2021高考一輪復(fù)習(xí)教案-函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性與周期性的含義.知識點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(x) = f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(x) - f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱易誤提醒1. 判斷函數(shù)的奇偶性，易無視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件2. 判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時，必須對定義域內(nèi)的每一個x,均有f( x) = - f(x),而不能 說存在 X0 使 f( xo)

2、 = f(xo)、f( X0)= f(xo).3分段函數(shù)奇偶性判定時，利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否認(rèn)函數(shù)在 整個定義域上的奇偶性是錯誤的.必記結(jié)論1 函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論：(1) 如果一個奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)= 0.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)= f(|x|).既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x) = 0, x D，其中定義域 D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集.(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相 反的單調(diào)性.2.有關(guān)對稱性的結(jié)論：(1) 假設(shè)函數(shù)y= f(x+ a)為偶

3、函數(shù)，那么函數(shù) y= f(x)關(guān)于x= a對稱.假設(shè)函數(shù)y= f(x+ a)為奇函數(shù)，那么函數(shù) y= f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.(2) 假設(shè)f(x)= f(2a - x),那么函數(shù)f(x)關(guān)于x= a對稱.假設(shè)f(x) + f(2a-x) = 2b,那么函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a, b)對稱.自測練習(xí)1. 函數(shù) f(x)= lg(x+ 1) + lg(x- 1)的奇偶性是()A .奇函數(shù)B .偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D .既奇又偶函數(shù)2. (2021石家莊一模)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x (0, +s )時,f(x)= Iog2x,那么f(- .'2) =( )1 1a . - 2B2

4、C. 2D . - 23. 假設(shè)函數(shù)f(x) = x2-|x+ a|為偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a=.知識點(diǎn)二函數(shù)的周期性1. 周期函數(shù)對于函數(shù)y= f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有fix+ T)= f(x)，那么就稱函數(shù)y= f(x)為周期函數(shù)，稱 T為這個函數(shù)的周期.2. 最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.必記結(jié)論定義式f(x+ T) = f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的.假設(shè)f(x+ a)= f(x+ b),那么函數(shù)f(x)的周期為T = |a- b|.1 1假設(shè)在定義域內(nèi)滿足f(x+

5、a) = - f(x), f(x+ a)=廠，f(x+ a)=-廠(a>0).那么f(x)為周期函T xT x數(shù)，且T = 2a為它的一個周期.對稱性與周期的關(guān)系：(1)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x= a和直線x= b對稱，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a- b|是它的一個周期.假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對稱，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a b|是它 的一個周期.(3) 假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x= b對稱，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a b|是它的一個周期.自測練習(xí)14. 函數(shù)f(x)對于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+ 2

6、)=，假設(shè)f(1) = 5,那么f(f(5) =,f x考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷|f(x) =1 x2 + .X2 1 ; (2)f(x) =3 2x +判斷以下函數(shù)的奇偶性.2x 3;(3)f(x)= 3x-3 x；(4)f(x)= | ；(5)f(x) =x2 +x, x>0, x2 x, x<0.函數(shù)奇偶性的判定的三種常用方法1. 定義法：2. 圖象法:3.性質(zhì)法：“六.丄六.曰六.奇十奇是奇，“奇_奇 日六.是奇,“奇奇是偶，“奇詢是偶;“偶十偶是偶，“偶_偶是偶，“偶偶是偶，“偶耳禺是偶;奇偶 是奇，“奇吋禺曰吞 是奇.考點(diǎn)二函數(shù)的周期性I設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且

7、對 任意實(shí)數(shù) x,恒有 f(x+ 2) =- f(x).當(dāng) x 0,2時，f(x)= 2x x2.(1) 求證：f(x)是周期函數(shù)；(2) 當(dāng)x 2,4時，求f(x)的解析式；(3) 計算 f(0) + f(1) + f(2) + f(2 017).判斷函數(shù)周期性的兩個方法(1)定義法.圖象法.1函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，假設(shè)對于x>0,都有f(x+ 2) = - -7-,且當(dāng)x 0,2) T X時，f(x)= Iog2(x+ 1)，那么求 f( 2 015)+ f(2 017)的值為.考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用I高考對于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會單純地考查某一個性質(zhì)，而是對奇

