選修4-1幾何證明選講ppt課件

1、選修選修4-1幾何證明選講幾何證明選講第一講第一講 類似三角形的斷定和有關(guān)性質(zhì)類似三角形的斷定和有關(guān)性質(zhì)假設(shè)直線假設(shè)直線l1l2l3 l1l2l3 ，ACA1C1 ACA1C1 ，AB=BC. AB=BC. 那么那么A1B1 A1B1 與與 B1C1 B1C1 能否相等呢？能否相等呢？ABCA1B1C1l2l1l3ABCA1B1C1l1l3l2 假設(shè)一組平行線在一條直線上截假設(shè)一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等得的線段也相等. .ABCA1B1C1l2l1l3圖圖1圖圖2ABCA1B1C1l1l3l2？AEBCF推論推論1 1

2、 經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。邊平行的直線，必平分第三邊。符號(hào)言語(yǔ)：符號(hào)言語(yǔ)：ABCABC中，中，EFBCEFBC，AE=EBAE=EB AF=FC AF=FC推論推論2 2 經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。邊平行的直線平分另一腰。？ABCDEF符號(hào)言語(yǔ)：符號(hào)言語(yǔ)：在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADEFBCADEFBC，AE=EBAE=EBDF=FCDF=FCADBCE例例1:D、E 分別是分別是ABC中中AB邊和邊和AC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn).求證求證:DE/BC且且BCDE21FE作作DE/BC

3、E與與E重重合合作作DF/ACBF=FC=DE?則，32,若321EFDEBCAB/l/llEFDEBCAB：即ABCDEFl1l2l3得到其它比例式？由怎樣EFDEBCABDEEFABBCDFDEACABDEDFABACEFDFBCACDFEFACBCDFACEFBCDEABEFDEBCABEFBCDEABDFACEFBC平行線等分線段成比例定理平行線等分線段成比例定理三條平行線截兩條直線三條平行線截兩條直線,所得的所得的對(duì)應(yīng)線段成比例對(duì)應(yīng)線段成比例.l2l3l1l3 推論：推論： 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或或兩邊的延伸線兩邊的延伸線)所得的對(duì)應(yīng)線段

4、成比例所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1平行線分線段成比例定理與平行線平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理有何聯(lián)絡(luò)？等分線段定理有何聯(lián)絡(luò)？ABCDEFABCDEF1 1當(dāng)當(dāng)BCAB1 1當(dāng)當(dāng)BCAB例例2：如圖：如圖,ABC中中,DE/BC,DF/AC, AE=4,EC=2, BC=8.求求BF和和CF的長(zhǎng)的長(zhǎng).FACB分析分析:運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論分別列出比例式求解分別列出比例式求解.解DE/BC3264ACAEABADDF/ACCBCFABAD316,832CFCF即38316-8BFDE例例3：如圖：如圖,ABC中中,DE

5、/BC,EF/CD. 求證求證:AD是是AB和和AF的比例中項(xiàng)的比例中項(xiàng).FEBACD分析分析: 分別在分別在ABC及及ADC中利中利用平行線分線段成比例定理的推論用平行線分線段成比例定理的推論證明AEACADABDE/BCABC,中在AEACAFADEF/CDADC,中在AFADADABAD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中項(xiàng)FEBACD知:如圖,DE/BC,DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、EBCDEACAEABAD求證：DE/BCACAEABADEF/ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD 如圖如圖,直線直線l1,l2被三個(gè)平行平面被三個(gè)平行平面,所截所截,直線直線l1與

6、它們的交點(diǎn)分與它們的交點(diǎn)分別為別為A,B,C,直線直線l2分別為分別為D,E,F?相等嗎與EFDEBCAB探求：探求：1.類似三角形的定義類似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做類似三角形角形叫做類似三角形.類似三角形對(duì)應(yīng)類似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做類似比邊的比值叫做類似比(或類似的系數(shù)或類似的系數(shù)).BACACB斷定兩個(gè)三角形類似的簡(jiǎn)一方法斷定兩個(gè)三角形類似的簡(jiǎn)一方法(1)(1)兩角對(duì)應(yīng)相等兩角對(duì)應(yīng)相等, ,兩三角形類似兩三角形類似; ;(2)(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等, ,兩三角形類似兩三角形類似; ;(3)(3)三

7、邊對(duì)應(yīng)成比例三邊對(duì)應(yīng)成比例, ,兩三角形類似兩三角形類似. .BACACB如何證明？EBACDA=AADEABCDE/BCBCDEACAEABADADE=BAED=C在在ABC中，中，D、E分別是分別是AB、AC邊邊上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且DEBC，那么在，那么在ABC中中有：有：EAD=CABADE=ABCAED=ACBEF/DBCAEACBFBBADACAEAED/BCFBDE為ED=FBABADCAEACBEDAECBDF作作EF/DB交交CB延伸線于延伸線于FADEABC預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或或兩邊的延伸線兩邊的延伸線)相交相交,所構(gòu)成

