相似三角形專業(yè)題材

1、【一】知識(shí)梳理【1】比例中，其中兩個(gè)量的比等于另兩個(gè)量的比，那么這四個(gè) 定義：四個(gè)量a,b,c,d量成比例 形式：a:b=c:d，性質(zhì)：基本性質(zhì):c<c=bd d一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)ACBCBCAB0.618ABAB0.382ABAC0.618AC75 123 752亦1注意:形,2如圖 ABC，/ A=36°, AB=AC這是一個(gè)黃金三角cBC0.618AB21、可以把比例式與等積式互化。2、可以驗(yàn)證四個(gè)量是否成比例4,比例中項(xiàng)：c汁c2 ab注：比例式有順序性的，比例線段沒有負(fù)的，比例數(shù)有正有負(fù)【2】黃金分割定義：如圖點(diǎn) C是AB上一點(diǎn)，若AC2 AB?BC，則點(diǎn)C是

2、AB的黃金分割 點(diǎn)，平行線推比例c上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1相似三角形的判定 AA相似：/ A=/ D, / B=/ E ABSA DEF S A S' AB BC, BDE EF ABBA DEF s S S ' 些竺昱DE DF EF ABSA DEF平行相似：DE/ BC ADEA ABC2、相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)周長的 比都等于相似比 相似三角形的面積比等于相似比的平方3、相似

3、三角形的常見圖形'A型圖''K型圖''母子圖母子圖中的射影定理'一般母子圖AC2=AD?ABAC2=AD?AB BC 2=bd?abcd2=ad?bd【二】題型1、求線段的比求a比b的方法：求a,b的長度，設(shè)k法，利用三角形相似的 性質(zhì)，平行推比例線段 比例分配【例題1】如圖，直線Il/l2 / l 3,直線AC分別交ll， l 2， l 3于點(diǎn)A，B， C;直線DF分別交li,12,I 3于點(diǎn)D,E，F(xiàn).AC與DF相較于點(diǎn)H,且AH=2 HB=1 BC=5則匹的值為EF【例題2】如圖，已知在 ABC中，點(diǎn)D E、F分別是邊AB AC BC上的點(diǎn)

4、,DE/ BC EF/ AB,且 AD： DB = 3 : 5,那么 CF： CB等于AB FC（1）（2）【例題3】如圖，點(diǎn)D是 ABC的邊AB上一點(diǎn)，且 AB=3AD點(diǎn)P是 ABC的外 接圓上的一點(diǎn)，且/ ADP2 ACB則PB:PD=【例題4】如圖，已知ABC的角平分線,DE/ AB交 AC于 E,D .【例題5】3b2，則一3 3a 4b【例題6】如圖,將矩形紙片ABCD（AD>D（的一角沿著過點(diǎn)D的直線折疊,使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)E重合，折痕交 AB于點(diǎn)F.若BE:EC=m：n貝U AF:FB=.【例題7】如圖所示，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上,點(diǎn)B與點(diǎn)F重合, 折痕為

5、AE，此時(shí),矩形EDCF與矩形ABC相似,則竺=AB 【例題8】如圖，Rt ABC內(nèi)接于OO,乙A=90,AC=3 , D 為弧°,AB=4CEAB的中點(diǎn)，則DE(7)(8)【例題9】在Rt ABC中 ,若 CD=3 AN=4 則 tan / CAN=/ ACB=90 , CD為 AB 的中線,AN! CD 交 BC于 N,)AA.0.B.2、相似三角形的性質(zhì)與判定【例題1】如圖，小正方形的邊長均為1,貝U下列圖中的三角形（陰影部分） 與 ABC相似的是（【例題2】如圖，確定 ACP與 ABC相似的是（已知 ABC P是邊AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CP以下條件中不能）A / ACP2 B,

6、B / APCM ACBC AC2=A P.AB D AC 俎CP BC【例題3】已知四邊形 ABCD與四邊形 ABCD，且AB:BC:CD:DA=20 15： 9：8,若四邊形ABCD為26，貝U AB的長為【例題4】如圖，矩形ABCD中，由8個(gè)面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置,則矩形ABCD的周長為【例題5】如圖，P為OKBCD的邊AD上一點(diǎn)，E,F分別為PB,PC的中點(diǎn)， 仲EF的面積為3，則平行四邊形的面積是使點(diǎn)D落在AB的中點(diǎn)E G,則 EBG的周長為6的正方形ABCD折疊, Q出，EQ與BC相較于點(diǎn)已知兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為 3:10，面積差為100，則大三角形的面