8、偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查.歸納起來常見的命題探究角度有：1. 奇偶性求參數(shù).2利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式.3. 周期性與奇偶性綜合.4. 單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合.探究一奇偶性求參數(shù)1. (2021高考全國卷I )假設(shè)函數(shù)f(x) = xln(x+pa + x2)為偶函數(shù)，貝U a=.探究二利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式12. (2021高考全國卷H )設(shè)函數(shù)f(x) = ln(1 + |x|) 12，那么使得f(x)>f(2x 1)成立的x的1 I x取值范圍是(A11A. 3，1)B. a, £ u (1 ,+8 )111,1C. - 3，3D.OO_，3u 3，

9、+O探究三周期性與奇偶性相結(jié)合3. (2021石家莊一模)f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，假設(shè) f(1)<1 , f(5)=2a 32a，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a+ 1A . ( 1,4) B . ( 2,0) C . ( 1,0) D . ( 1,2)探究四單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合4. 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x 4) = f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，那么()A . f( 25)<f(11)<f(80)B . f(80)<f(11)<f( 25)C. f(11)<f(80)<f( 25)D . f( 25)<

10、f(80)<f(11)函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的三種常見類型及解題策略I(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象I的對稱性.i(2)周期性與奇偶性結(jié)合此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換,I將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.|(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的:區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.2構(gòu)造法在函數(shù)奇偶性中的應(yīng)用【典例】M，最小值為m,那么M + m=x 丄 1 2 + sin x設(shè)函數(shù)f(x)=2的最大值為x十1思路點(diǎn)撥直接求解函數(shù)的最大值和最小值很復(fù)雜不可取，所以可

11、考慮對函數(shù)整理化簡，構(gòu)造奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零求解.方法點(diǎn)評在函數(shù)沒有指明奇偶性或所給函數(shù)根本不具備奇偶性的情況下，通過觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其局部通過變式可構(gòu)造出奇偶函數(shù)，這樣就可以根據(jù)奇偶函數(shù)特有的性質(zhì)解決問題.跟蹤練習(xí) f(x) = x5 + ax3 + bx 8，且 f(-2) = 10,那么 f(2)等于()A26B. 18C. 10D . 10A組考點(diǎn)能力演練1. (2021陜西一檢)假設(shè) f(x)是定義在R上的函數(shù)，那么“ f(0) = 0是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù) 的()A 必要不充分條件B 充要條件C.充分不必要條件D 既不充分也不必要條件1 x112. (2

12、021唐山一模)函數(shù)f(x) = x+ log2+ 1，那么f； + f 的值為()1 + x221A . 2B. 2C. 0D. 2log2§4x2 2, 2 W xW 03. 設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x 2,1)時，f(x) =x, 0<x<1那么 f 5 =()A.0B.1c.1D. 14.在R上的奇函數(shù)f(x)滿足 f(x+ 3) = f(x),當(dāng)i 0<XW 1 時，f(x)= 2x,那么 f(2 015)=()11A.2B.2C. 25.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+s )上是增函數(shù)，且f(1) = 0，那么不等式 xf(x) f( x)&

13、lt;0 的解集A . x| 1<x<0,或 x>1B . x|x< 1，或 0<x<1C. x|x< 1，或 x>1D . x| 1<x<0,或 0<x<16.f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，f(2) = 1，且對任意的x R，都有f(x+ 3) = f(x),那么 f(2 017) =.x37.函數(shù)f(x)= x+ 1 3x + a為奇函數(shù)，那么 a=&函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上具有以下性質(zhì)：直線 x= 1是函數(shù)f(x)的一條對稱軸；f(x+ 2) = f(x);當(dāng) 1 < X1VX2W 3 時，f(x2)

14、 f(x1)(x2 X1)<O,那么 f(2 015), f(2 016), f(2 017) 從大到小的順序?yàn)?.x2 + 2x, x>0 ,9.函數(shù)f(x) = 0, x= 0,是奇函數(shù).x2+ mx, x<0(1) 求實(shí)數(shù)m的值;假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間1, a 2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.10.函數(shù)y= f(x)(xz 0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x (0,+s )時是增函數(shù)，假設(shè)f(1) = 0，求不等式1f x x 2 <0的解集.B組高考題型專練)設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域都為 R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)1. (2021高考新課標(biāo)全國卷I 是偶函

