高中數(shù)學論文 圖形計算器應(yīng)用能力測試活動學生 利用圖形計算器

1、遼寧省沈陽市第十五中學2013年高中數(shù)學論文 圖形計算器應(yīng)用能力測試活動學生 利用圖形計算器解決需要分類的數(shù)形結(jié)合問題普通高中數(shù)學課程標準(實驗明確提出，要“盡可能使用科學型計算器、各種數(shù)學教育技術(shù)平臺，加強數(shù)學教學與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)?！眻D形計算器雖然使用還不夠廣泛，但它在代數(shù)運算、編程、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、動態(tài)幾何等方面都有較強大的功能，并且便于攜帶，可以隨時隨地使用，因此其優(yōu)勢比較明顯。在查看資料的過程中遇到了這樣一個問題：“ 分別就a =2，a =和a =畫出函數(shù)y = ax，y = logax的圖象，并求方程ax = logax解的個數(shù)” 一、我們的主觀

2、意識常常會引導我們犯錯在解決需要進行分類討論的數(shù)形結(jié)合問題時，我們常常以主觀意識即通過以下步驟通過繪制圖像進行判斷：使用“計算·矩陣”功能模塊，將一個大于1的數(shù)（這里設(shè)置為3）賦值給參數(shù)A。使用“圖形”功能模塊，繪制函數(shù)Y1=Ax及函數(shù)Y2=logAX。由此圖可知，當a > 1時，方程ax = logax無解；用同樣的方法，作出0 < a < 1時y = ax與y = logax的圖象（我們一般會選擇易于計算的0.5）。因它們只有一個公共點，所以我們通常會得出當0 < a < 1時，方程ax = logax有且只有一解的結(jié)論。通過我們慣用的思想方法來解決

3、這一問題得到的結(jié)論看起來是準確無誤的，但是這種通過主觀意識的判斷而得來的結(jié)論就真的正確么？下面的操作會讓我們顛覆這種看法。二、如果再多進行一步，結(jié)果將會讓人吃驚在這里，我們將0.1這個在（0，1）區(qū)間中的實數(shù)賦值給參數(shù)A，這時再使用“圖形”功能模塊繪制圖像顯然，在改變參數(shù)后，我們發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖像出現(xiàn)了一個交點，此時，點擊鍵盤上的F5，選擇“交點”功能即可得到交點坐標。如果我們就這樣想要得出新的結(jié)論的話，先不要著急，當我們把（1，+）上的無理數(shù)賦值給參數(shù)A時，我們會發(fā)現(xiàn)之前得出的結(jié)論又一次被推翻。使用之前的方法在做出圖像后求出交點坐標，這一次， 這兩個函數(shù)的圖像出現(xiàn)了兩個交點如果這樣就想要提

4、出新的結(jié)論，還是為時過早，如果我們將0.03這個（0,1）上的有理數(shù)賦值給參數(shù)A，就會得到這樣的圖像。這時，我們會發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖像出現(xiàn)了三個交點。為了保險起見，我們使用“動態(tài)圖”功能模塊來驗證（由于這款計算器不支持步長為0.01的情況，我們只能驗證步長為0.1）。當曲線y = ax與y = logax相切時，曲線y = ax與y = logax有且只有一個公共點。由此可知，當a > 1時，方程ax = logax的解可能有2個、1個或0個；當0 < a < 1時，方程ax = logax的解可能有3個或1個，通過以上操作，我們可以在a的取值不同的情況下，方程ax = lo

5、gax解的個數(shù)有下列多種不同情況：0個、1個、2個、3個。三、在現(xiàn)象中理解這個問題的理論依據(jù)通過剛才的操作，我們通過函數(shù)圖象得出了方程ax = logax (a>0，且a1解的個數(shù)。如果在沒有圖形計算器的場合我們又該如何解決這個問題呢？對于方程ax = logax.在a > 1時先求y = ax 的圖像與y = logax的圖像相切時a的值。設(shè)曲線y = ax與y = logax相切于點P(x0，x0，從我們之前的學習中，我們可以得知函數(shù)y = ax 與y = logax互為反函數(shù)，所以當這兩個函數(shù)圖象相切時，切線的斜率為1。從而列得方程， 即e = a = 此時x0 = e以上說

6、明，當a = 時，兩條曲線y = ax與y = logax相切于點P (e，e因此有以下結(jié)論：. 1 < a < 時，方程有且僅有兩個解 .當a = 時，方程有且僅有一個解. 當a > 時，方程無解當0 < a < 1時先求y = ax與y = logax相切時a的值。 設(shè)曲線y = ax與y = logax相切于點P，由對稱性知，點P 在直線y = x上，設(shè)P (x0，x0。由于曲線y = logax（或y = ax）在點P處切線的斜率為 1，列得方程，即 即則a = 此時，x0 =。以上說明，當a =時，兩條曲線y = ax與y = logax相切于點P(，。

7、得出：.0 < a <時，方程有且僅有三解；.當a =時，方程有且僅有一解；. 當< a < 1時，方程有且僅有一解。用圖形計算器的“計算·矩陣”功能模塊，求出的值。這個數(shù)非常小，小到在我們平常的運算跟思考中根本不會考慮到這種情況，這也正是這道題的關(guān)鍵所在。綜上所述，當a（0，）時，方程ax = logax有且僅有三解；當a =時，方程ax = logax有且僅有一解；當a（，1）時，方程ax = logax有且僅有一解；當a（1，）時，方程ax = logax有且僅有兩解；當a =時，方程ax = logax有且僅有一解；當a（，+）時，方程ax = log

8、ax無解。四、感悟與反思通過這道題，我們可以明白自己平常在做涉及到分類討論的數(shù)形結(jié)合問題時，考慮的總是不那么全面，我們的主觀意識讓我們無法突破慣有解題方式的桎梏，在開篇時舉出的例子就是一個很好的證明，在這個例子中我們所使用的分類方式是我們在平時的練習與測驗中因為時間跟計算工具的限制經(jīng)常會用到的分類。然而，這道題卻跳出了這個慣有思維，它采取了更加細化的分類而不是像我們平常做題時大致分成兩類，每一類中選取一個有代表性的值，求解以后就能得出結(jié)論的類型。也正是這道題，在我們高中所接觸到的知識體現(xiàn)的數(shù)學的嚴謹，同時也能體現(xiàn)出圖形計算器在我們解決一些需要細化分類的問題時所起到的無與倫比的作用。反思一下我們平時的解題，在大量習題的壓力下，時間變得很緊張，因此，我們一般不會見到需要特別的細化分類的問題，也正是這一點，使我們的思維限制在了平時做題得分需要的大致的分類，而忽略了數(shù)學本身的精密、嚴謹。在解這道題時，我相信大多數(shù)每天沉浸在大量成題中的高中生一定會對數(shù)學有一個全新的認識，也對圖形計算器有了不一樣的感想。在使用“計算·矩陣”功能模塊時，我們可以進行一些輔助運算，還可以對其他功能模塊所要用到的參數(shù)進行賦值；使用“圖形”功能模塊時，可以通