細長壓桿的臨界力公式—歐拉公式

1、10.2 細長壓桿的臨界力公式歐拉公式一、兩端鉸支壓桿的臨界力 圖94為兩端受壓桿件，人們經(jīng)過對不同長度（），不同截面（I），不同材料（E）的壓桿在內力不超過材料的比例極限時發(fā)生失穩(wěn)的臨界力Pcr研究得知： （91） 式中： 圓周率； E材料的彈性摸量； 桿件長度； 桿件截面對行心主軸的慣性矩。當桿端在各方向的約束情況相同時，壓桿總是在抗彎剛度最小的縱向平面內失穩(wěn)，所以（9-1）式中的慣性矩應取截面最小的形心慣性矩Imin。瑞士科學家歐拉（L.Eular）早在18世紀，就對理想細長壓桿在彈性范圍的穩(wěn)定性進行了研究。從理論上證明了上述（9-1）式是正確的，因此（9-1）式又稱為計算臨界力的歐拉公

2、式。二、桿端支承對臨界力的影響工程上常見的桿端支承形式主要有四種，如圖9-5所示，歐拉進一步研究得出各種支承情況下的臨界力。如一端固定，一端自由的桿件，這種支承形式下壓桿的臨界力，只要在（9-1）式中以2代替即可。 （a） 同理，可得兩端固定支承的臨界力為 （b） 一端固定，一端鉸支壓桿的臨界力為 （c）式（a），(b)，(c)和（9-1）可歸納為統(tǒng)一的表達式 （9-2）式中稱為壓桿計算長度，稱為長度系數(shù)，幾種不同桿端支承的各值列于表91中，反映了桿端支承情況對臨界力的影響。例9.1 圖示軸心受壓桿，截面面積為10mm20mm。已知其為細長桿，彈性模量E=200GPa，試計算其臨界力。 解：由

3、桿件的約束形式可知： 臨界力：三、臨界應力和柔度 在臨界力的作用下，細長壓桿橫截面上的平均應力叫做壓桿的臨界應力，用表示。若壓桿的橫截面面積為A，則臨界應力為： 由式可知： 令 （9-3） 于是臨界應力的公式為： （9-4） 稱為壓桿的柔度或長細比，它綜合反映了壓桿的長度、支承情況、截面形狀與尺寸等因素，是一個無量綱的量。四、歐拉公式的適用范圍 歐拉公式是在材料服從胡克定律的條件下導出的，因此，壓桿的臨界力只適用于應力小于比例極限的情況。其條件可表示為： 若用柔度來表示，則歐拉公式的適用范圍為： （9-5）式中為時的柔度值。工程中把的壓桿稱為細長桿（或大柔度桿），只有細長桿才能應用歐拉公式計算

4、壓桿的臨界力和臨界應力。 的大小與材料的力學性能有關，不同材料的值不同。如Q235鋼，若取，代入上式可得，這意味著由Q235鋼制成的壓桿，只有在時才可以應用歐拉公式。例9.2 有一長4.5m的壓桿，截面為工字鋼，一端固定，一端鉸支，材料為Q235鋼。如圖9-7所示，試計算壓桿的臨界力和臨界應力。 解：（1）計算 壓桿一端固定，一端鉸支,。、為形心主慣性矩，。 查型鋼表得： ，。 故 壓桿為細長桿。 （2）計算 （3）計算 例9.3一中心受壓木柱，長=8，矩形截面，bh=120mm200mm，柱的支承情況是：在最大剛度平面內彎曲時（中心軸為y軸）兩端鉸支，如圖9-8(a)所示，在最小剛度平面內彎曲時（中心軸為z軸），兩端固定，如圖9-8(b)所示，木材的彈性模量E=10GPa，=110，試求木柱的臨界應力和臨界力。解：（1）計算最大剛度平面內的柔度 在此平面內，柱子兩端為鉸支，。 （2）計算最小剛度平面的柔度 在此平面內，柱子兩端固定，所以。 （3）討論計算結果表明，木柱的最大剛度平面