信號及系統(tǒng) 周期信號的傅里葉級數(shù)

1、哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系引言引言 時域分析中時域分析中,以沖激信號以沖激信號(t)為基本信號，任意為基本信號，任意輸入信號輸入信號e(t)可分解為一系列沖激信號之和；可分解為一系列沖激信號之和； 而本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號而本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號 為基本信號，為基本信號，任意輸入信號可以分解為一系列不同頻率的正弦信任意輸入信號可以分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。號或虛指數(shù)信號之和。第三章第三章 傅立葉變換傅立葉變換( )( )( )zsrth te tj te哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系頻域分

2、析頻域分析 從本章開始由從本章開始由時域時域轉(zhuǎn)入轉(zhuǎn)入變換域變換域分析，首先討論分析，首先討論傅立葉變換。傅立葉變換是在傅立葉級數(shù)正交函數(shù)傅立葉變換。傅立葉變換是在傅立葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅立葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，傅立葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。 頻域分析將頻域分析將時間變量時間變量變換成變換成頻率變量頻率變量，揭示了，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性

3、之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。以及濾波、調(diào)制等重要概念。哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù) 非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 傅立葉變換的基本性質(zhì)傅立葉變換的基本性質(zhì) 周期信號和抽樣信號的傅立葉變換周期信號和抽樣信號的傅立葉變換一種變換域分析方法，其它變換方法的基礎(chǔ)；一種變換域分析方法，其它變換方法的基礎(chǔ)；快速傅立葉變換的出現(xiàn)，使其應(yīng)用更加廣泛快速傅立葉變換的出現(xiàn)，使其應(yīng)用更加廣泛哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與

4、控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系頻譜示意圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系頻譜示意圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系頻譜示意圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系3.1周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù) 一、三角形式的傅立葉級數(shù)一、三角形式的傅立葉級數(shù),.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 1111111tntntttt)2,(100tt112T是區(qū)間是區(qū)間上的一個完備正交函數(shù)集，周期上的一個完備正交函數(shù)集，周期)(tf)2,(100tt滿足一定條件的任一函數(shù)滿足一定條

5、件的任一函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間都可描述為：都可描述為：0111( )cossinnnnf taantbnt0t012 /t f(t)0t1任意信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開任意信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系3.1周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù) 010011( ) 1,1),1tTtaf t dTftt0010011111111( )cos( ),cosco2( )cs,cosos2tTttTntf tntdafttntdtf tntTntntT0010011111111( )sin( ),sinsi2( )sn,sinin2tTt

6、tTntf tntdbfttntdtf tntTntntTii)iii)i)為為 的偶函數(shù)的偶函數(shù)1nna為為 的奇函數(shù)的奇函數(shù)1nnb哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)(tfnnbaa,0,t )(tf2對于對于周期函數(shù)周期函數(shù) ，由于，由于 積分值與積積分值與積分區(qū)間起始點無關(guān)分區(qū)間起始點無關(guān)(只要積分區(qū)間大小為只要積分區(qū)間大小為T1)，故在，故在 均可以展成傅立葉級數(shù)均可以展成傅立葉級數(shù))(tf)(tf)(tfdttfTtt100)(3存在的充分非必要條件：狄利克雷條件存在的充分非必要條件：狄利克雷條件一周期內(nèi)一周期內(nèi)一周期內(nèi)一周期內(nèi) 絕對可積，即絕對可積

7、，即一周期內(nèi)一周期內(nèi)間斷點有限個；間斷點有限個；極值有限個；極值有限個；1T1T( )f tt0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系4其它三角形式其它三角形式22000, nnnnacdcdabii)cossin, sincosnnnnnnnnnnacdbcd iii)iv)010111( )cos(), ( )sin()nnnnnnf tccntf tddnti), nnnnnnbatgtgab 為為 的偶函數(shù)的偶函數(shù)1nnc為為 的奇函數(shù)的奇函數(shù)1n,nn 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系111Tf )cos(111tcv)基波分

