植樹問題公式

1、植樹問題公式兩端都植） : 只植一端） : 兩端都不植） 兩端都植） :（ 只植一端） :（ 兩端都不植） :距離+間隔長+1=棵數(shù)距離+間隔長二棵數(shù):距離+間隔長仁棵數(shù)距離+間隔長+1）X 2二棵數(shù)距離寧間隔長）X 2二棵數(shù)（距離+間隔長-1 ）X 2二棵數(shù)單邊植樹（單邊植樹（單邊植樹（距離+間隔數(shù)二棵數(shù)雙邊植樹（ 雙邊植樹（ 雙邊植樹（ 循環(huán)植樹: 解釋: 1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形 : 在非封閉線路的兩端都要植樹 , 那么 :株數(shù)二段數(shù)+1二全長*株距+1全長二株距X （株數(shù)1）株距二全長* （株數(shù) 1） 在非封閉線路的一端要植樹 , 另一端不要植樹 , 那么 :株

2、數(shù)二段數(shù)二全長*株距全長二株距X株數(shù)株距二全長*株數(shù) 在非封閉線路的兩端都不要植樹 , 那么 :株數(shù)二段數(shù)1二全長*株距1全長二株距X （株數(shù)+1）株距二全長* （株數(shù)+1）2 封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關系如下株數(shù)二段數(shù)二全長*株距 全長二株距X株數(shù) 株距二全長*株數(shù)3、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹， 那么植樹的棵數(shù)應比要分的段數(shù)多 1 ， 再乘二，即：棵樹二（段數(shù)+1）X 2。二、在封閉線路上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即:棵數(shù) =間隔數(shù)。三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數(shù) =（每邊的棵數(shù) 1）X邊數(shù)。例1 長方形場地：一個長 84 米，寬 54 米的長方形蘋果園中，蘋果樹的

3、株距是 2 米，行距是 3 米這個蘋果園共種蘋果樹多少棵？解： 解法一： 一行能種多少棵？ 84寧2=42（棵）.|這塊地能種蘋 果樹多少行？ 54 - 3=18（行）.這塊地共種蘋果樹多少棵？ 42 X18=756（棵）. 如果株距、行距的方向互換，結果相同： （84 + 3） X （54 + 2）=28X 27=756（棵） 解法二： 這塊地的面積是多少平方米呢？ 84 X 54=4536（平方 米）.一棵蘋果樹占地多少平方米呢？ 2 X 3=6（平方米）.這塊地 能種蘋果樹多少棵呢？ 4536 - 6=756（棵）.當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時，可用上述兩種方 法中的任意

4、一種來解；當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就 只能用第二種解法來解但有些問題從表面上看，并沒有出現(xiàn)“植樹”二字，但題目實質上是 反映封閉線段或不封閉線段長度、分隔點、每段長度三者之間的關系。鋸木頭問題 就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。 所鋸的段數(shù) 總比鋸的次數(shù)多一。上樓梯問題 ，就是把每上一層樓梯所需的時間看成一個時間間隔，那么：上樓所需總時間二（終點層一起始層）X每層所需時間。而方陣隊列問題，看似與植樹問題毫不相干，實質上都是植樹問題例2 直線場地：在一條公路的兩旁植樹，每隔 3米植一棵，植到頭還剩 3棵；每隔 2.5 米植一棵，植到頭還缺少 37 棵，求這條公路的長度。

5、解法一：（代數(shù)解法） 設一共有 x 棵樹 【（ x-3 ） /2-1 】X3【=（ x+37） /2-1 】X2.5 x=205 公路長 :【(205-3) /2-1 】X3=300 得:公路長度為 300米解法二：（算術解法） 這道題可以用解盈虧問題的思路來考慮：首先，我們在兩邊起點處各栽下一棵樹， 這兩棵樹與路長沒有關系， 以后每栽下一棵 樹，不論栽在哪一側，植樹的路線（不是路）就增加一個間距，為了簡單起 見，我們按單側植樹來考慮。當按 3 米的間距植樹時，最后剩下 3 棵，也就是說植樹的路線要比路長出3個間距，3X 3=9米，當按2.5米的間距植樹時，最后還缺 37 棵樹，也就是說植樹的

6、路線比路短了 37 個間距， 2.5X 37=92.5 米，兩次相差 9+92.5=101.5 米，兩次植樹的間距相差是 32.5=0.5米，據(jù)此可以求出樹的棵數(shù)：（不包括起點的2棵）101.5 -0.5=203 （個） 知道了樹的棵數(shù)， 就可以求出植樹路線的長度了： 3 X（ 2033） =600（米）例3例4例5或 2.5X（203+37） =600（米） 因為是雙側植樹，所以路長為： 600 -2=300(米) 綜合算式為： 3 X (3X3+2.5X37)-( 3-2.5)-3 -2=300 (米)或 2.5 X ( 3X 3+2.5 X 37)-( 3-2.5 ) +37 : - 2

