小學(xué)數(shù)學(xué)比和比例問(wèn)題知識(shí)匯總

1、小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)之比和比例應(yīng)用題【求比的問(wèn)題】例1 兩個(gè)同樣容器中各裝滿(mǎn)鹽水。第一個(gè)容器中鹽與水的比是23，第二個(gè)容器中鹽與水的比是34，把這兩個(gè)容器中的鹽水混合起來(lái)，則混合溶液中鹽與水的比是_。（無(wú)錫市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）則混合溶液中，鹽與水的比是：某電子產(chǎn)品去年按定價(jià)的80出售，能獲利20，由于今年買(mǎi)入價(jià)降（1994年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）即：【比例問(wèn)題】例1 甲、乙兩包糖的重量比是41，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲、乙兩包糖的重量比變?yōu)?5 那么兩包糖重量的總和是_克。（1989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）例2 甲容器中有純酒精11升，乙容器中有水15升，第一次將甲容器中

2、的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合。第二次將乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。這樣甲容器中純酒精含量為62.5，乙容器中純酒精含量為25，那么，第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是_升。（1991年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：因?yàn)楝F(xiàn)在乙容器中純酒精含量為25，所以，乙容器中酒精與水的比為25（1-25）=13第一次從甲容器中倒5升純酒精到乙容器，才使得乙容器中純酒精與水的比恰好是515=13又甲容器中純酒精含量為62.5，則甲容器中酒精與水的比為62.5（1-62.5）=53第二次倒后，要使甲容器中純酒精與水的比為53，不妨把從甲容器中倒入乙容器的混合液中純酒精作1份，水作3份。那

3、么甲容器中剩下的純酒精便是11-5=6（升）6升算作4份，這樣可恰好配成53。而第二次從乙容器倒入甲容器的混合液共為13=4（份），所以也應(yīng)是6升。（1）比的意義兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。 “：”是比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。比的后項(xiàng)不能是零。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值（2）比的性質(zhì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值

4、不變，這叫做比的基本性質(zhì)。（3）求比值和化簡(jiǎn)比求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。 （4）比例尺圖上距離：實(shí)際距離=比例尺要求會(huì)求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來(lái)表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。 （5）按比例分配在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多

5、少。 2比例的意義和性質(zhì) （1）比例的意義表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。 （2）比例的性質(zhì)在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。 （3）解比例根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。 3正比例和反比例 （1）成正比例的量?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。用字母表示y/x=k(一定） （2）成反比例的量?jī)?/p>

6、種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。用字母表示x×y=k(一定)二 正反比例問(wèn)題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合

7、運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類(lèi)問(wèn)題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？關(guān)鍵：做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系例3 孫亮看十萬(wàn)個(gè)為什么這本書(shū)，每天看24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè)，幾天就可以看完？三 按比例分配問(wèn)題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)

8、按照一定的比分成若干份。這類(lèi)題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問(wèn)題看，求幾個(gè)部分量各是多少。 總份數(shù)比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹(shù)560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹(shù)多少棵？例2 用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成

9、一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？例3 從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。例4 某工廠第一、二、三車(chē)間人數(shù)之比為81221，第一車(chē)間比第二車(chē)間少80人，三個(gè)車(chē)間共多少人？四 列方程 例1 甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？例2 倉(cāng)庫(kù)里有化肥940袋，兩輛汽車(chē)4次可以運(yùn)完，已知甲汽車(chē)每次運(yùn)125袋，乙汽車(chē)每次運(yùn)多少袋？智趣題學(xué)校買(mǎi)了4張辦公桌和1把椅子，共用去510元，后又買(mǎi)來(lái)6張辦公桌和1把椅子共用去7

10、50元。求每張辦公桌和每把椅子各多少元？作業(yè)1 一臺(tái)拖拉機(jī)第一天上午3小時(shí)平均每小時(shí)耕地7.8公畝，下午4小時(shí)平均每小時(shí)耕地8.1公畝，第二天用了5小時(shí)耕地38.4公畝，正好完成任務(wù)。這臺(tái)拖拉機(jī)平均每天耕地多少公畝?2王、張兩人各帶同樣多的錢(qián)去商店買(mǎi)花布，同種的花布小王買(mǎi)了9米，小張買(mǎi)了6米。王向張借了12元，兩人的錢(qián)剛好用完。這種花布每米多少元?比的應(yīng)用練習(xí)題1、兩個(gè)相同的瓶子都裝滿(mǎn)了酒精溶液，一個(gè)瓶中酒精與水的體積比是3 ：1，另一個(gè)瓶中酒精與水的體積比是4 ：1。如果把這兩個(gè)瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是（ ）。2、五角人民幣與貳角人民幣的張數(shù)比為12 ：35，那么伍角與貳角

