雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計

1、2014年河南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽人教A版選修1-1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計鶴壁高中喬肖燕2014年14月喬肖燕 2014 年4月課題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程授課人：河南省鶴壁市鶴壁高中【教材內(nèi)容分析】本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章第二節(jié)第一課時的內(nèi)容，前面有橢圓知識 及學(xué)習(xí)方法的鋪墊，后面有拋物線學(xué)習(xí)的延續(xù)，有利于學(xué)生掌握和鞏固.三種圓錐曲線中，雙曲線是最復(fù)雜的一種.但本節(jié)課的知識難度不是很大，比較易于學(xué) 生理解和掌握.【學(xué)情分析】 知識結(jié)構(gòu)分析：學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過橢圓，對橢圓有了系統(tǒng)的認(rèn)知和了解，從定義到方程，從方 程到性質(zhì)，從性質(zhì)到應(yīng)用.雙曲線雖然和橢圓不同，但研究方法是類似的，所以 雙曲線

2、的學(xué)習(xí)可以說是輕車熟路，但是，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注橢圓與雙曲線的區(qū) 別和聯(lián)系.能力體系分析：本章對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高，而這恰恰是許多學(xué)生的弱點(diǎn)，因此在教學(xué) 過程中在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與劃歸能力的同時需著重關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算 能力.【教學(xué)目標(biāo)】通過雙曲線軌跡的探索過程，體驗(yàn)雙曲線的特征，探求總結(jié)雙曲線的定義； 通過類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，推導(dǎo)并掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；通過對雙曲線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的探索，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和分析能力，激發(fā)學(xué) 生探究事物運(yùn)動規(guī)律，進(jìn)一步認(rèn)清事物的本質(zhì)特征的興趣 .【教學(xué)重點(diǎn)】 雙曲線的定義； 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式.【教學(xué)難點(diǎn)】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法及化簡過程.【教具

3、準(zhǔn)備】多媒體投影儀，幾何畫板動畫【教學(xué)方法】采用啟發(fā)、探究式教學(xué).【教學(xué)環(huán)節(jié)】教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖（一）創(chuàng)設(shè)情境感 知 圖 形回顧初中時學(xué) 習(xí)過的反比例函 數(shù)的圖像；觀察電廠的冷 卻塔圖片，它的軸 截面的外輪廓就 是雙曲線的一部 分.教師引入，學(xué)生回憶初中所學(xué) 內(nèi)容；多媒體展示圖片，學(xué)生觀察， 實(shí)物感知雙曲線的形狀.教師引入課題，告知學(xué)生本節(jié) 課的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)重點(diǎn)和學(xué)習(xí) 難點(diǎn).這一段可由一名學(xué)生代表 閱讀.通過學(xué)生熟 悉的知識以及 生活中的實(shí)例 讓學(xué)生感知雙 曲線的形狀， 這樣的兩個例 子簡單、生動， 學(xué)生易于接 受.教師手動演示雙曲線的形成過（二）動畫演示引 入 定 義雙曲線是如何 形

4、成的？可以如 何給雙曲線下定 義？借助經(jīng)典的 拉鏈動畫，引導(dǎo)學(xué) 生總結(jié)動點(diǎn)在運(yùn) 動過程中的特征， 從而引入雙曲線 的定義.程，先演示靠近F2的一支,生總結(jié)動點(diǎn)特征：由學(xué)|mfJ |mf2 常數(shù).并解釋為什么有這樣的特征： 隨著拉鏈的閉攏和拉開，兩條線 段減小或增加的量相等，所以差 值始終是同一個常數(shù).再演示靠近Fi的那一支,然由學(xué)生總結(jié)特征：|mf2 |mfJ 常數(shù).接著，強(qiáng)調(diào)以上兩個常數(shù)是相 等的，兩支曲線合在一起叫做雙 曲線，引導(dǎo)學(xué)生把兩個式子合二|mf2常數(shù).為一：MFi并把數(shù)學(xué)式子轉(zhuǎn)化成自然語 言，概述雙曲線的定義：平面內(nèi) 到兩個定點(diǎn)的距離的差的絕對值 等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲 線.

5、（此處暫時不說常數(shù)的范圍.）充分調(diào)動學(xué) 生的積極性， 突出學(xué)生的主 體地位，并且 通過總結(jié)特征 提高學(xué)生的語 言表達(dá)能力， 對圖形的認(rèn)知 能力.學(xué)生概述定 義時往往會漏 掉常數(shù)的范 圍，這個問題 暫時保留，下 一個環(huán)節(jié)來解 決。保留常數(shù)的 范圍這一問 題，由學(xué)生自 己發(fā)現(xiàn)，方能 印象更加深 刻.教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖（三）剖析定義剖析定義中的要點(diǎn)： “平面內(nèi)”三個 字容易漏掉，去掉后 不嚴(yán)謹(jǐn)； 由學(xué)生發(fā)現(xiàn) “絕對值”三個字的重要性； 常數(shù)是不是像 橢圓中一樣有范圍限 制？如果有的話，是 什么？為什么？剛才給出定義時 沒有加上常數(shù)的范 圍，定義敘述不完整， 所以現(xiàn)在要對定義進(jìn) 行補(bǔ)充，確保定義

