材料力學趙振偉彎曲內(nèi)力

1、5-5 5-5 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖第五章第五章 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例5-2 5-2 靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式）5-3 5-3 剪力方程與彎矩方程剪力方程與彎矩方程5-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用一、彎曲實例一、彎曲實例工廠廠房的天車大梁：工廠廠房的天車大梁：5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例ff火車的輪軸：火車的輪軸：ffff樓房的橫梁：樓房的橫梁：陽臺的挑梁：陽臺的挑梁：二、彎曲的概念：二、彎曲的概念：受

2、力特點受力特點作用于桿件上的作用于桿件上的外力外力都都垂直垂直于桿的于桿的軸線軸線。變形特點變形特點桿軸線由桿軸線由直線直線變?yōu)橐粭l變?yōu)橐粭l曲線曲線。 主要產(chǎn)生彎曲變形的桿主要產(chǎn)生彎曲變形的桿- - 梁梁。qpmarbn對稱彎曲受力特點受力特點所受外力對稱于梁的縱對稱面。所受外力對稱于梁的縱對稱面。變形特點變形特點桿的軸線在梁的縱向對稱面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平桿的軸線在梁的縱向對稱面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平 面曲線。面曲線。縱向對稱面縱向對稱面mf1f2q三、對稱彎曲的概念：三、對稱彎曲的概念：5-2 5-2 靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式）m 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分

3、布力1 1、懸臂梁：、懸臂梁：2 2、簡支梁：、簡支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力fq 均布力均布力llll（l稱為梁的跨長）稱為梁的跨長）一、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：一、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：例例已知：如圖，已知：如圖，f，a，l。 求：距求：距a端端 x 處截面上內(nèi)力。處截面上內(nèi)力。fayfaxfbyfabfalab解：解：求外力（支座反力）求外力（支座反力）0 , 0axfxfax =0 以后可省略不求以后可省略不求0 , 0falfmbya0f , 0byayffylalflfafayby)(f ,5-3 5-3 剪力方程與彎矩方程剪力方程與彎矩方程abffayfa

4、xfbymmx求內(nèi)力求內(nèi)力fsmfayaclalfffay)( s , 0y. 0sayffxlalfxfmay)( , 0cm. 0 xfmay研究對象：研究對象：m - m 截面的左段：截面的左段：1. 剪力：剪力： fs 構件受彎時，橫截面上存在構件受彎時，橫截面上存在平行于截面的內(nèi)力（剪力）。平行于截面的內(nèi)力（剪力）。2. 彎矩：彎矩：m 構件受彎時，橫截面上構件受彎時，橫截面上存在的內(nèi)力偶矩（彎矩）。存在的內(nèi)力偶矩（彎矩）。abffayfaxfbymmxmfsfbyfc , 0cm. 0)()(mxafxlfby,)(lalffsxlalfm)( 若研究對象取若研究對象取m - m

5、截面的右段：截面的右段：二、彎曲內(nèi)力的正負號規(guī)定二、彎曲內(nèi)力的正負號規(guī)定: : 剪力剪力fs : : 彎矩彎矩m：fs(+)fs(+)fs()fs()m(+)m(+)m()m()1.2kn/m0.8knab1.5m 1.5m3m2m1.5m1122 例例 ：梁梁1-11-1、2-22-2截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。解解：（：（1）確定支座反力）確定支座反力rarb032 . 18 . 0, 0barry)(9 . 2),(5 . 1knrknrba0f8 . 0r1sa(2) 1-1(2) 1-1截面左段右側截面截面左段右側截面：065 . 48 . 05 . 132 . 1, 0abrm0m

