函數(shù)對稱性的探求

1、函 數(shù) 對 稱 性 的 探 究 張寧函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。一、 函數(shù)自身的對稱性探究定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)對稱的充要條件是 f (x) + f (2ax) = 2b證明：（必要性）設(shè)點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，點P( x ,y)關(guān)于點A (a ,b)的對稱點P（2ax，2by）也在y = f (x)圖像上，

2、2by = f (2ax)即y + f (2ax)=2b故f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得證。（充分性）設(shè)點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故點P（2ax0，2by0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P關(guān)于點A (a ,b)對稱，充分性得征。推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (x) = 0定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條

3、件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) 推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (x)定理3. 若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個周期。 若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個周期。若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（ab），則y = f (x)

4、是周期函數(shù)，且4| ab|是其一個周期。的證明留給讀者，以下給出的證明：函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱，f (x) + f (2ax) =2c，用2bx代x得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（*）又函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱， f (2bx) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*），用2（ab）x代x得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| ab|是其一個周期。二、 不同函數(shù)對稱性的

5、探究定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2bf (2ax)的圖像關(guān)于點A (a ,b)成中心對稱。定理5. 函數(shù)y = f (x)與y = f (2ax)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x)與ax = f (ay)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x)與xa = f (y + a)的圖像關(guān)于直線xy = a成軸對稱。定理4與定理5中的證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的 設(shè)點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關(guān)于直線xy = a的軸對稱點為P（x1， y1），則x1 = a + y0 ,

6、y1 = x0a ，x0 = a + y1 , y0= x1a 代入y0 = f (x0)之中得x1a = f (a + y1) 點P（x1， y1）在函數(shù)xa = f (y + a)的圖像上。同理可證：函數(shù)xa = f (y + a)的圖像上任一點關(guān)于直線xy = a的軸對稱點也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的成立。推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。三、 三角函數(shù)圖像的對稱性列表函 數(shù)對稱中心坐標(biāo)對稱軸方程y = sin x( k, 0 )x = k+/2y = cos x( k+/2 ,0 )x = ky = tan x

7、(k ,0 )無注：上表中kZ四、 函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)， x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。故選(A)例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有

8、反函數(shù)，并且f(x1)和g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，y = g-1(x2) 反函數(shù)是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,應(yīng)選（C）例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1x),當(dāng)1x0時，f (x)

9、= x，則f (8.6 ) = _ 解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)x = 0是y = f(x)對稱軸；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4.函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (A) x = (B) x = (C) x = (D) x =解：函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的所有對稱軸的方程是2x + = k+x = ,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = 故選(A)例5. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x),當(dāng)0x1時，f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，點（0，0）是其