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1、課程指點課四課程指點課四第第4章章 振動振動4.1 簡諧振動及其描畫簡諧振動及其描畫4.2 簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程4.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量4.4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成4.5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振教師：鄭采星教師：鄭采星大學物理大學物理1根本要求根本要求教學根本內(nèi)容、根本公式教學根本內(nèi)容、根本公式第第4章振動章振動掌握簡諧振動及其特征量頻率、周期、振幅和周相，掌握旋轉矢量法。能建掌握簡諧振動及其特征量頻率、周期、振幅和周相，掌握旋轉矢量法。能建立諧振動運動學方程。了解諧振動的能量。了解阻尼振動、受迫振動、共振。掌立諧振動運動學方程。了

2、解諧振動的能量。了解阻尼振動、受迫振動、共振。掌握同方向同頻率諧振動的合成。了解同方向不同頻率諧振動的合成，相互垂直的握同方向同頻率諧振動的合成。了解同方向不同頻率諧振動的合成，相互垂直的諧振動的合成。了解頻譜分析。諧振動的合成。了解頻譜分析。1. 振動、簡諧振動振動、簡諧振動任何物理量在某值附近變化都稱振動。任何物理量在某值附近變化都稱振動。簡諧振動：物體運動時，分開平衡位置的位移簡諧振動：物體運動時，分開平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)規(guī)律隨時間變化。律隨時間變化。)cos(0tAx簡諧振動的特征量振幅、周期、頻率和相位簡諧振動的特征量振幅、

3、周期、頻率和相位振幅振幅 A A周期周期T T 和頻率和頻率 2TT1相位相位)(0t初相位初相位02xxmka20dd222xtx諧振動微分方程諧振動微分方程 該方程的通解可寫為：該方程的通解可寫為：)cos(0tAxmkA和和0由初始條件確定由初始條件確定22020vxA000 tan xv動力學分析：動力學分析：物體所受的力物體所受的力F跟位移跟位移x正比反向，物體作諧振動。正比反向，物體作諧振動。,2xxmka,kxF物體的加速度跟位移正比反向，物體作諧振動。物體的加速度跟位移正比反向，物體作諧振動。 固有固有( (圓圓) )頻率，由系統(tǒng)內(nèi)在性質所決議。頻率，由系統(tǒng)內(nèi)在性質所決議。32

4、.簡諧振動的能量簡諧振動的能量(以程度彈簧振子為例以程度彈簧振子為例)動能動能)(sin21022tkAEk)(cos21022tkAEP勢能勢能系統(tǒng)總的機械能：系統(tǒng)總的機械能：221kAEEEpk簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒3.簡諧振動的合成簡諧振動的合成(1)(1)兩個同方向同頻率簡諧振動的合成兩個同方向同頻率簡諧振動的合成合振動仍是簡諧振動合振動仍是簡諧振動, ,其頻率與分振動的頻率一樣。其頻率與分振動的頻率一樣。 )cos(21020212221AAAAA)cos(),cos(20221011tAxtAx)cos(021tAxxx假設兩分振動同相假設兩分振動同相2020

5、 10 =10 =2k2k ( k = 0,1,2, ) ( k = 0,1,2, )那么那么A=A1+A2 , A=A1+A2 , 兩分振動相互加強兩分振動相互加強假設兩分振動反相假設兩分振動反相2020 10 =10 =(2k+1)(2k+1) ( k = ( k = 0,1,2, )0,1,2, )那么那么A=|A1-A2|, A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱4(2)(2)同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成兩個簡諧振動的頻率兩個簡諧振動的頻率 1和和 2很接近，合成產(chǎn)生拍景象。很接近，合成產(chǎn)生拍景象。12拍頻拍頻: : 單位時間內(nèi)強

6、弱變化的次數(shù)單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)(3)(3)兩個同頻率相互垂直的簡諧振動的合成兩個同頻率相互垂直的簡諧振動的合成合運動普通一個橢圓。合運動普通一個橢圓。 (4)(4)方向垂直的不同頻率的簡諧振動的合成方向垂直的不同頻率的簡諧振動的合成兩振動的頻率成整數(shù)比，合運動軌跡稱為李薩如圖形。兩振動的頻率成整數(shù)比，合運動軌跡稱為李薩如圖形。)cos(),cos(02220111tAxtAx兩個簡諧振動合成得：兩個簡諧振動合成得：)2cos()2cos(201212ttAx51.一質點作簡諧振動，周期為一質點作簡諧振動，周期為T當它由平衡位置向當它由平衡位置向x軸正方向運動時，從二分之軸正方向運動時，從

