實驗五 行星的軌道和位置

1、 行星的軌道數(shù)學實驗數(shù)學實驗和位置上海交通大學上海交通大學數(shù)學實驗行星的軌道和位置樂經(jīng)良他以幾乎神一般的思維力,最先說明了行星的運動和圖象,慧星的軌道和大海的潮汐. Newton 墓志銘樂經(jīng)良哥白尼哥白尼( (波蘭，波蘭，1473-1543) 1473-1543) 日心說日心說地球地球我們的家園我們的家園4646億歲億歲 , ,赤道半徑赤道半徑6378.146378.14公里，比極半徑長公里，比極半徑長2121公里公里金星金星看起來最亮的行星看起來最亮的行星半徑約為半徑約為60736073公里公里, , 表面溫度高達表面溫度高達465465至至485485度度 , ,自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)方向與其它行星相反

2、方向與其它行星相反背景介紹1616世紀前，人們認為太陽只有世紀前，人們認為太陽只有6 6大行星大行星托勒密（古希臘）托勒密（古希臘）地心說地心說樂經(jīng)良水星水星距太陽最近的行星距太陽最近的行星半徑為半徑為24402440公里公里 , , 較小，難以觀察較小，難以觀察火星火星離地球最近、人們最關(guān)注的行星：離地球最近、人們最關(guān)注的行星：火星上有無生命？火星上有無生命？土星土星最美麗的行星最美麗的行星衛(wèi)星數(shù)目最多衛(wèi)星數(shù)目最多,23,23顆顆. . 光環(huán)由無數(shù)塊冰狀物組成的光環(huán)由無數(shù)塊冰狀物組成的木星木星行星中的巨無霸行星中的巨無霸赤道半徑約為赤道半徑約為7140071400公里，是地球的公里，是地球的

3、11.211.2倍倍樂經(jīng)良行星運行三大規(guī)律開普勒開普勒(1571(15711630) (1630) (觀察分析數(shù)據(jù)觀察分析數(shù)據(jù)) )在第谷在第谷布拉赫布拉赫(1546-1601)(1546-1601)的基礎(chǔ)上提出的基礎(chǔ)上提出1. 1. 行星運行的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓行星運行的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓; ;2. 2. 從太陽指向某一行星的線段在單位時間內(nèi)從太陽指向某一行星的線段在單位時間內(nèi)掃過的面積相同掃過的面積相同; ;3.3.行星運行周期的平方與其運行軌道橢圓長軸行星運行周期的平方與其運行軌道橢圓長軸的立方之比值是不隨行星而改變的常數(shù)的立方之比值是不隨行星而改變的常數(shù). .樂經(jīng)良

4、(Adams 1845,Leverrier 1846)萬有引力定律“自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理” ” (1687 (1687 牛頓牛頓) )天王星天王星樂師樂師(Herschel)(Herschel)發(fā)現(xiàn)的行星發(fā)現(xiàn)的行星 (1781)(1781)海王星海王星筆尖上的行星筆尖上的行星冥王星冥王星離太陽最遠、未知數(shù)最多的行星離太陽最遠、未知數(shù)最多的行星20062006年年8 8月月2424日國際天文學聯(lián)合大會決定：日國際天文學聯(lián)合大會決定：冥王星降級為冥王星降級為“矮行星矮行星” ” ( (大行星的定義大行星的定義) )太陽只有太陽只有八大行星八大行星！樂經(jīng)良二二實驗目的實驗目的本實驗主