6、的 嚴(yán)謹(jǐn)性.最終雙曲線 的定義為：平面內(nèi)到兩個定第一點(diǎn)教師做提醒；第二點(diǎn)要點(diǎn)撥學(xué)生去掉“絕 對值”三個字后點(diǎn)的軌跡會是 什么，學(xué)生慎重考慮后應(yīng)該能 夠找到正確答案：去掉絕對值 后軌跡變成了雙曲線的一支. 之后教師提醒學(xué)生做題時需 注意這一點(diǎn)；第三點(diǎn)由學(xué)生分組去討論， 然后派代表說明本組的討論 結(jié)果，直至解決問題，得到結(jié) 論：常數(shù)等于F1F2時，點(diǎn)的軌跡是直線F1F2上以F" F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；常數(shù)大于F1F2時，點(diǎn)的點(diǎn)F1> F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)軌跡不存在;（小于|FiF2 I）的點(diǎn)的常數(shù)等于0時，點(diǎn)的軌跡軌跡叫做雙曲線.兩 個定點(diǎn)叫做雙曲線的 焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間

7、的距 離叫做雙曲線的焦 距.通常情況下，焦距 用2c表示，常數(shù)用 2a表示，顯然這里有 2c 2a 0.是線段F1F2的垂直平分線.以雙曲線和橢圓作比較，兩 類曲線中a和c的大小關(guān)系不同，在橢圓中，a c 0,而在雙曲線中，c a 0.要提醒學(xué) 生注意.學(xué)生的表達(dá) 往往不嚴(yán)謹(jǐn)， “平面內(nèi)”這 三個字是很容 易被忽略的， 所以教師要強(qiáng) 調(diào).第二點(diǎn)學(xué) 生略作思考， 就能夠意識到 這三個字的重 要性；第三點(diǎn) 對學(xué)生而言最 為困難，如果 強(qiáng)硬給出的 話，學(xué)生被動 接受，不利于 學(xué)生的理解和 掌握，所以我 采取小組討論 的做法，由學(xué) 生自己得出范 圍，加深學(xué)生 對范圍的理 解.（四）類比橢圓推 導(dǎo) 方

8、程回顧橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程的推導(dǎo)步驟，推導(dǎo) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2x y 1 尹丁1.其中a 0,b O.;A ,V橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有 兩種，雙曲線的方程 在推導(dǎo)時也可以換一 種建系方式，得到另 一種形式的方程：2 y2 aa 0,bo-5O.兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方 程，應(yīng)該如何判斷焦 點(diǎn)所在軸？學(xué)生思考并做答： 在等式右邊是1或其 它正常數(shù)時，焦點(diǎn)在 系數(shù)為正數(shù)的軸上. 這與橢圓判斷焦點(diǎn)所 在軸的方法也不一 樣，同樣要給學(xué)生強(qiáng) 調(diào).學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過橢圓，對橢 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程印 象比較深刻，用同樣的步驟推 導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：建系以直線FiF2為x軸，線段FiF2的垂直平分線為y軸建立

9、平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn) M坐標(biāo)為（X, y）,焦距為2c,則Fi( c,0), F2(c,0).常數(shù)記為2a.寫出限制條件MF2列出等式2a.22 I722'(x a) y v(x a) y2a.化簡這一步由學(xué)生自己 動手完成，并且找一個學(xué)生演 板，最終化簡為2 21a2 c2 a2像橢圓一樣，為了使雙曲 線方程的形式更加簡潔，結(jié)合 c a 0,可設(shè) c2 a2 b2,其中b 0（意義講性質(zhì)時再涉 及）.于是雙曲線的方程可化2 2為聳七 1.這就是焦點(diǎn)在a bX軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 Fi（ c,0）, F2（c,0）.雙曲線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 a、b、c的

10、關(guān)系不同，要給學(xué) 生強(qiáng)調(diào)，這也是今后在做題過 程中學(xué)生易混淆的地方.培養(yǎng)學(xué)生的 運(yùn)算能力.通過雙曲 線與橢圓的對 比，學(xué)生可以 加深對兩種曲 線的理解.例1、已知雙曲線的焦點(diǎn) Fi（ 5,0）, F2(5,0),雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差 的絕對值等于8，求 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.對例題的條件進(jìn)行 修改，得到如下三個 變式訓(xùn)練：1、已知 Fi（0, 5）, F2(0,5),動點(diǎn)P滿足(五)例題講解學(xué)以致用PFi| |PF2I8.求點(diǎn)P的軌跡方程.2、已知F1(（5,0）,動點(diǎn)5,0）, F2P滿足PFIPF2IP的軌跡方程.8.求點(diǎn)3、已知 F, 5,0）, F2(5,0),動點(diǎn)P滿足|p f

