第四章 光衍射

1、第四章 光的衍射前言衍射：當(dāng)光波遇到障礙物時(shí)，會(huì)偏離幾何光學(xué)的直線傳播而繞行的現(xiàn)象稱(chēng)為光的衍射(diffraction).衍射的限制與展寬限制尺度、發(fā)散角和波長(zhǎng)的關(guān)系：衍射圖樣和結(jié)構(gòu)：一一對(duì)應(yīng)。結(jié)構(gòu)越細(xì)微，相應(yīng)的衍射圖樣越大；結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，相應(yīng)的衍射圖樣越復(fù)雜學(xué)科交叉引發(fā)創(chuàng)新：克里克(F. Crick)、沃森(J. Watson)、威爾金斯(M. Wilkins)，1962年諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。上世紀(jì)，研究DNA結(jié)構(gòu)的威爾金斯等人都是物理學(xué)家或化學(xué)家-物理學(xué)“劍走偏鋒”助產(chǎn)了現(xiàn)代生物學(xué)。(DNA的X光衍射照片)惠更斯原理與衍射光擾動(dòng)同時(shí)到達(dá)的空間曲面被稱(chēng)為波面或波前，波前上的每一點(diǎn)都可以看成一個(gè)新的擾

2、動(dòng)中心，稱(chēng)為子波源或次波源，次波源向四周發(fā)出次波；下一時(shí)刻的波前是這些大量次波面的公切面，或稱(chēng)為包絡(luò)面；次波中心與其次波面上的那個(gè)切點(diǎn)的連線方向給出了該處光傳播方向?；莞乖淼牟蛔?不能回答光振幅或光強(qiáng)的傳播問(wèn)題 不能回答光位相的傳播問(wèn)題一、惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳，法國(guó)物理學(xué)家和鐵路工程師。菲涅耳的科學(xué)成就主要有兩個(gè)方面。一是衍射。他以惠更斯原理和干涉原理為基礎(chǔ)，用新的定量形式建立了惠更斯-菲涅耳原理，完善了光的衍射理論。另一成就是偏振。他與D.F.J.阿拉果一起研究了偏振光的干涉，確定了光是橫波（1821）；他發(fā)現(xiàn)了光的圓偏振和橢圓偏振現(xiàn)象（1823），用波動(dòng)說(shuō)解釋了偏振面的旋轉(zhuǎn)；他推出

3、了反射定律和折射定律的定量規(guī)律，即菲涅耳公式；解釋了馬呂斯的反射光偏振現(xiàn)象和雙折射現(xiàn)象，奠定了晶體光學(xué)的基礎(chǔ)。菲涅爾透鏡1、惠更斯菲涅耳原理波前上的每個(gè)面元都可以看成次波源，它們向四周發(fā)射次波；波場(chǎng)中任一場(chǎng)點(diǎn)的擾動(dòng)都是所有次波源所貢獻(xiàn)的次級(jí)擾動(dòng)的相干疊加波前的遮擋或扭曲，導(dǎo)致次波源部分失去，或次波源的相位發(fā)生改變。被改變的次波源相干疊加，產(chǎn)生衍射強(qiáng)度分布。這種新的強(qiáng)度分布帶有障礙物的信息?；莞狗颇淼臄?shù)學(xué)表示：2、基爾霍夫衍射積分公式：二、圓孔和圓屏菲涅耳衍射、波帶片衍射的分類(lèi)按光源、衍射屏和接收屏三者之間的距離關(guān)系將衍射分為兩大類(lèi)：菲涅耳衍射：光源衍射屏接收屏之間距離為有限遠(yuǎn)（或其中之

4、一是有限遠(yuǎn)）夫瑯禾費(fèi)衍射：光源衍射屏接收屏之間距離為無(wú)限遠(yuǎn)。衍射巴比涅原理（互補(bǔ)衍射屏）1、圓孔和圓屏的菲涅耳衍射圓孔及圓屏的衍射圖樣及其特征泊松亮斑(Poissons spot)：數(shù)學(xué)家泊松(粒子學(xué)說(shuō)的信奉者)利用惠更斯菲涅耳衍射原理，計(jì)算出圓屏衍射中心竟會(huì)是一亮斑，這在泊松看來(lái)是十分荒謬的，影子中間怎么會(huì)出現(xiàn)亮斑呢？這差點(diǎn)使得菲涅爾的論文中途夭折。但菲涅耳的同事阿拉果(Dominique Arago)在關(guān)鍵時(shí)刻堅(jiān)持要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)真的有一個(gè)亮點(diǎn)如同奇跡一般地出現(xiàn)在圓盤(pán)陰影的正中心，位置亮度和理論符合得相當(dāng)完美。（1）半波帶方法對(duì)圓孔（屏）衍射的描述以矢量法描述各個(gè)波帶的相干疊加（2