11、的總錢(qián)數(shù)比為（ ）。3、甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是60。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比是3 ：2 ：1。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)各是多少？4、一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角度數(shù)的比是2 ：1，這兩個(gè)銳角分別是多少度？5、大、小兩瓶油共重2.7千克，大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油與小瓶?jī)?nèi)油的重量比是3 ：2。求大、小瓶里各裝油多少千克？6、甲、乙、丙三位同學(xué)共有圖書(shū)108本，乙比甲多18本，乙與丙的圖書(shū)數(shù)之比是5 ：4，求甲、乙、丙三人各有圖書(shū)多少本？7、一個(gè)直角三角形的三條邊總和是60厘米，已知三條邊的比是3 ：4 ：5.這個(gè)直角三角形的面積是多少平方厘米？8、一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為36厘米，三條邊的長(zhǎng)度比是3

12、：4 ：5，這個(gè)三角形的面積是多少平方厘米？9、一瓶鹽水，鹽和水的重量比是1 ：24，如果再放入75克水，這時(shí)鹽與水的重量比是1 ：27，原來(lái)瓶?jī)?nèi)鹽水重多少千克？10、盒子里有三種顏色的球，黃球個(gè)數(shù)與紅球個(gè)數(shù)的比是2 ：3，紅球個(gè)數(shù)與白球個(gè)數(shù)的比是4 ：5。已知三種顏色的球共175個(gè)，紅球有多少個(gè)？11、王老師用100元去買(mǎi)了20支圓珠筆和10支鋼筆，每支鋼筆的價(jià)錢(qián)和每支圓珠筆的價(jià)錢(qián)的比是3 ：1。問(wèn)買(mǎi)圓珠筆和鋼筆各花了多少元？12、甲、乙兩包糖果的重量的比是4 ：1，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲、乙兩包糖果重量的比變?yōu)? ：5。那么兩包糖果重量的總和是多少？13、某小學(xué)男、女生人數(shù)之比

13、是16 ：13，后來(lái)有幾位女生轉(zhuǎn)學(xué)到這所學(xué)校，男、女生人數(shù)之比變成為6 ：5，這時(shí)全體學(xué)生共有880人，問(wèn)轉(zhuǎn)學(xué)來(lái)的女生有多少人？14、小明讀一本書(shū)，已讀的和末讀的頁(yè)數(shù)比是1 ：5。如果再讀30頁(yè)，則已讀的和末讀的頁(yè)數(shù)之比為3 ：5。這本書(shū)共有多少頁(yè)？15、運(yùn)輸隊(duì)要運(yùn)一批貨物，已經(jīng)運(yùn)走的和剩下的比是1 ：4。如果再運(yùn)走4噸，那么運(yùn)走的和剩下的比為3 ：7。這批貨物共多少?lài)崳?6、甲、乙、丙三人的彩球數(shù)的比例為9：4：2，甲給了丙30個(gè)彩球，乙也給了丙一些彩球，比例變?yōu)? ：1 ：1。乙給了丙多少個(gè)彩球？溶液?jiǎn)栴} 一碗糖水中有多少糖，這就要用百分比濃度來(lái)衡量.放多少水和放多少糖能配成某一濃度的糖水

14、，這就是配比問(wèn)題.在考慮濃度和配比時(shí)，百分?jǐn)?shù)的計(jì)算扮演了重要的角色，并產(chǎn)生形形色色的計(jì)算問(wèn)題，這是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的一個(gè)重要內(nèi)容. 從一些基本問(wèn)題開(kāi)始討論.例15 基本問(wèn)題一（1）濃度為10，重量為80克的糖水中，加入多少克水就能得到濃度為8的糖水？（2）濃度為20的糖水40克，要把它變成濃度為40的糖水，需加多少克糖？解：（1）濃度10，含糖 80×10 8（克），有水80-872（克）.如果要變成濃度為8，含糖8克，糖和水的總重量是8÷8100（克），其中有水100-892（克）.還要加入水 92- 72 20（克）.（2）濃度為20，含糖40×208（克），

