中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)經(jīng)典講義：四邊形綜合復(fù)習(xí)--知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、中考總復(fù)習(xí)：四邊形綜合復(fù)習(xí)一知識(shí)講解(基礎(chǔ))【考綱要求】1 .探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，了解正多邊形的概念2 .掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性質(zhì)，了解它們之間 的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性 .3 .探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條件4 .探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件5 .探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是等腰梯形的條件6 .通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì).【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、四邊形的

2、相關(guān)概念1.多邊形的定義： 在平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形 2.多邊形的性質(zhì)：(1)多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2) 180 ;(2) 推論：多邊形的外角和是360 ;(3) 對(duì)角線條數(shù)公式：n邊形的對(duì)角線有J 條;(4) 正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形3 .四邊形的定義：同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形4 .四邊形的性質(zhì)：(1)定理：四邊形的內(nèi)角和是360。； (2)推論：四邊形的外角和是 360考點(diǎn)二、特殊的四邊形1.平行四邊形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線相等四條邊相等

3、|四個(gè)內(nèi)角為90行四邊形r對(duì)班相等T對(duì)角相紳 對(duì)前線互相平分對(duì)角線互一相垂直2.平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定平行四邊影一內(nèi)角為%* fl-翳氧邊相等如：對(duì)角線垂直且相等【要點(diǎn)詮釋】面積公式：S菱形=-ab=ch (a、b為菱形的對(duì)角線，c為菱形的邊長(zhǎng)，h為c邊上的高). 2S平行四邊形=ah(a為平行四邊形的邊，h為a上的高).考點(diǎn)三、梯形1 .梯形的定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形(1)互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底(2)不平行的兩邊叫做梯形的腰.(3)梯形的四個(gè)角都叫做底角.2 .直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形3 .等腰梯

4、形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.4 .等腰梯形的性質(zhì)：(1)等腰梯形的兩腰相等；(2)等腰梯形同一底上的兩個(gè)底角相等.(3)等腰梯形的對(duì)角線相等5 .等腰梯形的判定方法：(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；(2)同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；(3)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.6 .梯形中位線：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.7 .面積公式：S= （a+b）h（a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高）.考點(diǎn)四、平面圖形1 .平面圖形的鑲嵌的定義：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪2 .平

5、面圖形鑲嵌的條件：（1）同種正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面的條件：周角是否是這種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的整倍數(shù).在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌（2）n種正多邊形組合起來(lái)鑲嵌成一個(gè)平面的條件：n個(gè)正多邊形中的一個(gè)內(nèi)角的和的倍數(shù)是360 ;n個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)相等，或其中一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)是另一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)的整數(shù)倍.【典型例題】類型一、多邊形及其鑲嵌1. 一個(gè)同學(xué)在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得的內(nèi)角和為1125。，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少了一個(gè)內(nèi)角.少了的這個(gè)內(nèi)角是 度，他求的是 邊形的內(nèi)角和.【思路點(diǎn)撥】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和能被 180。整除，本題內(nèi)角和 1125。

6、除以180。后有余數(shù)，則少的內(nèi) 角應(yīng)和這個(gè)余數(shù)互補(bǔ).【答案】135;九.【解析】 設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n,少算的內(nèi)角度數(shù)為 x,由題意得：（n-2） 1800 =1125 + x , . .1125+x n=欣1+2 , n為整數(shù)，0 v xv 180.符合條件的 x只有135 ,解得n=9.【總結(jié)升華】 多邊形根據(jù)內(nèi)角或外角求邊數(shù)，或是根據(jù)邊數(shù)求內(nèi)角或?qū)蔷€條數(shù)等題是重點(diǎn)，只需要記 住各公式或之間的聯(lián)系，并準(zhǔn)確計(jì)算.舉一反三：. , 一，7 【變式】（2015?眉山）一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的；=,這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（5A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C.【解析】一個(gè)多邊形的外角和是

7、內(nèi)角和的 上，且外角和為360。，5，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900 ,即（n-2） ?180 =900 ,解得：n=7,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 7,故選C.2. （2015?蓬溪縣校級(jí)模擬）下列每組多邊形均有若干塊中，其中不能鋪滿地面（鑲嵌）的一組是（）A.正三角形和正方形 B .正方形和正六邊形C.正三角形和正六邊形D.正五邊形和正十邊形【思路點(diǎn)撥】 正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360。.若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿.【答案】B.【解析】A正三角形的每個(gè)內(nèi)角是 60 ,正方形的每個(gè)內(nèi)角是90 , 3X60 +2X90 =360 ,故能鋪滿，不合