5、）半波帶相干疊加的矢量圖解（3）半波帶半徑公式（4）細(xì)致的矢量圖解螺旋式曲線（5）軸上光強(qiáng)變化說(shuō)明，當(dāng)屏幕由近至遠(yuǎn)， 增加時(shí)， 數(shù)減少，時(shí)為偶數(shù)，時(shí)為奇數(shù)，也就是軸上光強(qiáng)時(shí)暗時(shí)亮。2、波帶片菲涅耳波帶片的衍射場(chǎng)實(shí)焦點(diǎn)和虛焦點(diǎn)波帶片衍射成像類(lèi)似透鏡成像公式菲涅耳波帶片有若干實(shí)焦點(diǎn)和虛焦點(diǎn)，它既具有匯聚透鏡的功能，又具有發(fā)散透鏡的功能，當(dāng)物點(diǎn)發(fā)射球面波照明波帶片時(shí)，可以產(chǎn)生若干實(shí)象和虛象，成像公式類(lèi)似與透鏡成像：現(xiàn)代波帶片(1)全透明浮雕型波帶片入射光不損失光通量，焦點(diǎn)或像點(diǎn)的光振幅是傳統(tǒng)波帶片的兩倍，光強(qiáng)是4倍。(2)余弦式波帶片它是通過(guò)球面波和平面波干涉制作的，其光照時(shí)的透過(guò)函數(shù)為正弦或余弦式

6、，具有更好的聚焦性能，只有一個(gè)實(shí)焦點(diǎn)和一個(gè)虛焦點(diǎn)。三、夫瑯禾費(fèi)單縫衍射夫瑯禾費(fèi)，德國(guó)物理學(xué)家，集工藝家和理論家的才干于一身，把理論與豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，對(duì)光學(xué)和光譜學(xué)作出了重要貢獻(xiàn)。1814年他用自己改進(jìn)的分光系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)并研究了太陽(yáng)光譜中的暗線（現(xiàn)稱(chēng)為夫瑯禾費(fèi)譜線），利用衍射原理測(cè)出了它們的波長(zhǎng)。他設(shè)計(jì)和制造了消色差透鏡，首創(chuàng)用牛頓環(huán)方法檢查光學(xué)表面加工精度及透鏡形狀，對(duì)應(yīng)用光學(xué)的發(fā)展起了重要的影響。他所制造的大型折射望遠(yuǎn)鏡等光學(xué)儀器負(fù)有盛名。他發(fā)表了平行光單縫及多縫衍射的研究成果（后人稱(chēng)之為夫瑯禾費(fèi)衍射），做了光譜分辨率的實(shí)驗(yàn)，第一個(gè)定量地研究了衍射光柵，用其測(cè)量了光的波長(zhǎng)，以后又給出了

7、光柵方程。實(shí)驗(yàn)裝置和現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)裝置如上圖，在透鏡的后焦面接受夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)，中心為亮斑，并且亮度大于兩側(cè)的亮條紋，中心亮條紋寬度是兩側(cè)的二倍，亮斑的寬度隨狹縫的變窄而展寬。矢量圖解法衍射強(qiáng)度衍射圖樣的主要特點(diǎn)：(1)最大值（I0)在幾何光學(xué)像點(diǎn)，=0(2)零點(diǎn)的位置（3）次極大的位置（4）半角寬度0；零級(jí)衍射峰值與其相鄰的暗點(diǎn)之間的夾角稱(chēng)為衍射的半角寬度。(5)單縫寬度對(duì)衍射圖樣的影響（6）波長(zhǎng)的影響所以長(zhǎng)波長(zhǎng)的光衍射半角寬度大。根據(jù)基爾霍夫積分公式 ：所以波長(zhǎng)短的光衍射峰值大。衍射圖樣的積分法求解對(duì)比：光源的空間相干性襯比度降為零的點(diǎn)u=,則d/f= =/a；即兩小孔對(duì)光源的張角為光源的衍射半