6、5 . 08 . 02r1a)kn(7 . 0f1s)mkn(6 . 2m12-22-2截面右段左側截面：截面右段左側截面：0r5 . 12 . 1fb2s)kn( 1 . 1f2s075. 05 . 12 . 15 . 1rmb2)mkn(0 . 3m2ra1sf1m8 . 02sf2mbrq三、剪力方程、彎矩方程三、剪力方程、彎矩方程： 注意注意： 不能用一個函數(shù)表不能用一個函數(shù)表達的要分段，分段點為：達的要分段，分段點為：集中力集中力作用點、集中力偶作用點、分布作用點、集中力偶作用點、分布力的起點、終點。力的起點、終點。)(ssxff 剪力方程剪力方程)(xmm 彎矩方程彎矩方程反映梁的

7、橫截面上的剪力和彎反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式矩隨截面位置變化的函數(shù)式 顯示剪力和彎矩隨截面位移的顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力剪力圖圖和和彎矩圖彎矩圖。lqab,)(qxxfs,21)(2qxxm)0(lx )0(lx xsfx( (- -) )mxql25 . 0 qlf(x)xfffxfays)(解解：求支反力求支反力)( )(lxfmxfxmaay寫出內(nèi)力方程寫出內(nèi)力方程fl mffaay ; 根據(jù)方程畫內(nèi)力圖根據(jù)方程畫內(nèi)力圖 例例 列出梁內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。列出梁內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。fab)0(lx )0(lx

8、 faymalxxm(x)fl注意：彎矩圖中正的彎矩值注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在繪在x x軸的下方軸的下方( (即彎矩值繪即彎矩值繪在彎曲時梁的受拉側在彎曲時梁的受拉側) )。例例 圖示簡支梁受集度為圖示簡支梁受集度為q的分布荷載作用。試作梁的剪力圖的分布荷載作用。試作梁的剪力圖 和彎矩圖。和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlffba2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 qxqlqxfxfa2s 2222qxqlxxqxxfxmaxfbfafam(x)fs(x)xaqblaqql 2fs ql28l/2m 3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖2max,sql

9、f82maxqlm 222qxqlxxm qxqlxf2sblaq* 載荷對稱、結構對稱則剪力圖反對稱，彎矩圖對稱* 剪力為零的截面彎矩有極值。例例 圖示簡支梁受集中荷載圖示簡支梁受集中荷載f作用。試作梁的剪力圖作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖和彎矩圖。解：解：1、求支反力求支反力lfbfalfafb2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出bfbfaxlaf abcac段段cb段段 lxalfafxfbs axlfbxf0s lxaxllfaxlfxmb)( axxlfbxm0faxam(x)fs(x)fbbfs(x)m(x)bfbfaxlaf abc3 3、作

10、剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖xllfaxm)(2 lfbxfs1 xlfbxm1 lfaxfs2fs fblxfalmxfablbfbfaxlaf abcfs fblxfblmxfabl為極大值。為極大值。時，時，42/maxflmlba* 在 集中力f 作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力的大??；彎矩圖有轉折xlaf abc例例 圖示簡支梁在圖示簡支梁在c點受矩為點受矩為me 的集中力偶作用。試的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。作梁的剪力圖和彎矩圖。解解: : 1、求支反力、求支反力 lmfae lmfbe 0am0elfmame fa fbblacab2、 列剪力方程和彎矩方程列

11、剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：剪力方程無需分段： lxlmfxfa0es彎矩方程彎矩方程兩段：兩段：ac段：段：cb段：段： xlmxfxmae xllmmxfxmaeelxaax 0fa fbxafam(x)fs(x)xfbbfs(x)m(x)blacab3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖ba時時lbmmemax lmxfes發(fā)生在發(fā)生在c截面右側截面右側fslxme lmxmealmeb* 集中力偶作用點處剪力圖無影響，彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。blacab xlmxme xllmxmelxaax 0解解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程),(2)(:1knfxfa

12、cays1kn/m2knabc d1m1m2mx1x3x2fayfby)( 2);( 20432121, 00212, 0knfknffmffybyayaybbyay 例例 畫出梁的內(nèi)力圖。),.(2)(111mknxxfxmay, 0222)(:2aysfxfcd,x2x1f)x(f:bd33by3s),.(2) 1(2)(222mknxxfxmay,2221)(2333333xxxxxfxmby3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖1kn/m2knabc dfayfbyxfs(x)x2kn2kn)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333

