現(xiàn)代控制一級倒立擺

1、倒立擺實驗電子工程學(xué)院自動化學(xué)號：目錄1 實驗設(shè)備簡介 31.1 倒立擺介紹 31.2 直線一級倒立擺 42 倒立擺建模 42.1 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo) 42.1.1 受力分析 52.1.2 微分方程建模 72.1.3 狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 82.2 實際系統(tǒng)模型建立 93系統(tǒng)定性、定量分析 103.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析 103.1.1 穩(wěn)定性分析 103.1.2 能控性分析 124極點配置的設(shè)計步驟 124.1 極點配置的計算 124.2 用MATLAB 進行極點配置的計算 144.3 極點配置的綜合分析 155小結(jié) 161 實驗設(shè)備簡介1.1 倒立擺介紹倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)

2、，人為控制使其處于動態(tài)平衡的一種擺。 如雜技演員頂桿的物理機制可簡化為一級倒立擺系統(tǒng)，是一個復(fù)雜，多變量，存在嚴重非線性，非自制不穩(wěn)定系統(tǒng)。常見的倒立擺一般由小車和擺桿兩部分組成，其中擺桿可能是一級，二級或多級，在復(fù)雜的倒立擺系統(tǒng)中，擺桿的長度和質(zhì)量均可變化。1.2 直線一級倒立擺根據(jù)自控原理實驗書上相關(guān)資料，直線一級倒立擺在建模時, 一般忽略系統(tǒng)中的一些次要因素. 例如空氣阻力、伺服電機的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度等，之后可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)的桿組成的系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)是典型的機電一體化系統(tǒng)其機械部分遵循牛頓的力學(xué)定律其電氣部分遵守電磁學(xué)的基本定理. 無論哪種類型的倒立擺

3、系統(tǒng), 都具有 3 個特性 , 即 : 不確定性、耦合性、開環(huán)不穩(wěn)定性 . 直線型倒立擺系統(tǒng), 是由沿直線導(dǎo)軌運動的小車以及一端固定于小車上的勻質(zhì)長桿組成的系統(tǒng). 小車可以通過傳動裝置由交流伺服電機驅(qū)動. 小車導(dǎo)軌一般有固定的行程, 因而小車的運動范圍是受到限制的。2 倒立擺建模2.1 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)對于忽略各種摩擦參數(shù)和空氣阻力之后，直線一即倒立擺抽象為小車和均質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。本系統(tǒng)的參數(shù)定義如下：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置（變量）擺桿與垂直向上方向的夾角（輸出）0擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位

4、置為豎直向下）2.1.1 受力分析下面我們對這個系統(tǒng)作一下受力分析。N和p為小車與擺桿相互作用 力的水平和垂直方向的分量。應(yīng)用牛頓第二定律方法來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程過程如下: 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:(2-1)Mx F bx N由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：d2N m (x l sin ) dt(2-2)N mX ml |cos ml |2 sin(23)把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程:2 .L(2-4)(M m)x bx ml cos ml sinF為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程:P

5、mgmd2(lcos )dt2P mg ml |sinml 2 cos(2-5)(2-6)力矩平衡方程如下:注意：此方程中力矩的方向，由于,cos cos ,sin sin(2-7)Pl sin Nl cos I(2-9)故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N,得到第二個運動方程:2、(I ml ) mglsin mlxcos(2-8)2.1.2 微分方程建模設(shè) ，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1 (單位是弧度)相比很小，即 1時，則可以進行近似處理：cos 1,sin(d-)2 0dt 。為了與控制理論的表達習(xí)慣相統(tǒng)一，即 u一般表示控制量，用u來代表被控對象的輸入力F ,線性化后得

6、到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達式：2I ml mgl mlx(M m)x bx ml方程組（2-9 ）對x，解代數(shù)方程，得到如下解:2(I ml2)bx xI (M m) Mml222m gl2I (M m) Mml2(I E 2u I (M m) Mmlmlb2 xI (M m) Mmlmgl(M m) 2I (M m) MmlI (Mmlm)2 uMml (2-11)2.1.3 狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式:X AX Bu(2-10)Y CX Du整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:01000x(Iml2)bm2gl2xI ml200 0xI (M

