xx大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》d11_2對坐標(biāo)曲線積分

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院第二節(jié)第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計算法對坐標(biāo)的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分 第十一章 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院一、一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn) B, 求移cosABFW “大

2、化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代變常代變”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功為,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykxO高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息

3、工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院3) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2. 定義定義. 設(shè) L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10l

4、im則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作記作),(yxF),(yxQ高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為對稱為對 x 的曲線積分的曲線積分;稱為對稱為對 y 的曲線積分的曲線積分.若記, 對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxr L

5、LyyxQxyxPrFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPrFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxr 類似地, 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院3. 性質(zhì)性質(zhì)(2) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLryxFd),(kiLidryxF1),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LryxFd),(LryxFd),(則(1) 設(shè)與為常數(shù)，則LdryxFyxF ),(),(21LLdryxFdryxF),(),(21則高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)

6、數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),存在, 且有高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院證明證明: 在L上取一系列點(diǎn)LxyxPd ),

7、(tttPd )(),()(t下面先證1kMkMABxyLOA=M0,M1,M2,Mn=B=t0,t1,t2,tn=他們對應(yīng)于一列單調(diào)變化的參數(shù)值：根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分定義有：LxyxPd),(niiiixP10),(lim高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn),it),(ii點(diǎn),i由于1iiixxx)()(1iittiiitx)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(t對應(yīng)參數(shù)連續(xù)所以)(t因?yàn)長 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),(tttQd )(

8、),()(t由微分中值定理高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院積分下限積分下限對應(yīng)于對應(yīng)于L的的起點(diǎn)起點(diǎn). 積分上限積分上限對應(yīng)于對應(yīng)于L的的終點(diǎn)終點(diǎn)， 不一定小于不一定小于說明說明: : 計算對坐標(biāo)的曲線積分，實(shí)際上是對坐標(biāo)的曲線積分，實(shí)際上是換元法換元法：LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對空間光滑曲線弧

9、對空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d211

10、4yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院yxO例例2. 計算其中 L 為,:, 0aaxyBAaa(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則被積

11、函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但沿不同路徑得出也相同，但沿不同路徑得出的積分值并不相等的積分值并不相等.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例3. 計算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yx

12、O被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，沿不同路徑曲線積也相同，沿不同路徑曲線積分的值可以相等分的值可以相等.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例4. 計算,3d223ydzxdyzyxxL其中L為從A(3,2,1)到點(diǎn)B(0,0,0)的直線段AB.解解: 直線段AB的方程是123zyx化為參數(shù)方程的ty2,所以原式012232)3()2(33)3(dtttttt87487tx3013dtt01,變到從ttz 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院原點(diǎn) O 的距離成正比,例5. 設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在),

13、(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax沿逆時針移動到, ),0(bBO),(yxMxy)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF2/022)cossinsincos(tdttbttakW)(2/cossin)(222/022baktdttbak思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 F),(xyk 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院BA

14、yxzO例例6. 設(shè)在力場作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿 移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的參數(shù)方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d試求力場對質(zhì)點(diǎn)所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 為 ),(zxyFsFWdsFWd高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例7. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02

15、:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑曲線弧 L 的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B.曲線弧L由參數(shù)方程給出：)()(, )(ttytx不妨設(shè)，由對坐標(biāo)的曲線積分計算公式：LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院1k

16、MkMABxyLO向量jtit)()(是曲線弧L在點(diǎn)M(t),(t)處的一個切向量，其方向與參數(shù)t的增長方向一致.當(dāng)時，這個指向就是曲線弧L的方向.我們稱這種指向與有向曲線弧的方向一致的切向量為有向曲線弧的切向量有向曲線弧的切向量.它的方向余弦為：)()()(cos)()()(cos2222tttttt高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院由對弧長的曲線積分的計算公式可得：LdsyxQyxPcos),(cos),()()()()(),(22tttttPttttQtttPd)()(),()()(),(2)()()()(),(222tttttQdttt)()(

17、22所以，平面曲線弧L上的兩類曲線積分之間有如下聯(lián)系：LLsyxQyxPyyxQxyxPdcos),(cos),(d),(d),(為有向曲線弧L在點(diǎn)(x,y)處的切向量的方向角.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos為有向曲線弧在點(diǎn)(x,y,z)處的切向量的方向角.令tAsAtd, ),(RQPA)d,d,(ddzyxr )cos,cos,(cost rA dstAd記 A 在 t 上的投影為 rA d有向曲線弧在點(diǎn)(x,y,z)處的單位切向量.有向曲線元高等數(shù)學(xué)高

18、等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院例例8. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2)()()(cos22ttt,22xx)()()(cos222tttx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成

19、 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院3. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)浙江師范大學(xué)數(shù)理與