13、333222211111xxxxmxxxfbcxxmxxfcdxxxmxxfacsss，2kn.m2kn.mm(x)例 簡支梁如左圖，已知a、q、m=qa2；求梁的內(nèi)力。f fayayf fbyby1 12 2 3 3aqf65ayaqf61by2）1-1截面內(nèi)力：截面內(nèi)力：(0 x(0 x1 1 a) a)3）2-2截面內(nèi)力：截面內(nèi)力： (ax(ax2 22a)2a)解：解：1）求得求得a、b處反力處反力fay,fby；1651ay1xaqxfmaqff65ayq122ayq2xqaq611a)(xqff222222ay2a)(xq21-xaq65a)(xq21-xfm4）3-3截面內(nèi)力：截

14、面內(nèi)力：(0 x(0 x3 3 a a，此處，此處x x3 3的的起點為起點為b b點，方向如圖點，方向如圖) )aq61ffbyq3323by3xaq61aqxfmm1.1.當：當：0 x0 x1 1a a 時時,ac,ac段段 f fq1q1=5qa/6=5qa/62.2.當：當：axax2 22a 2a 時時, ,即即cdcd段段f fq2q2=11q=11qa/6-qa/6-qx x2 2 ，直線，直線x x2 2 =a=a；f fq2q2 = 5q = 5qa/6 a/6 （= f= fq1q1 ）x x2 2 =2a=2a；f fq2q2 = -q = -qa/6 a/6 （= f

15、= fq3q3 ）3.3.當：當： 0 x0 x3 3a (a (起點在起點在b b點）點）f fq3q3=-q=-qa/6a/62651c11a1aqmax點：c0；m0 x點：a2672d22652c2q.a m, a2 xd q.a m, a xc點：點：v當：當：0 x0 x1 1a a 時，時，m m1 1=5q=5q a a x x1 1/6/6為直線為直線v當：當：axax2 22a 2a 時，為二次曲線；時，為二次曲線；m m2 2=5q=5q a a x x2 2-q-q(x(x2 2-a)-a)2 2/2/2v當：當： 0 x0 x3 3aa時（原點在時（原點在b b點，點

16、，方向向左），方向向左），m m3 3為直線為直線m m3 3=q=q a a2 2+q+qa a x x3 3/6;/6; 解：解：1）求約束反力：）求約束反力： ma(f )=12fe+m0-8f-24q=0 fay=49kn；fe=32knbam0q4m4m2m2mxcdefayfax=0 fx=fax=0 fy=fay+fe-f-4q=0 x1fay0mm1 1fq1qbam0q4m4m2m2mxcdefayx2fay0bqmm2 2fq2x3fay0bqcm0mm3 3fq3x4fay0bqcm0fdmm4 4fq4bam0q4m4m2m2mxcdefayqfx4fay0b cm0d

17、mm4 4fq4x4mm4 4fq40 x4bam0q4m4m2m2mxcdefaybam0q4m4m2m2mxcdefayx-+491332+m/knmbacdex1241281505-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關系剪力、彎矩與分布荷載間的關系1 1、支反力：、支反力：2qlffbyaylqfayfby2 2、內(nèi)力方程、內(nèi)力方程qxqlxfs21)()0(lx 22121)(qxqlxxm)0(lx 3 3、討論如下、討論如下qxqldxxdm21)(qdxxdfs)(x),(xfs)(xqsfmara對