8、題意；B、正方形和正六邊形內(nèi)角分別為90、120 ,顯然不能構(gòu)成 360的周角，故不能鋪滿，符合題意；C、正三角形和正六邊形內(nèi)角分別為60、120 , 2X60 +2X120 =360 ,故能鋪滿，不合題意；D、正五邊形和正十邊形內(nèi)角分別為108、144 , 2X1080 +1X144 =360 ,故能鋪滿，不合題意.故選：B.【總結(jié)升華】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè) 周角.類型二、特殊的四邊形【高清課堂：四邊形綜合復(fù)習(xí)例1】3. 如圖，在平行四邊形 ABCM, E, F分別是AB, CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G, CE與BF相交于點(diǎn)H.(

9、1)判斷四邊形EHFG勺形狀；(2)在什么情況下，四邊形 EHFG菱形？【思路點(diǎn)撥】(1)通過證明兩組對(duì)邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；(2)當(dāng)平行四邊形 ABC比矩形時(shí)，通過證明有一組鄰邊相等，可得平 行四邊形EHFG菱形；【答案與解析】(1)二.四邊形ABCD平行四邊形，AE/ CF, AB=CD .E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)， AE=CF 四邊形AECF是平行四邊形，AF/ CE.同理可得DE/ BF, 四邊形FGEH平行四邊形；(2)當(dāng)平行四邊形 ABC比矩形時(shí)，平行四邊形 EHF兆菱形. 四邊形ABC比矩形 / ABCh DCB=90 , .E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，B

10、E=CF在 EBCI FCB 中，BE CFABC DCB ,BC BC . EBC FCB CE=BF/ ECB=/ FBQBH=CH EH=FH平行四邊形 EHF加菱形.【總結(jié)升華】 本題屬于綜合題，考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定和正方形的判定，注意找 準(zhǔn)條件，有一定的難度.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，四邊形ABCD中，/ C= 90 , Z ABD= / CBD AB= CB, P是BD上一點(diǎn)，PEBC, PFCD 垂足分別為 E、F,求證：P七EF.【答案】連結(jié)PC因?yàn)镻E BC, PF DC所以/ PEC= / PFC= / ECF= 90 , 所以四邊形PECF矩形

11、，所以PC= EF.在ABP和 CBP中,AB= CB, / ABP= / CBP BP= BP, 所以 AB國(guó)CBP 所以 AP= CP 所以AP= EF.4. （2012?威海）（1）如圖，？ABCM對(duì)角線 AC BD交于點(diǎn)Q直線EF過點(diǎn)0,分另1J交 AD BC于點(diǎn)E, F.求證：AE=CF（2）如圖，將？ABCD（紙片）沿過角線交點(diǎn) 0的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)Ai處，點(diǎn)B落在點(diǎn)Bi處, 設(shè)FB交CD于點(diǎn)G AiBi分別交CD DE于點(diǎn)H, I .求證：EI=FG.【思路點(diǎn)撥】（1）由四邊形ABC皿平行四邊形，可得 AD/ BC 0A=0C又由平行線的T生質(zhì)，可得/1 =Z2,繼而利用

12、ASA即可證得 A0監(jiān) C0F則可證得AE=CF（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得A1E=CF /A=/A=/ C, /B1=/B=/ D,繼而可證得 A1IECGF即可證得EI=FG.【答案與解析】（1）二.四邊形ABC比平行四邊形，AD/ BC, 0A=0C/ 1=7 2 |I在 4A0田口 4COF 中，_1 2OA OC ,3 4.AO瞌 COF(ASA), . AE=CF(2)二四邊形ABC皿平行四邊形，/ A=Z C, / B=Z D,由(1)得 AE=CF由折疊的性質(zhì)可得：AE=AE, /Ai=/A, /Bi=/B,AiE=CF /A=/A=/C, /B=/B=/D,又,