8、量：基波分量：對應(yīng)的對應(yīng)的1113, 5, 7, .fff21121cos(21)kkcktvi)奇次諧波分量：奇次諧波分量：對應(yīng)的對應(yīng)的1112, 4, 6, .fff)2cos(212kktkcvii)偶次諧波分量：偶次諧波分量：對應(yīng)的對應(yīng)的viii)直流分量：直流分量：c0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系1ncn1nn5周期信號的離散譜周期信號的離散譜ii)相位相位(頻頻)譜譜:i)幅度幅度(頻頻)譜譜:n1131n01130c1c3c2c1nnc0譜線譜線，包絡(luò)線，包絡(luò)線特點：頻譜只出現(xiàn)在某些離散頻率點上，離散特點：頻譜只出現(xiàn)在某些離散頻率點上，離散(頻

9、頻)譜譜哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系二、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)二、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)111( )()jntjntnnnf tF neF e01110101011101101( )( ),1( ),tTjntjnttTtjntntTjntjnttjntjnttf t edtf t eFf t edtTeeeedt111111221,.,.jtjtjtjtjntjnteeeeee)2,(100tt112T上的完備正交函數(shù)集，周期上的完備正交函數(shù)集，周期1任意信號的指數(shù)傅立葉級數(shù)展開任意信號的指數(shù)傅立葉級數(shù)展開哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測

10、試與控制系ntjnneFtf1)( ),f tnF0tt2周期函數(shù)周期函數(shù) 積分值與積分值與 無關(guān)無關(guān)(只要積分區(qū)間只要積分區(qū)間 大小為大小為T1)，故在，故在 有有哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系0000FacdnFnnnndcba,3 與與的關(guān)系的關(guān)系11111111cossin11()()2222nnjntjntjntjntjntjntnnnnnnantbnteeeeabajb eajb ej11(), ()22nnjjnnnnnnnnFajbF eFajbF ei)22111, 222nnnnnnnnnFFcdabFFcii)2222, (), 4nnn

11、nnnnnnnnnFFabj FFcdabF Fiii)哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系1nFn1nn4幅度譜：幅度譜：，相位譜：，相位譜：)(tf實實 傅立葉級數(shù)的特點：傅立葉級數(shù)的特點：nn ii) 為奇函數(shù)為奇函數(shù)nnFF為偶函數(shù)為偶函數(shù)i)11n1n0FnF10n1n0 為實數(shù)時，為實數(shù)時， 的正負表示的正負表示 的的0和和，幅，幅度譜和相位譜度譜和相位譜畫到一張圖上畫到一張圖上nFnFn哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系5負頻率出現(xiàn)無物理意義，只是數(shù)學(xué)運算結(jié)果。負頻率出現(xiàn)無物理意義，只是數(shù)學(xué)運算結(jié)果。22111, 222n

12、nnnnnnnnFFcdabFFc每個分量的幅度一分為二，在正負頻率相對應(yīng)的每個分量的幅度一分為二，在正負頻率相對應(yīng)的位置上各一半；位置上各一半；只有把正負頻率上對應(yīng)的兩條譜線矢量相加起來只有把正負頻率上對應(yīng)的兩條譜線矢量相加起來才代表一個分量的幅度。才代表一個分量的幅度。理解：理解：哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)()(tftf三、函數(shù)對稱性與傅立葉系數(shù)關(guān)系三、函數(shù)對稱性與傅立葉系數(shù)關(guān)系111/2/20/201112( )( )TTTaf t dtf t dtTT111/2/211/201124( )cos( )cosTTnTaf tn tdtf tn td