7、 m) Mml2I (M m)MmlxI(M m) Mml200010mlbmgl(Mm) 0ml0I (M m) Mml2I (M m)Mml22I(M m) Mmlux1 0 0 0 X 0u u0 0 100(2-12)2.2 實際系統(tǒng)模型建立實際系統(tǒng)參數(shù)如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程，并進行脈沖 響應(yīng)和階躍響應(yīng)的Matlab仿真。M小車質(zhì)量1.096kgm擺桿質(zhì)量0.109kgb小車摩擦系數(shù)0.1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度（本實驗為0.3m）0.25mI擺桿慣量0.006kg*m*mF加在小車上的力X小車位置T米樣頻率0.005 秒0擺桿與垂直向下方向的夾角1)以

8、外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:0.8906 u00 -0.0891 0.7167 0 x00010 -1.9235 31.6926 02.6838x1 0 0 0 x 0 u0 0 1003系統(tǒng)定性、定量分析3.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析3.1.1 穩(wěn)定性分析先分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將數(shù)據(jù)代入狀態(tài)方程中，利用 matlab程序可以求出系統(tǒng)的零極點。程序段如下：num,den=ss2tf(A,B,C,D) %狀態(tài)空間表達式一一 傳遞函數(shù)為-2.6838/。2-31.6926)z,p,k=tf2zp(num,den)%傳遞函數(shù)零極點型結(jié)果如下：零點：z =5.4344 0.5492-5.4344

9、-0.0000極點：p =0-5.65165.6081-0.0456由得到的p （極點）可知，有的極點在單位圓外，所以可知原系統(tǒng)是 不穩(wěn)定。3.1.2能控性分析我們可以利用matlab來得到系統(tǒng)的能控性，源代碼如下：uc=ctrb(A,B)喈U斷能控性r=rank(uc)漁秩r =4由得到的rank (ud)的值可知，原系統(tǒng)的能控性矩陣為 4,所以我們 可知原系統(tǒng)是能控的。4極點配置的設(shè)計步驟4.1 極點配置的計算對于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間和 合適的阻尼。倒立擺極點配置原理圖如圖所示：狀態(tài)兗艮E律巾立博極點酉己置原理由極點配置步驟如下:(1)檢驗系統(tǒng)能控性(以證

10、)(2)計算特征值選取期望的閉環(huán)極點1,2,3,4)1-102-10-2 3.3j1-23.3j期望的特征方程為:124 24 3 194.894697.8101489因此可以得到:114892 697.83 194,89由系統(tǒng)的特征方程:10.089101.92350-0.7167-31.6926102 3.3j242 3.3j 3_ 20.0891 -31.6926-2.82381因此有:a10a22.8238a3-31.6926 a40.0891系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：Ka11a22a33 a44T 13)狀態(tài)反饋增益矩陣K 為：Ka11 a22 a33 a44T 1-56.6141 -

11、32.9817 114.1177 19.85404.2 用MATLAB進行極點配置的計算程序段如下：num,den=ss2tf(A,B,C,D)p=-10 -10 -2+3.3j -2-3.3j;K=acker(A,B,p)%狀態(tài)空間表達式傳遞函數(shù)為-2.6838代2-31.6926)%期望極點配置%求狀態(tài)增益K結(jié)果相同：K -56.6141 - 32.9817 114.1177 19.8540系統(tǒng)輸出響應(yīng)圖3系統(tǒng)輸出響應(yīng)圖4.3 極點配置的綜合分析極點配置法成功實現(xiàn)了同時對倒立擺擺角和小車的位置的控制，但是在極點配置時，期望極點的選取，需要考慮、研究它們對系統(tǒng)品質(zhì)的 影響以及它們與零點分布狀況的關(guān)系，還需要顧及抗干擾性能方面的 要求。無論開環(huán)極點和零點在這為我們提供了控制系狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點是極點的任意配置, 什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測量和反饋的話，狀態(tài)反饋可以提供簡單而適用的設(shè)計。5 小結(jié)通過本次讀書工程，我對狀態(tài)空間有了更深的了解，從建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間方程再到對系統(tǒng)的穩(wěn)定性能控性分析，都充分的將理論與實踐結(jié)合了起來。極