8、角寬度。斜入射的夫瑯禾費(fèi)單縫衍射斜入射和正入射的單縫夫瑯禾費(fèi)衍射的表達(dá)式一致。變化的是宗量。四、夫瑯禾費(fèi)方孔、圓孔衍射和光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)1、夫瑯禾費(fèi)方孔衍射衍射圖樣的積分法求解夫瑯禾費(fèi)方孔衍射的主要特點(diǎn)（1）零級(jí)衍射峰（2）零點(diǎn)的位置（3）零級(jí)斑的半角寬度斜入射夫瑯禾費(fèi)方孔衍射斜入射和正入射的矩形夫瑯禾費(fèi)衍射的表達(dá)式一致。變化的是宗量。2、夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射3、光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)分辨本領(lǐng)是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，它涉及到幾何光學(xué)系統(tǒng)的種種相差和缺欠，涉及到被分辨物點(diǎn)的亮度和其他一些性質(zhì)。我們現(xiàn)在考慮理想的分辨本領(lǐng)，即兩個(gè)亮度相同、波長(zhǎng)相等的獨(dú)立光源經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)所能達(dá)到的最佳分辨本領(lǐng)，也就是光學(xué)儀器的分

9、辨本領(lǐng)的衍射極限。瑞利判據(jù): 兩個(gè)物點(diǎn)反應(yīng)在像面上有兩個(gè)艾里斑，設(shè)兩物點(diǎn)的夾角或兩艾里斑中心的夾角為，每個(gè)艾里斑自身的半角寬度為0，瑞利判據(jù)是：當(dāng)>0時(shí)，可分辨； 當(dāng)<0時(shí)，不可分辨；當(dāng)=0時(shí)，給出可分辨的最小角度-m夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射是一個(gè)在一切使用透鏡的光學(xué)系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象，因?yàn)槿魏我粋€(gè)單透鏡成像，都可以看成兩個(gè)透鏡加上一個(gè)光闌的組合。因此幾何像點(diǎn)實(shí)際上是有一定半徑的艾里斑，這種情況就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題，即兩個(gè)像斑可能發(fā)生重疊，重疊到一定程度，就無(wú)法分辨。這就是儀器的分辨本領(lǐng)問(wèn)題。（1）眼睛決定眼睛分辨本領(lǐng)的是瞳孔的直徑De, De白晝小，黑夜大，正常范圍在2 8 mm。分析白晝

10、時(shí)，人眼的分辨本領(lǐng)為e.設(shè)想：3米處，分辨率1mm 最小像素。*眼睛的感光細(xì)胞密度（2）望遠(yuǎn)鏡望遠(yuǎn)鏡的角放大倍數(shù)為：望遠(yuǎn)鏡的角分辨本領(lǐng)決定于物鏡的口徑Do，因?yàn)橥h(yuǎn)鏡的孔徑光闌是物鏡，凡是被物鏡接受的正入射寬光束總能全部通過(guò)目鏡而進(jìn)入人眼睛，故此望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角為：有效放大率：*哈勃太空望遠(yuǎn)鏡（3）顯微鏡幾點(diǎn)說(shuō)明：1. 顯微鏡的有效放大倍數(shù)：這是光學(xué)顯微鏡的最大放大倍數(shù)，因?yàn)槌^(guò)Meff的放大倍數(shù)以試圖看到小于dy0m的細(xì)節(jié)是徒勞的。2. 提高分辨率的方法之一是提高N.A.，可通過(guò)油浸和使用廣角透鏡獲得較大的數(shù)值孔徑。不過(guò)N.A.最大為1.5左右，此時(shí)y0m=0/2,這是傳統(tǒng)光學(xué)顯微鏡的極限

11、分辨率半波長(zhǎng)。3. 選擇短波長(zhǎng)光照明是提高顯微鏡分辨本領(lǐng)的另一個(gè)途徑。*電子顯微鏡：傳統(tǒng)的光學(xué)顯微鏡的分辨本領(lǐng)受限于光波長(zhǎng)，使用短波長(zhǎng)光照明是提高顯微鏡分辨本領(lǐng)的途徑之一。利用運(yùn)動(dòng)電子的具有波動(dòng)性制造電子顯微鏡，因?yàn)殡娮拥牡虏剂_意波長(zhǎng)極短，所以它有極高的空間分辨本領(lǐng)。1986年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)一半授予德國(guó)柏林弗利茲-哈伯學(xué)院（Fritz-Haber-Institut der Max-Planck-Gesellschaft）的恩斯特·魯斯卡（Ernst Ruska，1906-1988)，以表彰他在電光學(xué)領(lǐng)域做了基礎(chǔ)性工作，并設(shè)計(jì)了第一架電子顯微鏡；另一半授予瑞士魯希利康（Rüs