11、J 10.點(diǎn)P的軌跡方程.PFi例2、已知雙曲線的焦點(diǎn) Fi（0, 6）, F2(0,6),且經(jīng)過點(diǎn)M(2, 5).求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例1難度系數(shù)不大，給學(xué) 生適當(dāng)?shù)臅r間，自己去做， 一般情況下學(xué)生會在練習(xí)本 上直接寫出本題的正確答 案，所以教師要通過投影給 出規(guī)范的解題步驟.三個變式均是對定義的考 查，如果學(xué)生對定義中的要 點(diǎn)理解到位，就可以順利地 把三個變式求解出來.教師要強(qiáng)調(diào)雙曲線的一支 方程和變式訓(xùn)練3中兩條射 線的方程應(yīng)如何表示，這是 易錯點(diǎn).例2較之例1難度略大， 計算量也稍大，所以要給學(xué) 生充分的思考時間.這道題 由兩個學(xué)生演板，一般情況 下學(xué)生會利用c 6和雙曲線過點(diǎn)M(2,

12、 5)列方程求解，這一方法思路自然，運(yùn)算較繁； 有些數(shù)學(xué)程度較好并且善于 思考的同學(xué)會想到利用定義ImF，即 2a，求出MF 1再利用c 6即可求出b,從而雙曲線的方程得以求出，這 一方法相對來講計算量較 小，而且緊扣本節(jié)課的學(xué)習(xí) 重點(diǎn).要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)定義的 重要性.本節(jié)課的重點(diǎn) 就是雙曲線的定 義及標(biāo)準(zhǔn)方程，而 定義中的要點(diǎn)一 是絕對值，二是常 數(shù)的范圍，設(shè)計例 1就是要使學(xué)生正 確把握定義，正確 理解定義.例2讓學(xué)生演 板，體現(xiàn)了學(xué)生在 課堂上的主體作 用，兩種方法的對 比會讓學(xué)生明白 解題時技巧的重 要性，從而引導(dǎo)學(xué) 生在日常學(xué)習(xí)中 一定要多動腦思 考，不止為做題而 做題，一道題目有 多種

13、解法時，可權(quán) 衡一下哪一種解 法更有利于節(jié)省 時間，提高效率.1、已知雙曲線的焦 點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，a 7,b3.則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為過雙曲線（六）課堂練習(xí)Fi的直線交雙曲線的左支于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn),MF2NF2IMN的值等于3、在 ABC 中, B(4,0),C( 4,0),動點(diǎn)A 滿足 sinB sinC1-sin A.貝U動點(diǎn)A2的軌跡方程為教師通過投影打出三道題 目，學(xué)生自己審題，動手計 算.然后教師提問學(xué)生回答 自己計算得到的答案：2 x492y498.2 y92y121.1(x2).（七）課堂小結(jié)整 理 收 獲請同學(xué)們回顧本節(jié) 課我們所學(xué)習(xí)的主要 內(nèi)容.由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的

14、 收獲： 雙曲線的定義； 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩 種形式； 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解 方法.學(xué)生敘述不完整或不準(zhǔn)確 的地方，教師予以補(bǔ)充或糾 正，同時提醒學(xué)生要牢記定 義.學(xué)生動手去做， 通過學(xué)生的做題 狀況教師能夠看 出學(xué)生對本節(jié)課 知識點(diǎn)的掌握情 況，三道練習(xí)題由 淺入深，層層深 入，使學(xué)生體會到 學(xué)習(xí)的快樂和收 r r，獲.第3題稍有難 度，用到了正弦定 理，有些學(xué)生可能 會不明白為什么要有x 2,這一點(diǎn)涉及到雙曲線的 性質(zhì)，正好為學(xué)習(xí) 雙曲線的性質(zhì)做 鋪墊.學(xué)生總結(jié)，加深 理解，印象深刻， 形成學(xué)生自己的 認(rèn)知結(jié)構(gòu).突出重 點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，培 養(yǎng)學(xué)生的概括能 力.（八）課后作業(yè)及 時 反 饋課

15、本第48頁練習(xí)1 2；課本第54頁習(xí)題2.2A 組 1、2；自己動手制作表 格，列出橢圓與雙曲 線的區(qū)別和聯(lián)系.課下獨(dú)立完成，同學(xué)之間交流檢驗(yàn)學(xué)生課內(nèi) 的掌握情況，并讓 學(xué)生明白，學(xué)習(xí)不 僅僅是課堂上的 事，課下的時間自 己要合理支配，科 學(xué)安排.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、雙曲線的定義|MF1 |MF2 常數(shù).學(xué)生演板:雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)附:板 書 設(shè) 計|mf2 |mf1 常數(shù).|mf2 常數(shù)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程a2 b22 2丄丄1 a2 b2學(xué)生演板（兩名學(xué)生）：例2的求解過程其中，a 0,b 0.【教后心得】本章教材中的設(shè)計與老教材基本上沒有太大變化， 可以說，任何一個有幾年 教齡的高中教師，對本節(jié)課都是比較熟悉的，可是，要想講好這堂課，還是需要 花費(fèi)很大功夫.本節(jié)課我自認(rèn)為有可取之處，簡述如下： 課堂效果不錯，學(xué)生熱情高漲，能積極主動地思考并回答問題，和老師配 合得很好； 在講解定義的過程中，我