5、要涉及常微分方程。通過實驗復習：微分方程的建模和解法，數(shù)值積分的計算。另外，還將介紹：建立數(shù)學模型時復坐標系的選取，基于壓縮映像的求根方法，微分方程的Runge-Kutta法樂經(jīng)良三三 實際問題實際問題地球距太陽最遠處地球距太陽最遠處( (遠日點遠日點) )距離為距離為1.5211.5211011 m,1011 m,此時地球繞太陽運動此時地球繞太陽運動( (公轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)) )的速的速度為度為2.9292.929104 m/s104 m/s, ,試求試求: :1) 1) 地球距太陽的最近距離地球距太陽的最近距離2) 2) 地球繞太陽運轉(zhuǎn)的周期地球繞太陽運轉(zhuǎn)的周期3) 3) 在從遠日點開始的第在從遠日

6、點開始的第100100天結(jié)束時天結(jié)束時, ,地球的位置與速度地球的位置與速度樂經(jīng)良加速度加速度數(shù)學模型在運動學中常采用復坐標系在運動學中常采用復坐標系設太陽中心所在位置為復平面之原點設太陽中心所在位置為復平面之原點, ,在時刻在時刻t, t,行星位于以下復數(shù)代表的點行星位于以下復數(shù)代表的點速度為速度為 ()iiidddddiidddddZrrereerttttt() )().iddddd diddddd dZrrerrtttttt222222225 2( ).iZ tre5 1四數(shù)學模型四數(shù)學模型( . )iddmMGZemrt2225 3() )()iidddd didddddmMGrrem

7、errrttttt2222222根據(jù)根據(jù) Newton Newton 第二定律第二定律比較虛實部導出比較虛實部導出微分方程組微分方程組( . )()( . )dd ddddddddrrtttrMGrttr 222222205 45 5四數(shù)學模型四數(shù)學模型( . )( . )( . )( . )ttttrrdrdtvddtr00000005 605 705 85 9問題（問題（5.45.4） （5.95.9）就是行星繞太陽運行的軌跡的數(shù)學模型。）就是行星繞太陽運行的軌跡的數(shù)學模型。四數(shù)學模型四數(shù)學模型四數(shù)學模型四數(shù)學模型( .)( .)( .)( .)( .)tttCd rMGdtrrCddtr

8、rrdrdt 2212321200005 125 135 1405 1505 16于是我們得到了行星運動的形式較為簡單的數(shù)學模型：于是我們得到了行星運動的形式較為簡單的數(shù)學模型：四數(shù)學模型四數(shù)學模型 r d C1tp樂經(jīng)良I I 行星的軌跡行星的軌跡請嘗試推導出行星的軌道方程？請嘗試推導出行星的軌道方程？p1 ecosr 2( p,e 是常數(shù)是常數(shù),根據(jù)相關(guān)已知數(shù)據(jù)導出根據(jù)相關(guān)已知數(shù)據(jù)導出)改寫前面積分表達式成為改寫前面積分表達式成為210d T1C121(1 - ecos )給出時間給出時間T1，要求位置即求出，要求位置即求出1與與r，較難！，較難！五解析方法五解析方法五解析方法五解析方法I

9、I II 行星的周期行星的周期五解析方法五解析方法III III 行星的位置行星的位置五解析方法五解析方法hnrvhnthtrjsdv0.05 331.65001.49401.99592.98190.01 1681.68001.49331.99792.98340.005 3371.685001.49321.99822.98360.001 16861.686001.49311.99832.9837六六數(shù)值方法數(shù)值方法hn六六數(shù)值方法數(shù)值方法hnabeeabdeabdabbeadyxxytCsinsin1cossinsincoscos1六六數(shù)值方法數(shù)值方法hn六六數(shù)值方法數(shù)值方法hn1.70261

10、.7026sin0167. 01.7192sin1.70261.7192sin0.01671.7192sin1.7192sin231201eee六六數(shù)值方法數(shù)值方法五五數(shù)值方法數(shù)值方法hn六六數(shù)值方法數(shù)值方法樂經(jīng)良艾薩克 煉金術(shù)士煉金術(shù)士 造幣廠總監(jiān)造幣廠總監(jiān)較之科學他更多致力于較之科學他更多致力于圣經(jīng)圣經(jīng)的研究的研究牛頓 Sir Isaac Newton(英格蘭英格蘭 1643164317271727年年)科學史上最有影響力的人科學史上最有影響力的人物理學家物理學家 數(shù)學家數(shù)學家 天文學家天文學家哲學家哲學家 專心于科學研究到癡情專心于科學研究到癡情樂經(jīng)良 性格內(nèi)向性格內(nèi)向 獨身一生獨身一生