12、chlikon）IBM蘇黎世研究實(shí)驗(yàn)室的德國(guó)物理學(xué)家賓尼希（ Gerd Binnig ，1947-） 和瑞士物理學(xué)家羅雷爾（Heinrich Rohrer，1933-)以表彰他們?cè)O(shè)計(jì)出了掃描隧道顯微鏡。成像系統(tǒng)衍射極限：選擇記錄介質(zhì)的空間分辨率五、位移-相移定理：全同衍射結(jié)構(gòu)的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)在夫瑯禾費(fèi)衍射系統(tǒng)中，當(dāng)一個(gè)圖像位移時(shí)，夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)響應(yīng)一個(gè)相移。應(yīng)用：全同結(jié)構(gòu)的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)六、一維光柵光柵：1、眾多全同單元；2、排列規(guī)整；3、取向有序的周期結(jié)構(gòu)1、一維光柵一個(gè)一維光柵，其透光縫寬為a，擋光寬度為b，即光柵的空間周期d=a+b，也稱(chēng)為光柵常數(shù)描述光柵的參數(shù)：?jiǎn)卧芏龋簄=1/d；光

13、柵的有效寬度：D；光柵的單元總數(shù)：N =nD=D/ d(1) 主峰位置(2) 半角寬度2、光譜儀光柵光譜儀光柵分光原理（1）角色散本領(lǐng)光柵周期d越小，角色散本領(lǐng)越大，和光柵單元總數(shù)N無(wú)關(guān)；極數(shù)k越高，色散本領(lǐng)越大。（2）線色散本領(lǐng)在相同的衍射角和相同的級(jí)數(shù)(k)，焦距越長(zhǎng)，線色散本領(lǐng)越大。（3）色分辨本領(lǐng)判據(jù)：當(dāng)k> k時(shí)，可分辨； 當(dāng)k<k時(shí)，不可分辨；當(dāng)k=k時(shí)，給出可分辨的最小波長(zhǎng)差。透射光柵的缺點(diǎn)1. 不同波長(zhǎng)的零級(jí)主峰重合，即所謂“零級(jí)無(wú)色散”，同時(shí)正好處在單元衍射因子的最大值上，對(duì)光能是極大的浪費(fèi)。2. 光譜分析只需要其中一個(gè)序列光譜，但是透射光柵的衍射光強(qiáng)分散到正負(fù)各

14、級(jí)光譜中，也是對(duì)光能的浪費(fèi)。使我們觀察的某級(jí)光譜只能分配到少量的能量。3、光柵的改進(jìn)-閃耀光柵（1）沿N的方向入射單槽衍射場(chǎng)，按幾何光學(xué)定律傳播的方向是衍射的零級(jí)方位。單槽的零級(jí)衍射角為=2b。結(jié)構(gòu)干涉，此時(shí)的相鄰槽衍射線之間的光程差為：滿(mǎn)足： 的 的光波在 方向出現(xiàn)一級(jí)主峰， 稱(chēng)為一級(jí)閃耀波長(zhǎng)。滿(mǎn)足： 的 的光波在 方向出現(xiàn)一級(jí)主峰， 稱(chēng)為一級(jí)閃耀波長(zhǎng)。單槽衍射零級(jí)方向變成了槽間干涉的非零級(jí)，產(chǎn)生高衍射效率的色散?？朔送该鞴鈻诺膯慰p衍射零級(jí)和縫間干涉零級(jí)重合。閃耀光柵僅有一序列光譜：由于閃耀光柵的單槽寬度a和光柵周期d相近，使得一級(jí)閃耀波長(zhǎng)的其他級(jí)別的主峰方向，正好落在單槽衍射的零點(diǎn)上，從