18、對dx 段進行平衡分析，有：段進行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xfxfxxqxfysss)(dd)(sxfxxqdxxq(x)q(x)m(x)+d m(x)fs(x)+dfs (x)fs(x)m(x)dxay xqxxfdds 剪力圖上某點處的切線斜剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。率等于該點處荷載集度的大小。 q(x)m(x)+d m(x)fs(x)m(x)dxay, 0)(iafm)(d)(dxfxxms 彎矩圖上某點處的切彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的線斜率等于該點處剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxm0)(d(21)()d(-)(d)(2x

19、xqxmxxfxmxmsfs(x)+dfs (x) xqxxfdds)(d)(dxfxxms)(d)(d22xqxxmq、fs和和m三者三者的微分關系的微分關系二、微分關系的應用二、微分關系的應用-作作fs 圖和圖和 m 圖（用于定形）圖（用于定形）2 2、分布力、分布力q(x) = = 常數(shù)時常數(shù)時1 1、分布力、分布力q(x)=0)=0時時 （無分布載荷）（無分布載荷）fs 圖：圖：m圖：圖： cxfxqxxfs)(0ddsdcxxmcxfxxms)()(d)(d cqxxfqxqxxfs)(ddsdcxqxxmcqxxfxxms221)()(d)(d xqxxfdds)(d)(dxfxx

20、ms)(d)(d22xqxxm 剪力圖為一條剪力圖為一條水平線水平線； 彎矩圖為一條彎矩圖為一條斜直線斜直線。剪力圖為一條剪力圖為一條斜直線斜直線； 彎矩圖為一條彎矩圖為一條二次曲線二次曲線。（1 1）當分布力的方向向上時）當分布力的方向向上時, 0q剪力圖為剪力圖為斜向上斜向上的斜直線；的斜直線； 彎矩圖為彎矩圖為上凸上凸的二次曲線。的二次曲線。 cqxxfqxqxxfs)(ddsdcxqxxmcqxxfxxms221)()(d)(d（2 2）當分布力的方向向下時）當分布力的方向向下時fs圖：圖：m圖：圖：m(x), 0q剪力圖為剪力圖為斜向下斜向下的斜直線；的斜直線； 彎矩圖為彎矩圖為下凸

21、下凸的二次曲線。的二次曲線。fs圖：圖：m圖：圖：m(x)控制點控制點: :端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等。三、簡易法作內(nèi)力圖：三、簡易法作內(nèi)力圖： 利用微分關系定形，利用特殊點的內(nèi)力值來定值利用微分關系定形，利用特殊點的內(nèi)力值來定值 利用積分關系定值利用積分關系定值 基本步驟： 1、確定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分規(guī)律判斷梁各段內(nèi)力圖的形狀； 4、確定控制點內(nèi)力的數(shù)值大小及正負； 5、畫內(nèi)力圖。利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關系利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關系定值定值 212121)()()()()(dd1s

22、2ssssxxxxqqdxxqffdxxqxdfdxxqxdfxqxxf 212121)()()()()(dd12xxsxxsmmssdxxfmmdxxfxdmdxxfxdmxfxxm 梁上任意兩截面的剪力梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖所包差等于兩截面間載荷圖所包圍的面積圍的面積 梁上任意兩截面的彎矩梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所包差等于兩截面間剪力圖所包圍的面積圍的面積積分關系積分關系: : 例例 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。左端點：剪力圖有突變，突變值左端點：剪力圖有突變，突變值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端點：

23、彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。右端點：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、確定支反力（可省略）、確定支反力（可省略）ab：bc：2、畫內(nèi)力圖、畫內(nèi)力圖fym223; 0qamfyabcsfxsfsf, ,0qaqafcs,qafas右右；, 0qq 0,；m,2qamb, 0am;5 . 12qamc,qafbsmqa2(fs 0, 所以所以fs圖向正方向斜圖向正方向斜)( 積分關系積分關系fsb=fsa+0)mc= mb+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2mb= ma+(-qa a)=0-qa2 )m;5 . 12qa例例畫組合梁的剪力與彎