7、二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需求的時間為一最大位移處到最大位移處這段路程所需求的時間為(A)T/12(B)T/8(C)T/6(D)T/4x02A3/旋轉矢量法旋轉矢量法首先畫出二分之一最大位移處旋轉矢量圖，首先畫出二分之一最大位移處旋轉矢量圖，然后，再畫最大位移處旋轉矢量圖。然后，再畫最大位移處旋轉矢量圖。設所求的時間為設所求的時間為 t，那么有，那么有3tT26Tt C62.如下圖，質量為如下圖，質量為m的物體，由勁度系數(shù)為的物體，由勁度系數(shù)為k1和和k2的兩個輕彈簧銜接到固定端，在的兩個輕彈簧銜接到固定端，在程度光滑導軌上作微小振動，其振動頻率為程度光滑導軌上作微小振動，其振動

8、頻率為 m k1 k2 (A) (B) (C) (D) mkk212mkk2121212121kmkkk )(212121kkmkkD k1k2k彈簧彈簧(上上)可視為可視為兩彈簧兩彈簧(下下)的串聯(lián)的串聯(lián)21111kkk2121kkkkkmk2T)(2112121kkmkkT7設設2個彈簧的彈性系數(shù)分別為個彈簧的彈性系數(shù)分別為k1，k2，他們的伸長量分別是，他們的伸長量分別是x1和和x2，那么有關系：那么有關系：)2(2211xkxkT) 1 (21xxx而同一根繩子上的張力相等，也就是說而同一根繩子上的張力相等，也就是說2個彈簧中的張力相等，即有：個彈簧中的張力相等，即有：聯(lián)立聯(lián)立2式，可

9、解出：式，可解出：xkkkkT2121對于等效的對于等效的k，有，有2121kkkkkmx01k2kmxkxT 所以所以83.一質點作簡諧振動其運動速度與時間的曲線如下圖假設質點的振動規(guī)律用一質點作簡諧振動其運動速度與時間的曲線如下圖假設質點的振動規(guī)律用余弦函數(shù)描畫，那么其初相應為余弦函數(shù)描畫，那么其初相應為(A)p/6(B)5p/6(C)-5p/6(D)-p/6(E)-2p/3v (m/s)t (s)Ovmmv21答案：答案：(C)參考解答：參考解答：令簡諧振動的表達式：令簡諧振動的表達式： )cos(tAx對對 t t 求導數(shù)得速度表達式：求導數(shù)得速度表達式： )sin()sin(ttAm

10、vvAmv.sin, 00mtvv在此題中，在此題中， ,2, 00mtvv .21sin.61,65),cos(ddttmvv,cosdd0mvvtt思索思索 0dd0ttv即即 , 0cos.6594.一物塊懸掛在彈簧下方作簡諧振動一物塊懸掛在彈簧下方作簡諧振動,當這物塊的位移等于振幅的一半時當這物塊的位移等于振幅的一半時,其動能是其動能是總能量的總能量的_設平衡位置處勢能為零當這物塊在平衡位置時，彈簧的設平衡位置處勢能為零當這物塊在平衡位置時，彈簧的長度比原長長長度比原長長Dl，這一振動系統(tǒng)的周期為，這一振動系統(tǒng)的周期為_ 3/4，gl /2m0llxxo彈簧原長彈簧原長掛掛m m后伸長

11、后伸長某時辰某時辰m m位置位置伸伸 長長平衡位置平衡位置k位移等于振幅的一半時位移等于振幅的一半時)(sin21022tkAEk，得)cos(tAx21)cos(t3)(t43212kA221kAEEEpk總代入2Ax mglkmkglT22lmgk/105. 圖中所示為兩個簡諧振動的振動曲線假設以余弦函數(shù)表示這兩個振動的合成結圖中所示為兩個簡諧振動的振動曲線假設以余弦函數(shù)表示這兩個振動的合成結果，那么合振動的方程為果，那么合振動的方程為x = x1+ x2 = _(SI) x (m)t (s)Ox1x2120.08-0.04設：設：)cos(),cos(222111tAxtAx04. 0,

12、08. 0,221AAT, 0, 01xt, 0dd00ttxv.2, 0cos11.2, 0sin11同理：同理：, 0, 02xt.2, 0cos22, 0dd00ttxv.2, 0sin22)2cos(04. 0),2cos(08. 021txtx0 x1A2AA)2cos(04. 0tx116.N個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為0,2,.,依次差一個恒量依次差一個恒量，求合振動的振幅。，求合振動的振幅。tAxcos1)cos(2tAx )2cos(3tAx) 1(cosNtAxN21cos2sin2sinNtN

