勾股定理及其應用

1、第五次課勾股定理及其應用本章知識要點A.勾股定理及其逆定理。B.驗證、證明勾股定理及其依據(jù)（面積法）C.勾股數(shù)組、基本勾股數(shù)組及勾股數(shù)的推算公式。D.勾股定理及其逆定理的應用。E.感受“方程”思想、“數(shù)形結(jié)合”思想、“化歸與轉(zhuǎn)化”思想等數(shù)學思想。內(nèi)容/概念表示方法/舉例勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如果用a , b表示直角三角形的兩直角邊，c表示斜邊， 那么a2 b2 c2勾股定理的逆定理如果一個三角形的三邊滿足：兩短邊的平方和等于最長邊的平 方，那么這個三角形是直角三角 形用a,b,c （ c為最長邊）表示 三角形的三邊，如果a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形勾股

2、數(shù)滿足a2 b2 c2的三個正整數(shù)，稱為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)有：3,4,5 ；5,12,13 ； 6,8,10 ； 7,24,25 ；8,15,17 等基本勾股數(shù)組滿足a2 b2 c2且a,b,c互質(zhì)的三個正整數(shù)，稱為一組基本勾股數(shù)組常見的基本勾股數(shù)組有：3,4,5 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ；8,15,17 等重點知識勾股定理的驗證驗證方法驗證過程（美）伽菲爾德總統(tǒng)拼圖如右圖,以1 a2直角梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和，所11b ? a b 2 -ab -22a2 b2c2趙爽弦圖直角邊長分別為a,b的直角三角形和一個邊長為b a的正方形，所以其面積為b a2 所以

3、 c24 1ab b a2從而c2a2 b2.劉徽：青朱出如右圖，通過拼圖，以c為邊長的正方形面積等于分別以a,b為入圖邊長的兩個正方形的面積之和如右圖，用四個全等的直角三角形可得到一個以b a為邊長的小正方形和一個邊長為c的大正方形，因為大正方形的邊長 為c，所以面積為c2，又因為大正方形被分割成了四個全等的名師提示用拼圖法驗證勾股定理的思路：圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，那么面積就不會改變；根據(jù)同一種圖 形面積的不同表示方法（簡稱面積法）列出等式，推導勾股定重點知識確定幾何體上的最短路線描述幾長將長方體相鄰何方側(cè)面展開，轉(zhuǎn)體化成一個長方體形的FEDA 7 B乙名師提示圓柱的側(cè)

4、面展開圖是一個長方形展開ABrFDEF展開C示意圖9AB C甲D丙(1)對于長方體相鄰兩個面的展開圖，一定要注意打開的是哪一個 側(cè)面，比較三種打開方式的路徑長度，得到最短路徑.(2)勾股定理是直角三角形的一個重要性質(zhì)，它把三角形有一個直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的一 個典范(3)直角三角形的判別條件可以應用到實際生活中，也就是把一些實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決。例1兩個全等的長方形如圖1-1-1放置，可驗證勾股定理.連接AC,AC，CC，設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，請利用四邊形BCC D的面積驗證勾股定理a2 b2 c2.7C本；基例2 (1)在下列數(shù)組3, 4,

5、 5;4，5，6;5，12，1.340, 41;8, 15, 17; 10, 24, 26 中，勾股數(shù)組勾股數(shù)組有已知ABC中，B 90o , A, B, C的對應邊分別是a,口 Ab,c 圖1?1-15山B12 ,則c2(3)已知一直角三角形中有兩邊長分別為3和4,第三邊的平方為,求四邊形ABCD勺面積例 3 已知，如圖 1-1-2 ,四邊形 ABCDK AB=3cmAD=4cmBC=13cmCD=12cm 且/ A=90°例4如圖1-1-4，已知在 ABC中，AB=10 BC=21 AC=17 求 BC邊上的高 AD的長.例 5 (1)已知Rt ABC的兩直角邊 AC=5 BC=

6、12 D是BC的平分線時，求CD的長?占八、點C恰好落在點A上，求AE的長。£F C圖 1-1-6y 圖1-1-5-一-D圖 1-1-4(2)如圖1-1-5 , 一張長為8cm,寬為4cm的矩形紙片ABCD沿EF折疊，(3)如圖1-1-6,將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰 好落在BC邊上F點處，已知AB=3,BC=4,求圖中陰影部分 的面積.例6. (1)如圖1-2-9 (1)，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上, 請問它飛行的最短路程是多少米？(先畫出示意圖，然后再求解)(2)如圖咋1-遇2)矗風過番蘭一希望小學的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部處，已知旗桿原長16 m

7、 ,你能求出旗桿在離底部多少曲W米的位置斷裂嗎？】細圖 1-2-9 (1)7Ke B圖 1-2-A、B兩個小鎮(zhèn)在河流CD同側(cè)，至府可的距離分別為 AO 10千0千米，現(xiàn)在要在河岸上修建一個自來水廠，分別向兩鎮(zhèn)供水/甫設(shè)設(shè)水管的費用為每千米3萬元，請你在河岸上選擇自來水廠的 位置，使鋪設(shè)水管的總費用最低，并求出最低總費用.ft例8如圖1-2-7，一架長2.5 m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離 墻底0.7 m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4 m ，求梯子底端將向左滑動多少O. 4of家庭作業(yè)1-2-6A.三個角度之比為1 :3的三角形是直角三角形;圖 1-2-7B.三條邊長之比為3 :5的

8、三角形是直角三角形;1.下列結(jié)論錯誤的是（C.三條邊長比為8： 16： 17的三角形是直角三角形;D.三個角度之比為1 ： 1 ： 2的三角形是直角三角形。)2.在Rt ABC中，斜邊AB=1,貝U式子AB2 BC2 AC 2的值為（5. ABC中，A吐25,BO20,C心15,CM和CH分別是中線和高。那么Saabc=,M*6.已知直角三角形兩邊的長為3和4,則此三角形的周長為7. ABC中, AB=AC=17m , BC=163m , ADL BC于 D,貝U AD=8.如圖 1-1-2 , D為ABC的邊 BC上的一點,已知 AB=13 AD=12 AC=15,BD=5 ,A則BC的長為9.如圖1-1-5 , A B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè),分別到河的距離為'AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,現(xiàn)在要在河邊建A B兩鎮(zhèn)圖 1-1-2供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬元，請你在河流CD上選擇水廠的位置M使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少?10.如圖1-1-6 , 一架梯子的長度為25米,如圖斜靠在墻上，梯子頂端離墻底端為7米。這個梯子頂端離地面有多高?C 圖 1-