第三章函數(shù)的極值及其求法

1、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點處形成曲線在升、降轉(zhuǎn)折點處形成“峰峰”、“谷谷”，函，函數(shù)在這些點處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點數(shù)在這些點處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點，無論處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點，無論在理論上還是在實際應(yīng)用上都具有重要的意義，在理論上還是在實際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。值得我們作一般性的討論。一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.

2、)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內(nèi)的一個點內(nèi)的一個點是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)

3、取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點.二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在在點點0 x處處具具有有導導數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實根的實根即方程即方程使導數(shù)為零的點使導數(shù)為零的點xfxf 注意注意:.,)(是極值點是極值點但函數(shù)的駐點卻不一定但函數(shù)的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導函數(shù)可導函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但 x注注這個結(jié)論又稱為這個結(jié)論又稱為fe

4、rmat定理定理如果一個可導函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點如果一個可導函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點 則此函數(shù)沒有極值，此時導數(shù)不改變符號則此函數(shù)沒有極值，此時導數(shù)不改變符號不可導點也可能是極值點不可導點也可能是極值點可疑極值點：可疑極值點：駐點、不可導點駐點、不可導點 可疑極值點是否是真正的極值點，還須進一步可疑極值點是否是真正的極值點，還須進一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點的左、判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點的左、右兩側(cè)鄰近，導數(shù)分別保持一定的符號，則問題右兩側(cè)鄰近，導數(shù)分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。即可得到解決。(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf

5、而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當如果當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導數(shù)求導數(shù);0

6、)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()3(判斷極值點判斷極值點在駐點左右的正負號在駐點左右的正負號檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點情形不是極值點情形)例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm圖形如下圖形如下 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處具具

7、有有二二階階導導數(shù)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )當當0)(0 xf時時, , 函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值; ;( (2 2) )當當0)(0 xf時時, , 函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極小小值值. .定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018

8、 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點在點時時xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導點函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點也可能是函數(shù)的極值點.m例例4)0(12,02 aea

9、xxxx時時證明證明證證xeaxxxf 12)(2記記xeaxxf 22)(則則（不易判明符號）（不易判明符號）xexf 2)(2ln0)( xxf得得令令0)(,2ln xfx時時當當0)(,2ln xfx時時當當?shù)牡囊灰粋€個極極大大值值點點是是)(2lnxfx 而且是一個最大值點，而且是一個最大值點， )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx時時0)0()( fxfxeaxx 122即即思考題思考題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點點，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當當0 x時，時， )0()(fx