11、 牛頓的一句名言牛頓的一句名言What Descartes did was a good step you haveadded much several ways & especially in takingthe colours of the thin plates into philosophcalconsiderationIf I have seen further it is by standing on yeshoulders of Giants.hh樂經(jīng)良III微分方程的微分方程的 Runge-kutte 方法方法以一元為例以一元為例dxdt f (t , x), x t

12、0 x0設步長為設步長為h,則則 tk kh , 記記 xk x(tk ) xk 1 x(tk h) （Taylor 展開）33!22!x(tk ) x(tk ) x(tk ) hx(tk ) 其中 x(tk ) f (tk , xk )x(tk ) ft (tk , xk ) f x (tk , xk ) x(tk ) f t (t k , xk ) f x (t k , xk ) f (t k , xk )可以求出各階導數(shù) xk h( K1 樂經(jīng)良計算高階導數(shù)計算高階導數(shù) 代之以代之以 f f 在一些點的值的組合在一些點的值的組合當當Taylor Taylor 展開到四階項，可取展開到四階

13、項，可取16262616K 4 )K 2 K 3 xk 1其中其中K1 f (tk , xk )K 2 f (tk h / 2, xk hK1 / 2)K3 f (tk h / 2, xk hK 2 / 2)K 4 f (tk h, xk hK 3 )Runge-KutteRunge-Kutte迭代格式迭代格式在在MatlabMatlab可可以直接調(diào)用以直接調(diào)用樂經(jīng)良使用Matlab先定義一階微分方程組函數(shù)組先定義一階微分方程組函數(shù)組function dy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1

14、2/y(2)3-MG/y(2)2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)2;000000212321tttqrrrCdtdqdtdrrMGrCdtdq樂經(jīng)良再調(diào)用再調(diào)用Runge kutte方法專用程序：方法專用程序：function T=m5_2(h)t,y=ode45(m5_2_fun,0:h:400*24*3600,0,1.521e11,0);n=max(find(y(:,3)2*pi); %查找小于查找小于2pi所對應的最大所對應的最大n值值T=t(n);r=y(round(n/2),2) ;polar(y(:,3),y(:,2)樂經(jīng)良軌道圖形將計算所得的數(shù)據(jù)，將計算所得的數(shù)

15、據(jù)， 利用利用 MatlabMatlab 作圖可得作圖可得樂經(jīng)良實驗任務任務任務2.2.水星距太陽最遠處距離為水星距太陽最遠處距離為0.69820.69821011m,1011m,此時水星繞太陽運行的線速度為此時水星繞太陽運行的線速度為3.8863.886104 m/s104 m/s, ,畫出水星繞太陽運行的軌道曲線畫出水星繞太陽運行的軌道曲線, ,試求試求: :1) 1) 水星繞太陽運行的周期水星繞太陽運行的周期2) 2) 水星到太陽的最近距離水星到太陽的最近距離3) 3) 求從遠日點開始的第求從遠日點開始的第5050天天( (地球天地球天) )結(jié)束時水星的位置結(jié)束時水星的位置樂經(jīng)良任務任務4. 4. 冥王星在冥王星在19891989年年1010月處于近日點距月處于近日點距太陽太陽44.4 44.4 1011m,1011m,此時其線速度為此時其線速度為0.61220.6122104 m/s104 m/s, , 試求試求: :1) 1) 它在什么時間到達遠日點，此時它的它在什么時間到達遠日點，此時它的線速度為多少線速度