13、tTT11/21/212( )sin0TnTbf tntdtT1偶函數(shù)偶函數(shù)1/2TEf(t)t1/2T0偶函數(shù)只含偶函數(shù)只含直流項直流項和和余弦項余弦項哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系E( )f tt0 11/2/200/2/211111TTEacf t dtEdtTTT2111011 11442cossin()()22nnEEacEntdtnSa nTnTT 11()()22 ()22f tE u tu tTTt 例例1：周期矩形脈沖：只含：周期矩形脈沖：只含直流項直流項與與余弦項余弦項0nb 111112( )()cos2nnEEf tSantTT哈爾濱工

14、業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系n024nc01ET241nc111112( )()cos2nnEEf tSantTT譜線間隔譜線間隔112()T 2零值點頻率零值點頻率哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系 1jntnnf tF e指數(shù)形式：指數(shù)形式：1121121()2jntnnEFEedtSaTT1nF10241ET2頻帶寬度概念：頻帶寬度概念：周期脈沖信號包含無窮多條譜線，即可分解為周期脈沖信號包含無窮多條譜線，即可分解為無窮多個頻率分量，但其能量主要集中在第一個零點以內(nèi)，常無窮多個頻率分量，但其能量主要集中在第一個零點以內(nèi)，常把把 這

15、段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度02 / 21, fBBBf與與成反比關(guān)系成反比關(guān)系 111 ()2jntnnEf tSaeT哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系若若T1不變，不變，減小一半減小一半t)(tf12TE1Tnc1ET124t)(tf12TE1Tnc121ET 譜線間隔譜線間隔 只與周期只與周期T1有關(guān)，且與有關(guān)，且與T1成反比；零值點成反比；零值點頻率頻率 只與只與有關(guān)，且與有關(guān)，且與成反比；而譜線幅度與成反比；而譜線幅度與T1和和都有關(guān)都有關(guān)系，且與系，且與T1成反比與成反比與 成正比。成正比。2112()T

16、 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系若若不變，不變，T1擴大一倍擴大一倍t)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tfE1Tnc4E8E124周期周期T1越大，譜線間隔越小（密集）越大，譜線間隔越小（密集）哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)()(tftf2奇函數(shù)奇函數(shù) 11/20/211( )0TTaf t dtT11/21/212( )cos0TnTaf tntdtT111/2/211/201124( )sin( )sinTTnTbf tntdtf tntdtTT/2E1/2T/2E1/2Tf(t)t0奇函數(shù)只含奇函數(shù)只含正弦

17、項正弦項哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系 ttttEtf11114sin413sin312sin21sin例例2：周期鋸齒波只含正弦項：周期鋸齒波只含正弦項f(t)E/2-E/2t1/2T1/2T0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系1( )()2Tf tf t 3奇諧函數(shù)：奇諧函數(shù)：11/20/211( )0TTaf t dtT111111111/20/2111/2/20112/2/21110012/211010122( )cos( )cos( )cos2( )cos()( )cos22( )coscos()21 ( 1) ( )T

18、TnTTTtTTTtTTnaf tntdtf tntdtf tntdtTTTfndf tntdtTf tntntndtTf tT 1/21cosntdt半周期對稱半周期對稱1/2T1/2T/2Et)(tf/2E0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系kn20nai)當當時，時，12 kn1/21014( )cosTnaf tntdtTii)當當時，時，同理同理12 kn1/21014( )sinTnbf tntdtTii)當當時，時，kn20nb時，時，i)當當奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)只含只含基波基波和和奇次諧波奇次諧波的正弦和余弦項的正弦和余弦項1/210121( 1) (

19、 )cosTnnaf tntdtT 1/210121 ( 1) ( )sin Tnnbf tntdtT哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系, ( )( )22EEAg tf t例例3：含直流的周期鋸齒波：含直流的周期鋸齒波：Atftg)()()(tg)(tf4去直流后為奇函數(shù)去直流后為奇函數(shù) 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：只含正弦項，則只含正弦項，則只含直流和正弦項只含直流和正弦項t)(tfE01T2E2Et( )g t01T哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系5去直流后為奇諧函數(shù)去直流后為奇諧函數(shù)Atftg)()(為奇諧函數(shù)：為奇諧函數(shù)：)(tf