15、有水40- 8 32（克）.如果要變成濃度為40，32克水中，要加糖x克，就有x3240（1-40），例16 基本問(wèn)題二20的食鹽水與5的食鹽水混合，要配成15的食鹽水900克.問(wèn)：20與5食鹽水各需要多少克？解： 20比15多（20-15）， 5比15少（15-5），多的含鹽量（20-15）×20所需數(shù)量要恰好能彌補(bǔ)少的含鹽量（15-5）×5所需數(shù)量.也就是畫(huà)出示意圖：相差的百分?jǐn)?shù)之比與所需數(shù)量之比恰好是反比例關(guān)系.答：需要濃度 20的 600克，濃度 5的 300克.這一例題的方法極為重要，在解許多配比問(wèn)題時(shí)都要用到.現(xiàn)在用這一方法來(lái)解幾個(gè)配比的問(wèn)題.例17 某人到商品

16、買(mǎi)紅、藍(lán)兩種筆，紅筆定價(jià)5元，藍(lán)筆定價(jià)9元.由于買(mǎi)的數(shù)量較多，商店就給打折扣.紅筆按定價(jià) 85出售，藍(lán)筆按定價(jià) 80出售.結(jié)果他付的錢(qián)就少了18.已知他買(mǎi)了藍(lán)筆 30支，問(wèn)紅筆買(mǎi)了幾支？解：相當(dāng)于把兩種折扣的百分?jǐn)?shù)配比，成為1-1882.（85%-82）（82%-80）32.按照基本問(wèn)題二，他買(mǎi)紅、藍(lán)兩種筆的錢(qián)數(shù)之比是23.設(shè)買(mǎi)紅筆是x支，可列出比例式5x9×3023答：紅筆買(mǎi)了 36支.配比問(wèn)題不光是溶液的濃度才有的，有百分?jǐn)?shù)和比，都可能存在配比.要提請(qǐng)注意，例17中是錢(qián)數(shù)配比，而不是兩種筆的支數(shù)配比，千萬(wàn)不要搞錯(cuò).例18 甲種酒精純酒精含量為72，乙種酒精純酒精含量為58，混合后

17、純酒精含量為 62.如果每種酒精取的數(shù)量比原來(lái)都多取15升，混合后純酒精含量為63.25.問(wèn)第一次混合時(shí)，甲、乙兩種酒精各取多少升？解：利用例16的方法，原來(lái)混合時(shí)甲、乙數(shù)量之比是后一次混合，甲、乙數(shù)量之比是這與上一講例 14是同一問(wèn)題.都加15，比例變了，但兩數(shù)之差卻沒(méi)有變.5中前、后兩項(xiàng)都乘2，35中前、后兩項(xiàng)都乘3，就把比的份額統(tǒng)一了，即答：第一次混合時(shí)，取甲酒精12升，乙酒精30升.例19 甲容器中有8的食鹽水300克，乙容器中有12.5的食鹽水 120克.往甲、乙兩個(gè)容器分別倒入等量的水，使兩個(gè)容器的食鹽水濃度一樣.問(wèn)倒入多少克水？解：要使兩個(gè)容器中食鹽水濃度一樣，兩容器中食鹽水重量

18、之比，要與所含的食鹽重量之比一樣.甲中含鹽量：乙中含鹽量= 300×8120×12.5= 85.現(xiàn)在要使（300克+倒入水）（120克+倒入水）85.把“300克+ 倒入水”算作8份，“120克+ 倒入水”算作5份，每份是（300-120）÷（8-5）= 60（克）.倒入水量是 60×8-300 180（克）.答：每一容器中倒入 180克水.例20 甲容器有濃度為2的鹽水 180克，乙容器中有濃度為 9的鹽水若干克，從乙取出 240克鹽水倒入甲.再往乙倒入水，使兩個(gè)容器中有一樣多同樣濃度的鹽水.問(wèn)：（1）現(xiàn)在甲容器中食鹽水濃度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？解：（1）現(xiàn)在甲容器中鹽水含鹽量是180×2 240×9 25.2（克）.濃度是÷（180 240）× 100= 6.（2）“兩個(gè)容器中有一樣多同樣濃度的鹽水”