7、積 為【例題6】如圖，將邊長為處，折痕為FH,點(diǎn)C落在點(diǎn)C(4)£>C(5)【例題7】如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上.DE=18 m小明和小華的身高都是 1.6m,坡面上小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為 塔高AB為多少？AB, B 是已知鐵塔底座寬 CD=12 m塔影長同一時(shí)刻，小明站在點(diǎn) E處，影子在2m和1m,那么點(diǎn)撥：同一時(shí)刻、同一地點(diǎn)，物高 與影長的比是定值A(chǔ)jS Jjf 1 Jr Jy I【例題8】如圖，AB=4射線BMW AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上, BeJjDB,作EF丄DE并截取EF=DE

8、連結(jié)AF并延長交射線 BM 乙于點(diǎn)C.設(shè)BE=x BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是3、相似三角形討論【例題1】直線y=-x+1分別交x軸、y軸于A B兩點(diǎn)， AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針后得到 COD拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A C D三點(diǎn).A B、C D的坐標(biāo)；A C D三點(diǎn)的拋物G的坐標(biāo)；方法1、固定一個(gè)角，按AA討論，2、按夾相等角得兩邊的比值相等討論方向旋轉(zhuǎn)90（1）寫出點(diǎn)（2）求經(jīng)過（3）在直線BG上是否存在點(diǎn) Q使得以點(diǎn) A B Q為頂點(diǎn)的三角形與 cOd相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.54-32-11IJ1y5-4 -3 -2 jU-11 2 3 4 5-2

9、-34-5r【例題2】已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A （-5，0）和點(diǎn)B,其中點(diǎn)B 在第一象限，且 OA=OBtan / BAO=2（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）求二次函數(shù)的解析式。（3）過點(diǎn)B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為 C,連結(jié)AC,如果點(diǎn)P在x軸上，且 ABCn PAB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 OABC的邊長是4,點(diǎn)A, C分 別在y軸、x軸的正半軸上，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，以每秒2個(gè)單位長度的速度 在線段AB上來回運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)B開始沿B-C-O的方向，以每秒1個(gè)單 位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).

10、P, Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) 停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1) 當(dāng)t = 1時(shí)，求PQ所在直線的解析式.(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以P, B, Q為頂點(diǎn)的 三角形與 OAP相似，求t的值.(3) 在P, Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，若 OPQ勺面積為6,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).【例題4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，頂點(diǎn) M在第三象限，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)為(一3, 0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(1, 0).(1) 試用含a的式子表示b, c ；(2)連接AM CM CB,試說明 OCB與四邊形AMCO勺面積之比是一個(gè)定 值，并求出這個(gè)定值；(3

11、)連接 AC 若/ AC/=90°,解決下列問題:求拋物線解析式并證明/MAO/ ACB線段AM上是否存在點(diǎn)D,使以點(diǎn)AOD為頂點(diǎn)的三角形與 ACB 相似？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【例題5】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P( 1，1)為圓心 的OP與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N,點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以 每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，連接 PF,過點(diǎn)PEX PF交y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)F 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t > 0)(1) 若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上(如圖所示)，求證：PE=PF(2) 在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE=a OF=b試用含a的代數(shù)式表示b

12、;(3) 作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F',經(jīng)過M E和F'三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸 交x軸于點(diǎn)Q,連接QE在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn) Q O E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直 接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【例題6】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y ax2 bx3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A (-3 , 0)、B (1, 0),過頂點(diǎn)C作CHI x軸于點(diǎn)(1)直接填寫：a，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2) 在y軸上是否存在點(diǎn) D,使得 ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由;(3)若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)