8、的三角形與所構(gòu)成的三角形與原三角形類似原三角形類似.AECBDEBACD斷定定理1 對(duì)于恣意兩個(gè)三角形,假設(shè)一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形類似.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)述: :兩角對(duì)應(yīng)相等兩角對(duì)應(yīng)相等, ,兩三角形類似兩三角形類似CBA知知,如圖如圖,在在ABC和和ABC中中,A=A,B=B, 求證求證:ABCABCABCDE證明: 在在ABC的邊的邊AB(或或AB的延伸線的延伸線)上上,截截取取AD=AB,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作作DE/BC,交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E.由由預(yù)備定理得預(yù)備定理得:ADEABCADE=B,B=BADE=BA=A, AD=ABADE ABCABCABCABCCBA

9、DE斷定定理斷定定理2 對(duì)于恣意兩個(gè)三角形對(duì)于恣意兩個(gè)三角形, ,假設(shè)一個(gè)三假設(shè)一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例應(yīng)成比例, ,并且?jiàn)A角相等并且?jiàn)A角相等, ,那么這兩個(gè)那么這兩個(gè)三角形類似三角形類似. .簡(jiǎn)述簡(jiǎn)述:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形類似兩三角形類似ABCCBADE知:如圖,在ABC和ABC中,A=A,ACCAABBA求證: ABCABCADE ABCACCAABBAACAEABADDE/BCABCADECBADE知:如圖ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且ACAEABAD求證：DE/BCE證明: 作 DE/

10、BC,交AC于EACAEABADACAEABADACAEACAEAE=AE因此因此E與點(diǎn)與點(diǎn)E重合即重合即DE與與DE重合重合, 所以所以 DE/BC采用了“同一法的間接證明引理引理 假設(shè)一條直線截三角形的兩邊假設(shè)一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延或兩邊的延長(zhǎng)線長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行那么這條直線平行于三角形的第三邊于三角形的第三邊.當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論所指的概念獨(dú)一存在當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論所指的概念獨(dú)一存在時(shí)，假設(shè)直接證明有困難，就無(wú)妨改為去證它時(shí)，假設(shè)直接證明有困難，就無(wú)妨改為去證它的逆否命題，然后根據(jù)獨(dú)一性的原理斷言命題的逆否命題，然后根據(jù)獨(dú)一

11、性的原理斷言命題為真，這種解題方法叫做同一法為真，這種解題方法叫做同一法 用同一法解題普通有三個(gè)步驟：用同一法解題普通有三個(gè)步驟：先作出一個(gè)符合結(jié)論的圖形，然后推證出所先作出一個(gè)符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合知條件；作的圖形符合知條件；根據(jù)獨(dú)一性，證明所作出的圖形與知的圖形根據(jù)獨(dú)一性，證明所作出的圖形與知的圖形是全等的或重合的；是全等的或重合的； 從而闡明知圖形符合結(jié)論從而闡明知圖形符合結(jié)論 例例 如圖如圖,在在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)D,銜接銜接AD和和BD.點(diǎn)點(diǎn)E在在ABC外外,EBC=ABD,ECB=DAB.求證求證: DBEABC.BACDE分析分析:好容易得出好容易得出A

12、BC=DBE只需求再證明只需求再證明 即證即證ABBDBCBE只需證明只需證明ABDCBEABBCBDBE斷定定理斷定定理3對(duì)于恣意兩個(gè)三角形對(duì)于恣意兩個(gè)三角形, ,假設(shè)一個(gè)三角假設(shè)一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例對(duì)應(yīng)成比例, ,那么這兩個(gè)三角形類似那么這兩個(gè)三角形類似. .簡(jiǎn)述簡(jiǎn)述: :三邊對(duì)應(yīng)成比例三邊對(duì)應(yīng)成比例, ,兩三角形類似兩三角形類似ABCCBA知知:如圖如圖,在在ABC和和ABC中中CAACBCCBABBA求證求證: ABCABC證明證明: 在在ABC的邊的邊AB(或延伸線或延伸線)上截取上截取AD=AB,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作作DE/BC

13、,交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E.DECAEABCDEABADADEABC AD=ABABBAABADCAACBCCBABBACAACCAEABCCBBCDE,ACEACBDE,ADE ABCABCABC例例 如圖如圖,知知D、E、F分別是分別是ABC三邊、三邊、BC、CA、AB的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證：求證：DEFABCFDEBAC證明證明:線段線段EF、FD、DE都是都是ABC的中位線的中位線ABDECAFDBCEF21,21,2121ABDECAFDBCEFDEFABC直角三角形類似的斷定定理直角三角形類似的斷定定理假設(shè)一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊假設(shè)一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的

14、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例成比例, ,那么這兩個(gè)直角三角形類似那么這兩個(gè)直角三角形類似. .(1)(1)假設(shè)兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)假設(shè)兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等相等, ,那么它們類似那么它們類似; ;(2)(2)假設(shè)兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)假設(shè)兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例應(yīng)成比例, ,那么它們類似那么它們類似. .(1)類似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中類似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線線 的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于類似比；類似比；(2)類似三角形周長(zhǎng)的比等于類似比；類似三角形周長(zhǎng)的比等于類似比；(3)類似三角形面