15、而全部消失，僅保留了一級(jí)主峰，因此閃耀光柵僅有一列光譜。閃耀光柵的衍射場(chǎng)（2）沿n的方向入射七、三維光柵X射線晶體衍射勞厄 Max von Laue（1879-1960）德國(guó)慕尼黑大學(xué)理論物理學(xué)家, 1914年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)-發(fā)現(xiàn)晶體的X射線衍射倫琴（Rontgen, WK, 1845-1923）德國(guó)維爾茨堡大學(xué)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)，X射線的發(fā)現(xiàn)者，1901年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)-因發(fā)現(xiàn)X-射線X-射線衍射的發(fā)現(xiàn)過(guò)程：在慕尼黑大學(xué)當(dāng)時(shí)師生們討論最多的一個(gè)問(wèn)題就是X射線的本性。勞厄認(rèn)為X射線是電磁波。1912年,勞厄在同一位博士研究生厄瓦耳交談時(shí)，產(chǎn)生了用X射線照射晶體用以研究固體結(jié)構(gòu)的想法。他設(shè)想X射線是極短

16、的電磁波，而晶體又是原子（離子）的有規(guī)則的三維排列, 就像是一塊天然光柵那樣，只要X射線的波長(zhǎng)和晶體中原子（離子）的間距具有相同的數(shù)量級(jí)，而且晶體中原子的排列是有規(guī)則的，那么當(dāng)用X射線照射晶體時(shí)就應(yīng)能觀察到干涉現(xiàn)象。1912年4月他們開(kāi)始了這項(xiàng)試驗(yàn)。弗里德利希和尼平很快地按勞厄的設(shè)計(jì)搭起了安裝有實(shí)驗(yàn)裝置的架子，但是他們?cè)诘谝惠唽?shí)驗(yàn)中，由于X射線太弱，曝光時(shí)間不足而屢遭失敗。后來(lái)他們把曝光時(shí)間延為數(shù)小時(shí)，才在底片上顯出有規(guī)則的斑點(diǎn)。他們逐步改進(jìn)設(shè)備，采用ZnS、NaCl等晶體做試驗(yàn)，衍射斑點(diǎn)具有更為明顯的對(duì)稱(chēng)性。接著，勞厄推導(dǎo)出一系列衍射方程，很好地解釋了這些斑點(diǎn)的成因。在照相底片上形成對(duì)稱(chēng)分布

17、的若干衍射斑點(diǎn)，稱(chēng)為勞厄斑。布拉格父子與布拉格公式1915年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)X射線晶體結(jié)構(gòu)分析，授予英國(guó)倫敦大學(xué)的亨利·布拉格(Sir William Henry Bragg ,1862-1942)和他的兒子英國(guó)曼徹斯特維克托利亞大學(xué)的勞倫斯·布拉格(Sir William Lawrence Bragg ,1890-1971).勞厄解釋了勞厄斑的形成，但他的方法比較復(fù)雜。不久，英國(guó)物理學(xué)家布拉格父子提出一種比較簡(jiǎn)單的方法來(lái)說(shuō)明X射線的衍射。布拉格父子認(rèn)為當(dāng)X射線射到晶體各層面的原子時(shí)，原子中的電子將發(fā)生受迫振蕩，從而向周?chē)l(fā)射同頻率的電磁波，即產(chǎn)生了X射線的散射，而每個(gè)原子則

18、是一個(gè)次波源；勞厄斑正是次波的干涉疊加的結(jié)果。（1）同一晶面的干涉增強(qiáng)：l·(cos-cos1)=k單層晶面的衍射遵循x方向+z方向衍射。（2）不同晶面之間的干涉增強(qiáng)對(duì)于以角掠射的單色平行的X光束投射到晶面間距為d的晶面上時(shí)，在各晶面所散射的射線中，只有按反射定律反射的射線的強(qiáng)度為最大，上、下兩晶面所發(fā)出的反射線的光程差為: 當(dāng)=2dsin= k時(shí)各層面上的反射光相干加強(qiáng)，形成亮點(diǎn)，稱(chēng)為k級(jí)干涉主極大。該式稱(chēng)為布拉格公式。布拉格公式與一維光柵方程相似，但是也有所不同：1. 對(duì)于一維光柵，只有一個(gè)光柵方程，而對(duì)于X-射線晶體衍射，晶體是三維光柵，有一系列不同取向的晶面，它們的晶面之間的距離不同，因此晶體的X-射線衍射有一系列的布拉格公式。2. 對(duì)于一維光柵，任意波長(zhǎng)的單色光照射，總可以在鏡面方向得到衍射極大值。而對(duì)于晶體衍射，X-射線入射方向和晶體的位置確定后，則一系列的d對(duì)應(yīng)的也就確定了，單色波長(zhǎng)的X-射線不一定能滿(mǎn)足布