| a a b bb ba a + + | a ab ba a 即即w b ba ag e mg e m4.4 正交變換正交變換定義定義: : 設(shè)設(shè)t 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間v 的線性變換，若的線性變換，若 a a v 有有),()(),(a aa aa aa a tt

20、則稱則稱t 為為v 的正交變換。的正交變換。),(|a aa aa a 保持向量的長度不變；保持向量的長度不變；可看做可看做等式等式ttt),()(),(a aa aa aa a g e mg e m正交變換的特征刻畫正交變換的特征刻畫定理定理: : 設(shè)設(shè)t 是實內(nèi)積空間是實內(nèi)積空間v 的線性變換，的線性變換，a a, , b b v ，保持向量的長度不變；保持向量的長度不變；即即ttt),()(),()1(a aa aa aa a 保持向量的內(nèi)積不變；保持向量的內(nèi)積不變；即即ttt),()(),()2(b ba ab ba a 則下列命題等價，則下列命題等價，的的標標準準正正交交基基，是是v

21、eeen,21的標準正交基；的標準正交基；是是vetetetn)(,),(),()3(21,)4(21aeeetn下的矩陣是下的矩陣是在標準正交基在標準正交基若若eaaat 即即是正交陣是正交陣則則,g e mg e m33推論推論：(1) 兩個正交變換的積仍是正交變換；兩個正交變換的積仍是正交變換；(2) 正交變換的逆變換仍是正交變換。正交變換的逆變換仍是正交變換。11,2 |a|a|eaaat，則則，即即是正交陣是正交陣設(shè)設(shè),21aeeetn下下的的矩矩陣陣是是在在標標準準正正交交基基設(shè)設(shè)正正交交變變換換或或稱稱為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變換換；為為第第一一類類的的正正交交變變換換，稱稱時時，則則當當

22、t|a|1 為為第第二二類類的的正正交交變變換換。稱稱時時，當當t|a|1 ), 3 , 2()(,)(:11njttjj a aa aa aa a定義定義例如，例如，.,也稱為鏡面反射也稱為鏡面反射此時此時變換變換就是一個第二類的正交就是一個第二類的正交則則ttg e mg e mhouseholder 變換變換tnehr 21|, ，用正交陣，用正交陣且且例：設(shè)例：設(shè)構(gòu)造構(gòu)造 的正交變換的正交變換nrnrhh a aa aa a,)(討論正交變換討論正交變換h 的幾何意義。的幾何意義。g e mg e m故故h(a a)是是a a關(guān)于子空間的反射，關(guān)于子空間的反射，,wwrwn + + g

23、 gb bg gb ba aa a 其中其中設(shè)設(shè))(2(g gb ba a+ + teh g gb b g gb b g gg g g gb b |0tt，注意到，注意到， w a ag gb b ogg矩陣矩陣h 稱為稱為householder矩陣，矩陣，變換變換h 稱為稱為householder變換，變換，變換變換h 也稱初等反射也稱初等反射變換。變換。g e mg e m36，且且例例：設(shè)設(shè)|,b ba ab ba ab ba a nr求一個求一個初等反射初等反射變換變換h，使，使h(a a)=b b。只需求一個只需求一個 使得使得b b 是是a a 關(guān)于子空間關(guān)于子空間 的反射，的反射

24、， |b ba ab ba a 于是于是 與與a b a b 平行，故可取平行，故可取g e mg e m4.5 復(fù)內(nèi)積空間復(fù)內(nèi)積空間定義定義. .設(shè)設(shè)v 是一個是一個復(fù)復(fù)線性空間，線性空間，c 為復(fù)數(shù)域，為復(fù)數(shù)域，37若若 a a, , b b v, 存在唯一的存在唯一的 c c與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，記作記作(a a, , b b ) = = c, 并且滿足并且滿足(2) (a a + +b b, , g g ) = = (a a, , g g ) + (b b, , g g )(3) (ka a, , b b ) = = k(a a, , b b )(4) (a a, , a a )00,

25、(a a, , a a ) = = 0 0 a a = = 0 0則稱則稱 (a a, , b b ) 為為a a 與與b b 的內(nèi)積，的內(nèi)積，v 為為復(fù)復(fù)內(nèi)積空間。內(nèi)積空間。復(fù)復(fù)內(nèi)積空間也稱酉空間。內(nèi)積空間也稱酉空間。對稱性對稱性線性性線性性非負性非負性(1) (a a, , b b ) = = (b b, , a a ) g e mg e m38定義內(nèi)積定義內(nèi)積b ba ab ba at2211),( + + + + nnyxyxyx,),(t21nxxx a at21),(nyyy b b,|),(21t21cxxxxxxcnnn 例例. 線性線性空間空間稱為復(fù)內(nèi)積稱為復(fù)內(nèi)積空間空間 的