20、含直流、基波和奇次諧波含直流、基波和奇次諧波 A1/2T1/2Tt)(tf0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系 tnnnEEtfn12122cos2sin142例例4：周期三角波含直流、基波和奇次諧波：周期三角波含直流、基波和奇次諧波( )f tt哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系f(t)6偶函數(shù)偶函數(shù)&奇諧函數(shù)：只含基波和奇次諧波的余弦分量奇諧函數(shù)：只含基波和奇次諧波的余弦分量t1/2T1/2Tt01/4T1/4T哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系( )f tt1/2T1/2T0 tttEtf1

21、115cos513cos31cos2例例5：對稱方波只含基波和奇次諧波的余弦分量。：對稱方波只含基波和奇次諧波的余弦分量。哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系7奇函數(shù)奇函數(shù)&奇諧函數(shù)：只含基波、奇次諧波的正弦分量奇諧函數(shù)：只含基波、奇次諧波的正弦分量1/2T-11tf(t)1/4T1/4T01/2T哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系1( )()2Tf tf t1111111111/20/2111/2/20112/2/21110012/211010122( )cos( )cos( )cos2( )cos()( )cos22( )c

22、oscos()21( 1) ( )TTnTTTtTTTtTTnaf tntdtf tntdtf tntdtTTTfndf tntdtTf tntntndtTf tT /21cosntdt8偶諧函數(shù)：偶諧函數(shù)：111/2/20/201112( )( )TTTaf t dtf t dtTT不一定為不一定為0/2T/2Tf(t)t0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系12 kn0nai)當當時時,kn2tdtntfTaTn1201cos)(41ii)當當時時,kn21/21014( )sinTnbf tntdtTii)當當時時,12 kn0nb時時,i)當當1/21012

23、1( 1) ( )cosTnnaf tntdtT 同理同理1/210121( 1) ( )sin Tnnbf tntdtT偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)只含只含直流直流和和偶次諧波偶次諧波的正弦和余弦項的正弦和余弦項哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系9偶函數(shù)偶函數(shù)&偶諧函數(shù)：只含直流和偶次諧波的余弦分量偶諧函數(shù)：只含直流和偶次諧波的余弦分量f(t)1/2T1/2Tt1/4T1/4T0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系10奇函數(shù)奇函數(shù)&偶諧函數(shù)：只含偶次諧波的正弦項偶諧函數(shù)：只含偶次諧波的正弦項21T21T( )f tt14T14T0

24、哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系11半波余弦、半波正弦類半波余弦、半波正弦類例例6：全波整流：只含直流、余弦分量：全波整流：只含直流、余弦分量21T21T( )f tt1T1T0E規(guī)律收斂規(guī)律收斂21/n 111112124111cos2cos4cos631535241( 1)cos241nnEEf ttttEEntn哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系半波整流：只含直流、基波和偶次諧波余弦分量半波整流：只含直流、基波和偶次諧波余弦分量14T14T( )f tt1T0E1T規(guī)律收斂規(guī)律收斂21/n哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱

25、工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系 010010221201111111cossintTttTtPftft dtTaantbntdtTdttnbatnaatnbtnaaTTtt10011011012211221201sin2cos2sincos112220212120222nnnbaabaa22222001122nnnnnccFFF四、功率特性，有限級數(shù)，最小方均誤差四、功率特性，有限級數(shù)，最小方均誤差1.功率特性功率特性哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系20c：直流功率：直流功率稱之為帕塞瓦爾方程稱之為帕塞瓦爾方程122nnc：交流功率：交流功率時域和頻域的能量守恒：時域和頻域的能量守恒：周期信號的平均功率周期信號的平均功率等于傅立葉級數(shù)展開各諧波分量有效值平方和等于傅立葉級數(shù)展開各諧波分量有效值平方和nntnc1cos221nc2nc其中其中 的交流功率為的交流功率為 , 有效值為有效值為哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系 1110sincosnnntnbtn