13、一/ 1 = /2,/ 3=/ 4,5=Z 3, / 4=Z 6,/ 5=/ 6,在 AIE與 CGF中，A C56 ,AE CFAIEA CGF( AAS , EI=FG.【總結(jié)升華】 考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注 意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【高清課堂：四邊形綜合復(fù)習(xí)例4】5.如圖，在 AOB 中，OA=OB=8 AOB=90,矩形 CDEF的頂點(diǎn)C D F分別在邊 AO OB AB上.(1)若C、D恰好是邊AO OB的中點(diǎn)，求矩形 CDEF勺面積;(2)若tan CDO=4 ,求矩形CDEFW積的最大值 3A【思

14、路點(diǎn)撥】(1)因?yàn)楫?dāng)C、D是邊AQOB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E、F都在邊AB上，且CFAB,所以可求出CD的值，進(jìn)而求出 CF的值，矩形CDEF的面積可求出；(2)設(shè)CD=x, CF=y.過F作FHI AO H.在Rt ACOD43,用含x和y的代數(shù)式分別表示出 CO AH的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出矩形 CDEF勺面積，再配方可求出面積的最大值.【答案與解析】(1)如圖，當(dāng)C、D是邊AO OB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E、F都在邊AB上，且CF AB. OA=OB=8 .1. OC=AC=OD=4 . / AOB=90 ,CD=4/2 .在Rt MCF中， / A=45。，CF=25/2 . . S 矩形 cde=4J2 x

15、2/2 =16.(2)設(shè) CD=x, CF=y.過 F 作 FHIAO于 H.在 Rt ACOD,4. tan / CDO,3sin / CDO=4 , cos / CDO=3 .55,CO=4x.5/ FCH吆 OCD=90 , / FCHh CDOHC=Wcos/ FCH=3y.5 FH= CF2 CH2 = 4y. AHF是等腰直角三角形,AH=FH=4y. AO=AH+HC+C5 7 y+ 4X=8. . . y=1(40-4x). 557易知 S矩形 cDE=xy= 1 (40x-4x 2)=- - (x-5) 2-25,當(dāng)x=5時(shí)，矩形CDEFW積的最大值為 1007【總結(jié)升華】

16、本題考查了二次函數(shù)與幾何知識(shí)（矩形）的綜合應(yīng)用和求二次函數(shù)的最值，將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)， 并注意挖掘題目中的一些隱含條件.6. ABC是等邊三角形，點(diǎn) D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），4ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn) E作BC的平行線，分 別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G ,連接BE.（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí).求證：AEBADC;探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；（2）如圖（b）所示，當(dāng)點(diǎn) D在BC的延

17、長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 BCGE是菱形？并說明理由.【思路點(diǎn)撥】此題要熟練多方面的知識(shí)，特別是全等三角形和平行四邊形和菱形的判定.【答案與解析】(1).一 ABC和4ADE都是等邊三角形，AE=AD AB=AC / EADh BAC=60 .又 / EAB=/ EAD-Z BAD / DACW BAC-Z BAD / EAB4 DAC.AE整 ADC方法一：由得 AE整 ADC / ABEW C=60 .又 / BAC4 C=60 , / ABE4 BACEB/ GC又 EG/ BC, 四邊形BCGE平行四邊形.方

18、法二：證出 AE ADE 彳導(dǎo) EG=AB=BC EG/ BC,四邊形BCGE平行四邊形.(2)都成立.(3)當(dāng) CD=CB (/ CAD=30 或/ BAD=90 或/ ADC=30 )時(shí)，四邊形 BCGE菱形.理由：方法一：由得 AEgAADC；BE=CD又 CD=CBBE=CB由得四邊形BCGE平行四邊形，四邊形BCGE菱形.方法二：由得 AEgAADC；BE=CD又.四邊形BCGE菱形，BE=CB (11 分)CD=CB方法三：:四邊形 BCGE1平行四邊形， .BE/ CG EG/ BC,/ FBE=/ BAC=60 , / F=Z ABC=60F=/FBE=60 ,BEF是等邊三角形.又 AB=BC四邊形BCGE菱形，AB=BE=BFAE FG-. / EAG=30 ,. / EAD=60 , .CAD=3Qg.【總結(jié)升華】本題考查三角形的全等以及菱形的判定.舉一反