26、標準內(nèi)積。的標準內(nèi)積。ncg e mg e m39在復(fù)內(nèi)積空間中還有在復(fù)內(nèi)積空間中還有(5) (a a , , b b + +g g ) = (a a, , b b ) + (a a, , g g )(6) (a a, , kb b ) = k(a a, , b b )|),()7(a aa aa aa a記作記作的長度，的長度，稱為稱為(8) cauchy-schwaz不等式不等式),(),(),( ),(b bb ba aa ab ba ab ba a ,| ),( |arccos,)9(b ba ab ba ab ba ab ba a 的夾角的夾角與與且且 ( (a a , , b b

27、) 0 0 a a 與與b b 正交正交(10) schmidt正交化過程把線性無關(guān)的向量組變成正交組正交化過程把線性無關(guān)的向量組變成正交組g e mg e m40向量向量a a 與與b b 在該基下的坐標為在該基下的坐標為的一個基，的一個基，維復(fù)內(nèi)積空間維復(fù)內(nèi)積空間是是，設(shè)設(shè)vnna aa aa a,21,),(t21nxxxx t21),(nxxxy ,2211nnxxxa aa aa aa a+ + + + nnyyya aa aa ab b+ + + + 2211g e mg e m41),(),(22112211nnnnyyyxxxa aa aa aa aa aa ab ba a+

28、+ + + + + + ninjjiiiyx11),(a aa a nnnnnnnnyyyxxx2121222121211121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa ayaxt g e mg e m度量矩陣度量矩陣矩陣矩陣 a 稱為基的稱為基的度量矩陣度量矩陣。 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnaa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a0),(

29、 a aa axaxt，即，即 a 為復(fù)正定矩陣。為復(fù)正定矩陣。，則稱，則稱 a 為為hermite矩陣。矩陣。aat 若若aat ),(),(1221a aa aa aa a，即，即a 為為hermite矩陣。矩陣。稱稱 a 為復(fù)正定矩陣。為復(fù)正定矩陣。00 xxaxt等號成立當且僅當?shù)忍柍闪斍覂H當，若若g e mg e m設(shè)設(shè)t 是復(fù)內(nèi)積空間是復(fù)內(nèi)積空間v 的線性變換，若的線性變換，若 a a v 有有),()(),(a aa aa aa a tt則稱則稱t 為為v 的酉變換。的酉變換。為酉矩陣。為酉矩陣。則稱則稱設(shè)設(shè)aeaaaatt, g e mg e m定理定理: : 設(shè)設(shè)t 是復(fù)內(nèi)

30、積空間是復(fù)內(nèi)積空間v 的線性變換，的線性變換，a a, , b b v ，；),()(),()1(a aa aa aa a tt；),()(),()2(b ba ab ba a tt則下列命題等價，則下列命題等價，的的標標準準正正交交基基，是是veeen,21的標準正交基；的標準正交基；是是vetetetn)(,),(),()3(21,)4(21aeeetn下的矩陣是下的矩陣是在標準正交基在標準正交基若若eaaaaatt 即即是酉矩陣是酉矩陣則則,g e mg e m4.6 正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣為正規(guī)陣。為正規(guī)陣。則稱則稱且且是復(fù)方陣，是復(fù)方陣，：設(shè)：設(shè)定義定義aaaaaatt,1 例如，對角陣，

31、酉矩陣，例如，對角陣，酉矩陣，hermite陣都是正規(guī)陣。陣都是正規(guī)陣。的復(fù)方陣都是正規(guī)陣。的復(fù)方陣都是正規(guī)陣。，滿足滿足kaakeaatt bauuauut 1定義定義2：設(shè)：設(shè) a, b是復(fù)方陣，若存在酉矩陣是復(fù)方陣，若存在酉矩陣u，使，使則稱則稱a與與b酉相似。酉相似。g e mg e m定理定理1：任意復(fù)方陣必與上三角陣：任意復(fù)方陣必與上三角陣酉相似酉相似。對復(fù)方陣的階數(shù)用歸納法。對復(fù)方陣的階數(shù)用歸納法。引理引理1：正規(guī)的三角陣必是對角陣。：正規(guī)的三角陣必是對角陣。定理定理2：復(fù)方陣：復(fù)方陣a與對角陣與對角陣酉相似的充分必要條件是酉相似的充分必要條件是a是正規(guī)陣。是正規(guī)陣。推論：實對稱

32、推論：實對稱陣必與對角陣相似的陣必與對角陣相似的。g e mg e menbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuirfock9h6e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfnck9h5e2b+x(u$rzowkthqembj7g4d1z-w*t!qymvjsgodlai6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e

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