24、矩圖畫組合梁的剪力與彎矩圖組合梁組合梁, ,需拆開需拆開, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2fffcyay 23ffdy 23famd 1. 受力分析受力分析特點特點：鉸鏈傳力不傳力偶矩，：鉸鏈傳力不傳力偶矩，與鉸相連與鉸相連的兩橫截面上的兩橫截面上, m = 0 , fs 不一定為零不一定為零2. 畫畫 fs 圖圖水平直線水平直線3. 畫畫 m 圖圖直線直線23maxsff 23maxfam mfa/2-fa/23fa/2例 已知外伸梁，m=3knm，q=3kn/m，a=2m。解：解：1. 求求a、b處支反力處支反力02/aqa3ma3f0)f(mayb，0qa3ff, 0faybyyf f

25、ayay=3.5kn=3.5kn；f fbyby=14.5kn=14.5kn剪力：剪力：如圖，將梁分為三段ac：q=0,fqc= faycb：q0,fqb=-8.5knbd：q0,直線,mc=7knmcb：q0,拋物線，fq=0,m=6.04knmbd：q0,開口向下，mb=-6knm彎矩：彎矩： 從圖上可以很清楚地 看出三者之間的微分 關系剪力，分三段剪力，分三段ac，fqa=280kn, fqc=260kncd，fqc=10kn, fqd=10kn,bd，fqd=-260kn, fqb=-280kn彎矩彎矩mqa=mqb=0knm, mqc= mqd =540knm極值點，（中心）：m=5

26、45knm練習題：練習題：四、平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖四、平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖 平面剛架：平面剛架：軸線由同一平面折線組成的剛架。軸線由同一平面折線組成的剛架。 特點：特點：剛架各桿橫截面上的內(nèi)力有：剛架各桿橫截面上的內(nèi)力有：fs、m、fn。1、剛架剛架用剛性接頭連接的桿系結構用剛性接頭連接的桿系結構剛性接頭的特點剛性接頭的特點： 約束約束限制相連桿端截面間的相對線位移與角位移限制相連桿端截面間的相對線位移與角位移 受力受力既可傳力，也可傳遞力偶矩。既可傳力，也可傳遞力偶矩。內(nèi)力正負號規(guī)定：內(nèi)力正負號規(guī)定：人站在剛架內(nèi)部環(huán)顧剛架各桿，剪力、人站在剛架內(nèi)部環(huán)顧剛架各桿，剪力、彎矩的正負號與梁的規(guī)

27、定相同；軸力以拉為正。彎矩的正負號與梁的規(guī)定相同；軸力以拉為正。2、平面剛架內(nèi)力圖規(guī)定、平面剛架內(nèi)力圖規(guī)定： 彎矩圖彎矩圖：畫在各桿的受：畫在各桿的受拉拉一側，不注明正、負號。一側，不注明正、負號。 剪力圖及軸力圖剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側，但須注明：可畫在剛架軸線的任一側，但須注明 正、負號。正、負號。3、平面曲桿：、平面曲桿：軸線為一條平面曲線的桿件軸線為一條平面曲線的桿件。 4、平面曲桿內(nèi)力圖規(guī)定：、平面曲桿內(nèi)力圖規(guī)定： 彎矩圖彎矩圖：使軸線曲率增加的彎矩規(guī)定為正值；反之為負值。使軸線曲率增加的彎矩規(guī)定為正值；反之為負值。 要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受拉拉的一側。的一側。 剪力圖及軸力圖剪力圖及軸力圖：與平面剛架相同。：與平面剛架相同。內(nèi)力分析內(nèi)力分析1. 外力分析外力分析 0 , 0 , 0 yaxfmf /2 ,qaffqafaycyax 2. 建立內(nèi)力方程建立內(nèi)力方程bc 段：段： ,2s1qaf ab 段：段： ,2s2qxf 2n2qaf 112xqam 22222xqaqam 3. 畫內(nèi)力圖畫內(nèi)力圖2s2s1 ,2qxfqaf 2 , 0n2n1qaff