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1、初中、小學(xué)數(shù)列找規(guī)律方法與題解江蘇省泗陽縣李口中學(xué) 沈正中 擬編解答在初中、小學(xué)數(shù)學(xué)的一些賽題中,經(jīng)常會出現(xiàn)數(shù)列找規(guī)律的問題,數(shù)列的題型多種多樣,遵循的規(guī)律也各不相同,尋找規(guī)律的方法也非常靈活,下面舉幾例常見的題型探索一下,方法和解題思路。1、等差數(shù)列(1)、等差數(shù)列:相鄰兩數(shù)的后一個數(shù)與前一個數(shù)差相等的數(shù)列叫等差數(shù)列。在等差數(shù)列中,第n個數(shù)可以表示為:ana1(n1)d,其中a1為數(shù)列的第一個數(shù),d為后一個數(shù)與前一個數(shù)的差。【例1】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):4、10、16、22、28、34、()、。【解析】:因相鄰兩數(shù)的后一個數(shù)與前一個數(shù)差為6,所以第n個數(shù)是:ana1(n1)d,故a74(71

2、)×640,即括號內(nèi)應(yīng)為40。(2)、“相鄰兩數(shù)的增加(或減少)值為等差數(shù)列”的數(shù)列。這種數(shù)列第n個數(shù)也有一種通用求法?;舅悸肥牵呵蟪鰯?shù)列的第n1個到第n個的增加(或減少)值 (a2a1)(n2)d,則第n個數(shù)是anan1(a2a1)(n2)d。【例2】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):3、7、15、27、()、?!窘馕觥浚阂驍?shù)列的增加值分別為:4、8、12、16、,增加值為等差數(shù)列。所以第n個數(shù)是:anan1(a2a1)(n2)d,故a527(73)(52)×443,即括號內(nèi)應(yīng)為43。這是通用解法,當(dāng)然此題用分析觀察的方法求出。2、等比數(shù)列(1)、等比數(shù)列:相鄰兩數(shù)的后一個數(shù)與前一

3、個數(shù)的比值相等的數(shù)列叫等比數(shù)列。在等比數(shù)列中,第n個數(shù)可以表示為:ana1qn1,其中a1為數(shù)列的第一個數(shù),q為后一個數(shù)與前一個數(shù)的比值?!纠?】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):2、6、18、54、162、()、?!窘馕觥浚阂蜞弮蓴?shù)的后一個數(shù)與前一個數(shù)的比值為3,所以第n個數(shù)是:ana1q n1,故a52×361486,即括號內(nèi)應(yīng)為486。(2)、“相鄰兩數(shù)的增加(或減少)值為等比數(shù)列”的數(shù)列。這種數(shù)列第n個數(shù)也有一種通用求法?;舅悸肥牵呵蟪鰯?shù)列的第n1個到第n個的增加(或減少)值(a2a1) qn2,則第n個數(shù)是anan1(a2a1) qn2?!纠?】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):3、5、9、17

4、、33、()、?!窘馕觥浚阂驍?shù)列的增加值分別為:2、4、8、16、32、,增加值為等比數(shù)列。所以第n個數(shù)是:anan1(a2a1) q n2,故a633(53)×26265,即括號內(nèi)應(yīng)為65。這是通用解法,當(dāng)然此題用分析觀察的方法求出。3、其它的數(shù)列(非等差、等比數(shù)列)只有用分析、觀察和一些技巧的方法。【例5】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):2、2、4、4、6、8、8、16、()、?!窘馕觥浚哼@個數(shù)列由等差數(shù)列2、4、6、8、 在前,等比數(shù)列2、4、8、16、 在后組成的交錯數(shù)列,所以括號內(nèi)應(yīng)為10。【例6】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):1、3、2、5、3、7、4、9、()、?!窘馕觥浚哼@個數(shù)列由自然