13、Ax2sin2sinNAA合合設單縫處的波陣面分成設單縫處的波陣面分成N個個N為很大的為很大的數(shù)等寬的面元垂直于畫面。數(shù)等寬的面元垂直于畫面。假設每一個面元在假設每一個面元在P點引起的光波振幅點引起的光波振幅為為 ，根據(jù)多個等幅同頻振動的合振幅，根據(jù)多個等幅同頻振動的合振幅公式，可以分析單縫衍射光強分布，公式，可以分析單縫衍射光強分布，P0PBAaad單縫衍射表示圖單縫衍射表示圖為光柵衍射光強分布奠定了根底；也可為光柵衍射光強分布奠定了根底；也可以說是為光的衍射定量分析提供了一種以說是為光的衍射定量分析提供了一種巧妙的方法。巧妙的方法。遷移與運用遷移與運用12N個同方向、同頻率的簡諧振動，它們

14、的振個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為幅相等，初相分別為0, , 2, ., 依次差依次差一個恒量一個恒量 ，振動表達式可寫成，振動表達式可寫成 采用旋轉矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣的三角函數(shù)運算。采用旋轉矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣的三角函數(shù)運算。 根據(jù)矢量合成法那么，根據(jù)矢量合成法那么，N N個簡諧振動對應的旋轉矢量的合成如以下圖所示：個簡諧振動對應的旋轉矢量的合成如以下圖所示：taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosNtaxN多個同方向同頻率簡諧振動的合成多個同方向同頻率簡諧振動的合成合振動的頻率與分振動的頻率一樣。合振動的

15、頻率與分振動的頻率一樣。 合振動的振幅和初相是分析的關鍵合振動的振幅和初相是分析的關鍵! !13NOCM taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosNtaxNOx1a2a3a4a5aCAM 因各個振動的振幅一樣且相差依次恒為因各個振動的振幅一樣且相差依次恒為a,a,上圖中各個矢量上圖中各個矢量 的起點和終點都在以的起點和終點都在以C C為圓心的圓周上，根據(jù)簡單的幾何關系，可得為圓心的圓周上，根據(jù)簡單的幾何關系，可得）、.(4321aaaa.21它們的夾角顯然等于，交于的垂直平分線，兩者相和作Caa14NOCM 在三角形在三角形DOCMDOCM中中,OM ,OM 的長度

16、就是合振動的振幅的長度就是合振動的振幅A,A,角度角度MOXMOX就是合振動的初相就是合振動的初相，據(jù)此得，據(jù)此得2sin2NAOC思索到思索到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NNOX1a2a3a4a5aCAM21cos2sin2sinNtNax157.分別敲擊某待測音叉和規(guī)范音叉，使它們同時發(fā)音，聽到時強時弱的拍分別敲擊某待測音叉和規(guī)范音叉，使它們同時發(fā)音，聽到時強時弱的拍音假設測得在音假設測得在20s內(nèi)拍的次數(shù)為內(nèi)拍的次數(shù)為180次，規(guī)范音叉的頻率為次，規(guī)范音叉的頻率為300Hz，那么待測，那么待測音叉的頻率為音叉的頻率為_12拍頻拍頻: :

17、 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)Hz3001設992112，或者則有：)(12Hz291Hz30922，或者8.圖為兩個相互垂直的諧振動合成運動的軌跡假設圖為兩個相互垂直的諧振動合成運動的軌跡假設且動點運動方向如下圖，那么且動點運動方向如下圖，那么y=_ O x y A A -A -A ,costAx查閱教材李薩如圖形，為查閱教材李薩如圖形，為2:1:21xyTT221xy)22cos(tAy16 O x y A A -A -A 0t對結果進展核對對結果進展核對)22cos(tAyyotAxcosxo6t62t63toxy64t65t66t179.一質點在一質點在x軸上作簡諧

18、振動，選取該質點向右運動經(jīng)過軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動經(jīng)過A點時作為計時起點點時作為計時起點(t=0)，經(jīng)過經(jīng)過2秒后質點第一次經(jīng)過秒后質點第一次經(jīng)過B點，再經(jīng)過點，再經(jīng)過2秒后質點第二次經(jīng)過秒后質點第二次經(jīng)過B點，假設知該質點在點，假設知該質點在A、B兩點具有一樣的速率，且兩點具有一樣的速率，且AB=10cm求：求：(1)質點的振動方程；質點的振動方程；(2)質點在質點在A點處的速率點處的速率ABx解：解：，做旋轉矢量圖，做旋轉矢量圖由由BvvAx0ABAvBv0tst2st4可知可知42, 42TT(1) 以的中點為坐標原點，以的中點為坐標原點，x 軸指向右方軸指向右方 t = 0

