2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)真題及解析

1、2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)真題及解析（江南博哥）1 單選題 A.連續(xù)且取得極大值B.連續(xù)且取得極小值C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為零D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零正確答案：D參考解析：因為函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零2 單選題 設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2lnx，則df(1，1)=()A.dx+dyB.dx-dyC.dyD.-dy正確答案：C參考解析：將f(x+1，ex)=x(x+1)2兩邊對x求導(dǎo)得3 單選題 設(shè)函數(shù)處的3次泰勒多項式為ax+bx2+cx3，則()A.a=

2、1，b=0，c=-B.a=1，b=0，c=C.a=-1，b=-1，c=-D.a=-1，b=-1，c=正確答案：A參考解析：4 單選題 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0，1上連續(xù)，則()A.B.C.D.正確答案：B參考解析：由定積分定義得，這里將區(qū)間0，1分為n等份，即5 單選題 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為()A.2，0B.1，1C.2，1D.1，2正確答案：B參考解析：則A的特征值為-1，0，3，所以正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為1，16 單選題 2，3兩兩相交

3、，則l1，l2依次為()A.B.C.D.正確答案：A參考解析：由施密特正交化得7 單選題 設(shè)A，B為n階實矩陣，下列結(jié)論不成立的是()A.B.C.D.正確答案：C參考解析：因為=r(A，BA)+r(AAT)=r(A，BA)+r(A)，且r(A，BA)r(A)，所以8 單選題 設(shè)A，B為隨機事件，且0<P(B)<1，則下列命題中為假命題的是()A.若P(A|B)=P(A)，則P(A|)=P(A)B.若P(A|B)>P(A)，則P(|)>P()C.若P(A|B)>P(A|)，則P(A|B)>P(A)D.若P(A|AB)&g

4、t;P(|AB)，則P(A)>P(B)正確答案：D參考解析：P(A|B)=P(A)A，B相互獨立，所以P(A|)=P(A)，故A項正確；P(A|B)>P(A)中對任意滿足題設(shè)條件的隨機事件均成立，而，也滿足條件，所以P(|)>P()，故B項正確；9 單選題 設(shè)(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn)為來自總體的簡單隨機樣本，令=，則()A.B.C.D.正確答案：C參考解析：10 單選題 設(shè)X1，X2，X16是來自總體N(，4)的簡單隨機樣本，考慮假設(shè)檢驗問題：H0：10，H1：>10(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)若該檢驗問題的拒

5、絕域為，其中，則=11.5時，該檢驗犯第二類錯誤的概率為()A.1-(05)B.1-(1)C.1-(15)D.1-(2)正確答案：B參考解析：11 填空題參考解析：【解析】12 填空題參考解析：【解析】13 填空題歐拉方程x2y”+xy-4y=0滿足條件y(1)=1，y(1)=2的解為_參考解析：y=x2 【解析】作變換x=et，則y'(t)=y(x)et=xy'(x)，y”(f)=x(t)y(x)+xy”(x)x(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y(t)+x2y”(x)，則原方程可轉(zhuǎn)化為y”(t)-y(t)+y(t)-4y(

6、t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，其特征方程為24=0，特征根為1=2，2=-2，則該方程的通解為，又y(1)=1，y(1)=2，故C1=1，C2=0，所以y=x214 填空題設(shè)三為空間區(qū)域(x，y，z)|x2+4y24，0z2表面的外側(cè)，則曲面積分y2dzdx+zdxdy=_參考解析：4 【解析】由高斯公式得，其中為圍成的封閉區(qū)域由于圖形關(guān)于xOz平面對稱，所以同理，由于圖形關(guān)于yOz平面對稱，所以15 填空題設(shè)A=(aij)為三階矩陣，Aij為元素aij的代數(shù)余子式若A的每行元素之和均為2，且|A|=3，則A11+A21+A31=_參考解析：【解析】因為

7、A的每行元素之和均為2，所以，故A*的每行元素之和均為16 填空題甲、乙兩個盒子中各裝有2個紅球和2個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中，再從乙盒中任取一球令X，Y分別表示從甲盒和從乙盒中取到的紅球個數(shù)，則X與Y的相關(guān)系數(shù)為_參考解析：由題意可知，X與Y的聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布如下表所示所以E(XY)=03，E(X)=E(Y)=05，D(X)=D(Y)=025，17 簡答題參考解析：18 簡答題參考解析：19 簡答題已知曲線求C上的點到xOy坐標(biāo)平面距離的最大值參考解析：設(shè)c上的點(x，y，z)到xOy坐標(biāo)平面的距離為d，則d=|z|根據(jù)

8、題意，目標(biāo)函數(shù)為f(x,y，z)=z2，約束條件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-30=0構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，z，)=z2+(x2+2y2-z-6)+(4x+2y+z-30)，則20 簡答題設(shè)DR2是有界單連通閉區(qū)域，取得最大值的積分區(qū)域記為D1()求I(D1)的值；()其中D1是D1的正向邊界參考解析：()要使取得最大值，則D應(yīng)該包含所有使得被積函數(shù)f(x，y)=4-x2-y20并且D中不能包含使得f(x，y)=4-x2-y2<0的區(qū)域，故D1=(x，y)x2+y24，又Q(x，y)，P(x，y)在D1圍成的區(qū)域D1上有奇點，所以要補充曲線L：x2+4y2=2，>0足夠小，取順時針方向，且L圍成的區(qū)域為D”，則Q(x，y)，P(x，y)在D1與L圍成的區(qū)域D上滿足格林公式的條件，21 簡答題()求正交矩陣P，使PTAP為對角矩陣；()求正定矩陣C，使C2=(a+3)E-A，其中E為三階單位矩陣參考解析：(I)所以A的特征值為1=2=a-1，3=a+2當(dāng)1=2=a-1時，|A-(a-1)E|x=