5、數(shù)列1、2、3、4、 ,在相鄰兩數(shù)之間插入這兩個數(shù)的和組成的,所以括號內(nèi)應(yīng)為5。【例7】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):0、0、1、2、6、3、4、()、5、?!窘馕觥浚哼@個數(shù)列由新規(guī)定自然數(shù)列0、1、2、3、4、5、 ,從0開始向右依次兩兩一組,在每組中間插入這兩個數(shù)的積組成的,所以括號內(nèi)應(yīng)為20?!纠?】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):0、3、8、15、24、()、?!窘馕觥浚喝菀装l(fā)現(xiàn),已知數(shù)列的每一項,都等于它的項數(shù)的平方減1。因此,第n個數(shù)是:ann21,故a662135,即括號內(nèi)應(yīng)為35。類似題有:ann21、ann2±2等。【例9】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):1、9、25、49、()、?!窘馕觥浚?/p>

6、觀察發(fā)現(xiàn),已知數(shù)列的各項,依次對應(yīng)于1、3、5、7、的平方,即第n個數(shù)是:an(2n1)2,故a5(2×51)281,即括號內(nèi)應(yīng)為81。類似題有:an(2n1)2、an(2n±1)2等?!纠?0】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):2、9、28、65、()、。【解析】:觀察發(fā)現(xiàn),已知數(shù)列的各項,依次對應(yīng)于項數(shù)的三次方加1,即第n個數(shù)是:ann31,故a5531126,即括號內(nèi)應(yīng)為126。類似題有:ann31、ann3±2等?!纠?1】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):4、16、36、64、100、()、?!窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn),已知數(shù)列的每一項,都等于它的項數(shù)2倍的平方。所以第n個數(shù)是:an(

7、2n)2,故a6(2×6)2144,即括號內(nèi)應(yīng)為144。類似題有:an(3n)2等?!纠?2】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):0、6、16、30、48、()、?!窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn),各項除以2,得0、3、8、15、24、,而這個數(shù)列的每一項,都等于它的項數(shù)的平方減1。所以原數(shù)列的第n個數(shù)是:an2(n21),故a62×(621)70,即括號內(nèi)應(yīng)為70。類似題有:an2(n2±1)、an3(n2±1)等?!纠?3】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):5,7,11,19,35,67、()、?!窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn),后一項減前一項,得4、4、8、16、32、,由此可看出原數(shù)列從第二項起,后

8、一項等于前一項加2的(n1)次方。所以原數(shù)列的第n個數(shù)是:anan12n1,故a76726199,即括號內(nèi)應(yīng)為99。類似題有:anan1±2n±1?!纠?4】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):1、2、4、7、11、16、22、29、()、?!窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn),相鄰兩數(shù)依次相差:1、2、3、4、5、6,、,所以第n個數(shù)是:anan1n1,故a929837,即括號內(nèi)應(yīng)為37。類似題有:anan1n1等?!纠?4】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):2、5、10、17、26、37、50、()、?!窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn),相鄰兩數(shù)依次相差:3、5、7、9、,所以第n個數(shù)是:anan12n1,故a8501565,即

9、括號內(nèi)應(yīng)為65。類似題有:anan12n1等?!纠?5】在括號內(nèi)填上所缺的數(shù):8、12、16、20、24、()、?!窘馕觥浚鹤屑?xì)觀察發(fā)現(xiàn),依次是項數(shù)加1后乘以4所得數(shù)列,或原數(shù)列是數(shù)列9、16、25、36、49、減去數(shù)列1、4、9、16、25、對應(yīng)項所得差組成,這兩種說法實質(zhì)上是一樣的。所以第n個數(shù)是:an4(n1)(n2)2n2,故a64(61)28,即括號內(nèi)應(yīng)為28。常見的還有以下規(guī)律:ann×(3n2)an2n11ann(n1)an2n±1ann(n+1)(n+2)/3 ann(n+1)/2;項數(shù)依次3、1循環(huán): 1、4、3、6、5、8、7、后一項等于前兩項和:1、 1、 2、3、5、 8、奇數(shù)項1、2、3、4、5、與偶數(shù)項2、4、8、16、 交錯組合:1、2、2、4、3、8、4、16、5、奇數(shù)項:2、4、6、8、 與偶數(shù)項:1、3、9、27、交錯組合:2、1、4、3、6、9、 8、 27、 10、分組數(shù)列n、3n、5n:1、3、5、2、6、10、3、9、15、???/p>

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