13、(點(diǎn) P與頂點(diǎn)C不重合)，PQIAC【例題7】.如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y = x + 3與x軸、y軸分別交于A, B兩點(diǎn)，直線y = kx + 8與直線AB相交于點(diǎn)D,與x軸相交于點(diǎn)C,過D作DEL x軸于點(diǎn)E (1, 0),點(diǎn)P (t , 0)為xDE上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 O,B, T為頂點(diǎn)的三角形與以軸上一動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)T為直線0,B, P為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，則相應(yīng)的點(diǎn)P (tvO)的坐標(biāo)為【例題8】如圖，二次函數(shù)y5-X 4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交3于點(diǎn)C,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) A后立刻在以原來的速度沿 AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以

14、每秒1個(gè)單位長 度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QD x軸，垂足為D。點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)， 當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P, Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t 0).(1)(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)0向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，求 QPA面積S與t的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)線段PQ與拋物線的對(duì)稱軸沒有公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出 t的取值范圍； 當(dāng)t為何值時(shí)，以P、D Q為頂點(diǎn)的三角形與 OBC相似；如圖2: FE保持垂直平分PQ且交PQ于點(diǎn)F,交折線QC- CO-OP于點(diǎn) E,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn) E所經(jīng)過的路徑長.4、求線段長的方法1、勾股定理2、相似3、直角三角形邊角關(guān)系 4、方程 注意：方程可以根據(jù)勾股

15、定理、相似、邊角關(guān)系得到3D,那么BD的長為A【例題1】如圖，在 ABC中, AB=AC BC=8 tanC=3如果將 ABC沿直線I翻 23Sin / BAC=，AB=105折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)處，直線I與邊BC交于點(diǎn)【例題2】已知AB是半圓0的直徑，D為AC的中點(diǎn),EA與O 0相切于A，E、D、B在一條直線上，求 AE的長【例題3】已知矩形 ABCD AD=3 AB=2 E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上，且 BF=2CF,AF分別與DEQB相較于G,H,求GH【例題4】如圖所示，在 ABC中，BC=6 E、F分別是AB AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 在射線EF上, BP交CE于D,/ CBP的平分

16、線交 CE于Q,當(dāng)CQ=1 CE時(shí)，貝U3EP+BP=【例題5】如圖示我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周脾算經(jīng)時(shí)給出的趙爽弦圖”圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan / ADE的值為c【例題5】如圖以 ABC的邊BC上一點(diǎn)0為圓心的圓經(jīng)過A,C兩點(diǎn)且與BC邊 交于點(diǎn)E,點(diǎn)D為CE的下半圓的中點(diǎn)，連接AD，交線段 E0與點(diǎn)F，AC=CF=4 DF=7i0(1) 求證：AC是O O的切線：(2) 求O 0的半徑r.和sinC【例題6】如圖：正方形 ABCD中，過點(diǎn)D作DP交AC于點(diǎn)M 交AB于點(diǎn)N,交CB的延長線于點(diǎn)P,若MN=1 PN=3貝

17、U DM的長為.丄BC于E,CD=2AD求AE的長【例題7】如圖D是 ABC的邊AC上一點(diǎn)，BD=8 sin / CBD=3，過點(diǎn)A作AE求坐標(biāo)的方法1、求點(diǎn)到x軸或y軸的距離2、兩個(gè)函數(shù)組成方程組 3、設(shè)出橫坐標(biāo) 或縱坐標(biāo)然后代入解析式 4方程【例題1】已知拋物線yx2 -x 1與直線y丄X 1交于A,B，在x軸上2 2 2試找一點(diǎn)P,使/ APB=45，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為【例題2】已知拋物線y= mX+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A( a ,0),B( P ,0),且.一卄£ =-2拋物線的對(duì)稱軸為I，與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D, 點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E.若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在X軸上，當(dāng)以點(diǎn)DE、 P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).方法：方程【例題3】如圖，二次函數(shù)1y=-x22y軸交于點(diǎn)C,與直線X4y=-x3標(biāo)為C4交于A,B,在拋物線上是否存在點(diǎn) P,使SA ABC=S ABP,在P的坐3【例題4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜 邊AB在X軸上，直角頂點(diǎn) C在y軸正半軸上，已知點(diǎn) A（-1 , 0）.拋物線經(jīng)| 過A, B, C三點(diǎn)，現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板 DEF（其中/EDF=90，/ DEF=60 ），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與