15、數(shù)，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是A . f(x)g(x)是偶函數(shù)B . |f(x)|g(x)是奇函數(shù)D. |f(x)g(x)|是奇函數(shù)2. (2021高考安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)(x R)滿足 f(x+ n = f(x) + sin x.當(dāng) 0< x<n 時,f(x)= 0,bF1A.2C.3.(2021高考廣東卷)以下函數(shù)中,既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()y=1 + x21B .尸 x+C.y = 2x+ £D . y= x+ ex4.(2021高考天津卷)定義在R上的函數(shù)f(x)= 2x m| 1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53), b= f(log25

16、),c=f(2m)，那么a, b, c的大小關(guān)系為()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a5. (2021高考湖南卷)設(shè)函數(shù) f(x) = ln(1 + x) ln(1 x),貝U f(x)是()A .奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B .奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D .偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)答案:x+ 1>01解析：由知x>1，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).x- 1>0答案：C12解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(- .2)

17、= f( .2)= log2.2=，應(yīng)選B.答案：B3解析：/ f( x) = f(x)對于x R恒成立，. x+ a|= |x+ a|對于x R恒成立，兩邊平 方整理得ax= 0對于x R恒成立，故 a= 0.答案：01 14解：f(x+ 2) = &，二 f(x+ 4) = f x+ 2 = f(x),11 f(5) = f(1)= 5,. f(f(5) = f( 5) = f(3)=片=-.f 151答案：-5考點(diǎn)一x2 1?0,解：(1)由 2得 x= ±1,1 x2?0, f(x)的定義域?yàn)?1,1 又 f(1) + f( 1) = 0, f(1) f( 1) =

18、0,即 f(x) = ±( x) f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 3(2) 函數(shù)f(x)= ,3 2x+ , 2x 3的定義域?yàn)?，不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(3) / f(x)的定義域?yàn)?R, f( x)= 3x 3x= (3x 3 x) = f(x),所以f(x)為奇函數(shù).4 x2> 0,.由得一2 < x< 2 且 xm 0.X+ 3| 3M 0, f(x)的定義域?yàn)?,0)U (0,2, )4 x24 x24 x2|x+ 3| 3 x+ 3 3 x f( x)= f(x) , f(x)是奇函數(shù).易知函數(shù)的定義域?yàn)?一8, 0)

19、 U (0 , +8),關(guān)于原點(diǎn)對稱，又當(dāng) x>0時，f(x)= x2 +x,那么當(dāng)x<0時，一x>0,故 f( x) = x2 X= f(x)；當(dāng) x<0 時，f(x)= x2 x,那么當(dāng) x>0 時，一x<0 , 故f( x) = x2 + x= f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù).解 f(x+ 2) = f(x),f(x+ 4) = f(x+ 2)= f(x). f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2) 當(dāng) x 2,0時，一x 0,2，由得f( x) = 2( x) ( x)2= 2x x2.又 f(x)是奇函數(shù)， f( x)= f(x)= 2x x2 , f(x

20、) = x2+ 2x.又當(dāng) x 2,4時，x 4 2,0，f(x 4) = (x 4)2 + 2(x 4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(x) = f(x 4)= (x 4)2+ 2(x 4) = x2 6x+ 8.從而求得 x 2,4時，f(x)= x2 6x+ 8.(3) f(0) = 0, f(2) = 0, f(1) = 1，f(3) = 1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f(7)=f(2 008) + f(2 009) + f(2 010) + f(2011)= f(2 01

21、2) + f(2 013) + f(2 014) + f(2 015) = 0, f(0) + f(1)+ f(2) + + f(2 017) = f(0) + f(1) = 0+ 1= 1.1解析：當(dāng) x>0 時，f(x + 2)=,f x f(x+ 4) = f(x)，即 4 是 f(x)(x?0)的一個周期. f(2 017) = f(1) = log22 = 1,1 f( 2 015) = f(2 015) = f(3)=-亓=-1, f(- 2 015) + f(2 017) = 0.答案：01解析：由題意得 f(x) = xln(x+ a + x2) = f(- x) = -

22、 xln( . a + x2-x)，所以，a + x2+ x =1a + x2-x，解得a= 1.答案：112. 解析:函數(shù) f(x)= ln(1 + |x|)- 2, f(-x)= f(x),故 f(x)為偶函數(shù)，又當(dāng)x (0, +I十xg)時，f(x) = ln(1 十 x)-11- x2,f(x)是單調(diào)遞增的,故 f(x)>f(2x-1)? f(|x|)>f(|2x 1|), |x|>|2x1-1| ,解得3<x<1，應(yīng)選A.答案：A3. 解析：/ f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù), f(5) = f(5- 6) = f(- 1)= f(1), f(1