7、=300米） 答：（略）圓形場地（難題） ：有一個圓形花壇，繞它走一圈是 120 米。如果在花壇周圍每隔 6米栽一株丁香花， 再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽 2 株月季花?？稍远∠慊ǘ嗌僦辏靠稍栽录净ǘ嗌僦?？每 2株緊相鄰的月季花相距多少米 解：解：根據(jù)棵數(shù)二全長+間隔可求出栽丁香花的株數(shù):120-6=20 （株） 由于是在每相鄰的 2 株丁香花之間栽 2株月季花，丁香花的株數(shù)與丁香花之間的間隔數(shù)相等，因此，可栽月季花：2 X 20=40 (株)由于 2 株丁香花之間的 2 株月季花是緊相鄰的， 而 2 株丁香花之間的距離被2株月季花分為3等份，因此緊相鄰2株月季花之間距離為：6 + 3

8、=2（米）答：可栽丁香花 20 株，可栽月季花 40 株，2 株緊相鄰月季花之間相距 2 米。例 4 在圓形水池邊植樹，把樹植在距離岸邊均為 3 米的圓周上，按弧長計算，每隔 2 米植一棵樹，共植了 314 棵。水池的周長是多少米？（適于六年級程度） 解：先求出植樹線路的長。植樹線路是一個圓的周長，這個圓的周長是：2 X 314=628（米）這個圓的直徑是： 628 -3.14=200 （米） 由于樹是植在距離岸邊均為 3 米的圓周上，所以圓形水池的直徑是：X 2=194（米） 圓形水池的周長是： 194 X 3.14=609.16 （米）式： (2X314-3.14-3 X2)X 3.14

9、=(200-6)X 3.14 =194=609.16 (米)200-3綜合算X 3.14小明家門前有一條 10 米長的水溝，在溝的一側每隔 2 米栽一棵樹，一共可栽幾棵？（兩端都植樹） 按常規(guī)解法，答案應該是 6（10-2+1）棵，同理，如果小光家門前也有一段 10米長的水溝，同樣可以栽 6棵，也就是兩家一共可以栽 12 棵，這并看不出有什么不妥。但是，當小明與小光家是 鄰居時，我們再計算一下：兩家的水溝總長是 20 米， 20-2+1=11（棵），也0，就是兩家一共可以栽 11 棵樹，結果比上次計算少了一棵（本人稱之為“鄰 里沖突”），這是因為在端點處有兩棵樹“重合”了，這兩棵樹的間距為 與

10、題中要求間距 2 米不符，因此， 可以看出兩端植樹是不妥當?shù)摹?但如果兩 端都不植樹， 又會出現(xiàn)公共點沒有樹鄰近的兩棵樹間距 4 米的情況， 仍與題 意不符。 那么一端植樹又會怎樣呢？這種要求是無法實現(xiàn)的， 因為當一方在 與鄰家相接的端點上植上樹后， 就會使鄰家地段兩端都有樹存在， 還是不合 題意。因此，要求在端點上植樹（或不植樹）都會出現(xiàn)矛盾，這樣的計算方 法也不能正確的反映出各個數(shù)量間的關系。 數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W， 出題者 固然可以任意給定條件， 但用不同的計算方法得出的結果應該是相同的， 當 計算結果出現(xiàn)矛盾時， 應該找出問題的原因所在， 不能簡單的用“兩樹重合”來解釋解釋。 再按照“棵樹 =段數(shù)”的方法計算一下：小明家可栽樹：10 + 2=5（棵） 小光家可栽樹：10-2=5（棵） 兩家一共可栽樹10棵。 當 兩家是鄰居時，可栽樹：（10+10）- 2=10（棵） 兩次計算結果相同，因此可為什么說常規(guī)以說這種計算方法才能正確的反映出各個數(shù)量之間的關系。的解法不夠正確呢？那是因為在常規(guī)解法中， 只考慮了植樹路段為一家獨有 的情況，多栽或少栽一棵都不會出現(xiàn) “爭議”，也就無法判定栽法是否妥當。然而當植樹路段為多家共有時就會出現(xiàn)一方或雙方將樹栽到了公共端點上 的情況，從理論上講這是不正確的。相對于“路邊加一” ，“樓間減一”也無道理，因為完全可以按“間距 2 米”栽下