19、時，時， coscm5Ax t = 2s時，時， sin)2cos(cm5AAx由上二式解得由上二式解得1tan由于在由于在A點質點的速度大于零，所以點質點的速度大于零，所以（如圖）（如圖）或或4543)cos(tAx)sin(tAvBvvAA和和B所對應的旋轉所對應的旋轉矢量在同不斷線上。矢量在同不斷線上。Bv189.一質點在一質點在x軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動經(jīng)過軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動經(jīng)過A點時作為計時起點點時作為計時起點(t=0)，經(jīng)過經(jīng)過2秒后質點第一次經(jīng)過秒后質點第一次經(jīng)過B點，再經(jīng)過點，再經(jīng)過2秒后質點第二次經(jīng)過秒后質點第二次經(jīng)過B點，假設知該質點在點，假設知該

20、質點在A、B兩點具有一樣的速率，且兩點具有一樣的速率，且AB=10cm求：求：(1)質點的振動方程；質點的振動方程；(2)質點在質點在A點處的速率點處的速率ABx解：解：x0ABAvBv0tst2st4443Bv t = 0時，時， coscm5Axcm25)4/3cos(5A 振動方程振動方程 (SI)434cos(10252tx (2) 速率速率 )434sin(41025dd2ttxv當當t=0時，質點在時，質點在A點點m/s1093. 3)43sin(10425dd22txv1910如圖如圖1所示，一定滑輪的半徑為所示，一定滑輪的半徑為R，轉動慣量為，轉動慣量為I，其上掛一輕繩，繩的一

21、端系，其上掛一輕繩，繩的一端系一質量為一質量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如下圖設彈簧的勁度系數(shù)的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如下圖設彈簧的勁度系數(shù)為為k，繩與滑輪間無滑動，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力現(xiàn)將物體，繩與滑輪間無滑動，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力現(xiàn)將物體m從平衡位置從平衡位置拉下一微小間隔后放手，證明物體作簡諧振動，并求出其角頻率拉下一微小間隔后放手，證明物體作簡諧振動，并求出其角頻率 m 圖 1 解：取如圖解：取如圖x坐標，平衡位置為原點坐標，平衡位置為原點O，向下為正，向下為正，m在平在平衡位置時彈簧已伸長衡位置時彈簧已伸長x0) 1 (0kxmg 設設m在在x位置

22、，分析受力位置，分析受力,這時彈簧伸長這時彈簧伸長0 xx )2()(02xxkT由牛頓第二定律和轉動定律列方程：由牛頓第二定律和轉動定律列方程：)3(1maTmg)4(21IRTRT)5(Ra mg1T1T2T聯(lián)立解得聯(lián)立解得 mRJkxa)/(2由于由于x系數(shù)為一負常數(shù)，系數(shù)為一負常數(shù)，故物體做簡諧振動，其故物體做簡諧振動，其角頻率為角頻率為222)/(mRIkRmRIkx0 x0 x201. 簡諧振動的初相簡諧振動的初相0是不是一定指它開場振動時辰的位相？是不是一定指它開場振動時辰的位相？參考解答：參考解答：對于一個振幅和周期已定的簡諧振動，用數(shù)學公式表示時，由于選作原點的時對于一個振幅

23、和周期已定的簡諧振動，用數(shù)學公式表示時，由于選作原點的時辰不同，辰不同，0值就不同。值就不同。)cos(0tAxx000tx00tx000t例如，選物體到達正向極大位移的時辰為時間原點，例如，選物體到達正向極大位移的時辰為時間原點，0那么值等于零；那么值等于零；假設選物體到達負向極大位移的時辰為時間原點，假設選物體到達負向極大位移的時辰為時間原點，0那么等于那么等于。由于由于0是由對時間原點的選擇所決議的，所以把它叫做振動的初相。是由對時間原點的選擇所決議的，所以把它叫做振動的初相。簡諧振動的初相不是一定指它開場振動時辰的位相。簡諧振動的初相不是一定指它開場振動時辰的位相。研討題研討題0002

24、1任何一個實踐的彈簧都是有質量的，假設思索彈簧的質量，任何一個實踐的彈簧都是有質量的，假設思索彈簧的質量，彈簧振子的振動周期將變大還是變小？彈簧振子的振動周期將變大還是變??？討論討論變大變大變小變小參考解答：由于彈簧振子的周期決議于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大那么周期越大。參考解答：由于彈簧振子的周期決議于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大那么周期越大。因此可以定性地說，在思索了彈簧的質量之后，彈簧振子的周期一定會變大。因此可以定性地說，在思索了彈簧的質量之后，彈簧振子的周期一定會變大。假設振子的質量為假設振子的質量為M M，彈簧的質量為，彈簧的質量為m m，彈簧的勁度系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k k，可以計算出，在思索了彈，可以計算出，在思索了彈簧的質量之后，彈簧振子的振動周期為簧的質量之后，彈簧振子的振動周期為kmMT3/2研討題研討題22解：平衡時解：平衡時0 0點為坐標原點