23、)<1 , f(5)=2a 3a- 1，2a3 a4-訐1<1,即不<0，解得1<a<4 ,應(yīng)選A.答案：A4. 解析：/ f(x)滿足 f(x- 4) =- f(x), f(x- 8) = f(x)，函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，那么 f( - 25)= f(- 1) , f(80) = f(0) , f(11) = f(3).由f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且滿足f(x 4) = - f(x)，得f(11) = f(3) = - f(- 1) = f(1). f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， f(x)在區(qū)間-2,2上是增函數(shù),

24、f(- 1)<f(0)<f(1),即 f(- 25)<f(80)<f(11).答案：D【典例】解析易知f(x) = 1-2：十十1 X2x sin x設(shè) g(x) = f(x)-1= r-那么g(x)是奇函數(shù). f(x)的最大值為 M ,最小值為 m, g(x)的最大值為 M 1,最小值為 m 1,二 M 1 + m 1= 0 , M + m = 2.答案2解析：由 f(x) = x5+ ax3 + bx 8 知 f(x) + 8 = x5 + ax3 + bx,令F(x)= f(x) + 8可知F(x)為奇函數(shù)， F( x) + F(x) = 0. F( 2) + F

25、(2) = 0, 故 f( 2) + 8 + f(2) + 8= 0. f(2) = 26.答案：A1解析：f(x)在 R上為奇函數(shù)？ f(0) = 0; f(0) = 0? / f(x)在R上為奇函數(shù)，如f(x) = x2, 應(yīng)選A.答案：A2解析：由題意知,1 xf(x) 1 = x+ log2+x,f( x) 1 = x+ lOg2S = xI 1 xlog2T+；=1 1 1 1(f(x) 1)，所以 f(x) 1 為奇函數(shù)，那么 1+ f 2 1 = 0,所以 f° + f 2 = 2.答案：A51113解析：因?yàn)閒(x)是周期為3的周期函數(shù)，所以fQ = f 2 + 3

26、= f 2 = 4 X 2 2 2 =1,應(yīng)選D.答案：D4解析：由 f(x+ 3)= f(x)得函數(shù)的周期為 3,所以 f(2 015) = f(672 X 3 1) = f( 1) = f(1)=2,應(yīng)選A.答案：A5解析：奇函數(shù)f(x)在(0,+)上是增函數(shù),又 f(1) = 0, f( 1)= 0,從而有函數(shù)f(x)的圖象如下列圖：那么有不等式xf(x) f( x)<0的解集為x| 1<x<0 或 0<x<1，選 D.答案：D6解析：由 f(x+ 3) = f(x)得函數(shù) f(x)的周期 T = 3，貝U f(2 017) = f(1) = f( 2)，又

27、 f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(2 017) = f(2) = 1.答案：17解析：由題意知，g(x)= (x+ 1)(x+ a)為偶函數(shù)， a= 1.答案：18解析：由f(x+ 2) = f(x)得f(x+ 4) = f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由知f(x) 在1,3上是減函數(shù).所以 f(2 015) = f(3) ,f(2 016) = f(0) = f(2) ,f(2 017) = f(1)，所以 f(1)> f(2)>f(3), 即 f(2 017)>f(2 016)>f(2 015).答案：f(2 017)> f(2 016)>

28、; f(2 015)9. 解：(1)設(shè) x<0，那么x>0,所以 f( x)= ( x)2+ 2( x)= x2 2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f( x) = f(x),于是 x<0 時，f(x) = x2 + 2x= x2 + mx，所以 m= 2.要使f(x)在1，a 2上單調(diào)遞增，a 2> 1，結(jié)合f(x)的圖象知a 2< 1，所以1<aw 3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.10. 解：/y= f(x)是奇函數(shù)， f( 1)= f(1) = 0.又/ y= f(x)在(0，+ g)上是增函數(shù)， y= f(x)在(，0)上是增函數(shù)，假設(shè) f x x1 2 <0 = f(1)，1x x 2 >0，x x 2 <1，即 0<xx 2 <1，解得 2<x<-x x 2 < 1，解得 x ?.原不等式的解集是1 1+ ,17 亠 1 . 17x <x<或<x<0.或上了衛(wèi)<X<0.11XX 2 <