15、積的比等于類似比的類似三角形面積的比等于類似比的平方；平方；2.類似三角形的性質(zhì)類似三角形的性質(zhì) 知知:梯形梯形ABCD中中ADBC,AD=36cm, BC=60cm,延伸兩腰延伸兩腰BA,CD交于點(diǎn)交于點(diǎn) O,OFBC,交交AD于于E,EF=32cm,那么那么OF=_.ABCDEFOF80cm問(wèn)題問(wèn)題1、兩個(gè)類似三角形的外接圓的直徑比、兩個(gè)類似三角形的外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比、面積比與類似比有什么關(guān)系？周長(zhǎng)比、面積比與類似比有什么關(guān)系？OABCD問(wèn)題問(wèn)題2、兩個(gè)類似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、兩個(gè)類似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、周長(zhǎng)比、面積比與類似比有什么關(guān)系？周長(zhǎng)比、面積比與類似比有什么關(guān)系？/D/

16、O/B/C/A結(jié)論：結(jié)論：1類似三角形外接圓的直徑比、周類似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于類似比，外接圓的面積比等長(zhǎng)比等于類似比，外接圓的面積比等于類似比的平方于類似比的平方2類似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長(zhǎng)類似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長(zhǎng) 比等于類似比，內(nèi)切圓的面積比等于比等于類似比，內(nèi)切圓的面積比等于 類似比的平方類似比的平方1.射影射影點(diǎn)在直線上的正射影點(diǎn)在直線上的正射影 從一點(diǎn)向不斷線所引垂線從一點(diǎn)向不斷線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影。的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影。一條線段在直線上的正射影一條線段在直線上的正射影 線段的兩個(gè)端點(diǎn)在線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正

17、射影間的線段。這條直線上的正射影間的線段。AAANMNMABAB點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱射影點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱射影探求：探求：ABC是直角三角形，是直角三角形，CD為斜邊為斜邊AB上的高。上的高。他能從射影的角度來(lái)調(diào)查他能從射影的角度來(lái)調(diào)查AC與與AD，BC與與BD等的關(guān)等的關(guān)系。他能發(fā)現(xiàn)這些線段之間的某些關(guān)系嗎？系。他能發(fā)現(xiàn)這些線段之間的某些關(guān)系嗎？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD) 1 (2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC

18、有BCABDC射影定理射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩條直角直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。2CDAD BD 2BCBD AB 2ACAD AB ABDC用勾股定理能證明嗎用勾股定理能證明嗎?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD= ADBD而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可證得BC= BDABABDCO例例1 如圖

19、如圖,圓圓O上一點(diǎn)上一點(diǎn)C在直徑在直徑AB上的射影為上的射影為D. AD=2,DB=8,0:90 ,.ACBACBABC 解解是是半半圓圓上上的的圓圓周周角角，即即是是直直角角三三角角形形22 8164;CDAD BDCD 由由射射影影定定理理可可得得，解解得得22 10202 5;ACAD ABAC，解解得得28 10804 5.BCBD ABBC，解解得得求求CD,AC和和BC的長(zhǎng)的長(zhǎng).總結(jié)：總結(jié)： 知知“直角三角形斜邊上的高這一根本直角三角形斜邊上的高這一根本圖形中的六條線段中的恣意兩條線段，就可圖形中的六條線段中的恣意兩條線段，就可以求出其他四條線段，有時(shí)需求用到方程的以求出其他四條線

20、段，有時(shí)需求用到方程的思想。思想。ABDC習(xí)題習(xí)題1.41.ABDC直角直角ABC中知中知:CD=60 AD=25 求：求：BD,AB,AC,BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2019廣州一模廣州一模)如下圖，圓如下圖，圓O上上一點(diǎn)一點(diǎn)C在直徑在直徑AB上的射影為上的射影為D，CD=4，BD=8，那么圓，那么圓O的半徑等的半徑等于于_BACDO5例例2 ABC中，頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)C在在AB邊上的射影為邊上的射影為D，且，且CD=ADDB 求證：求證： ABC是直角三角形。是直角三角形。ABDC證明證明:在在CDA和和BDC中中,0.90 .CABDCDABCDABDC 點(diǎn)點(diǎn) 在在上上的的射射影影為為 ，000909090ACDCADACDBCDACDACBABC 在在中中是是直直角角三三角角形形. .2:CDAD DBAD CDCD DBCDABDCCADBCD 又又總結(jié)：總結(jié)： 1、知識(shí)：學(xué)習(xí)了直角、知識(shí)：學(xué)習(xí)了直角 三角形中重要的比三角形中重要的比例式和比例中項(xiàng)的表達(dá)式例式和比例中項(xiàng)的表達(dá)式射影定理。射影定理。 2、方法：利用